Свертки по рангам и кватернионным типам в алгебрах Клиффорда


Цитировать

Полный текст

Аннотация

В работе рассмотрены выражения в вещественных и комплексных алгебрах Клиффорда, называемые свертками или усреднениями. Свертка берется от произвольного элемента алгебры Клиффорда, при этом ведется суммирование по различным элементам фиксированного базиса алгебры Клиффорда. Рассмотрены четные и нечетные свертки, свертки по рангам и свертки по кватернионным типам. Представлена связь сверток с операциями проецирования на выделенные подпространства алгебры Клиффорда - четное и нечетное подпространство, подпространства фиксированных рангов и подпространства фиксированных кватернионных типов. С помощью метода сверток дано решение различных систем коммутаторных уравнений в алгебрах Клиффорда. Особое внимание уделено двум частным случаям - случаям коммутатора и антикоммутатора. Полученные результаты могут применяться при изучении различных уравнений теории поля - уравнений Янга-Миллса, простейшего полевого уравнения и других.

Об авторах

Дмитрий Сергеевич Широков

Институт проблем передачи информации им. А. А. Харкевича РАН

Email: dm.shirokov@gmail.com
(к.ф.-м.н.; dm.shirokov@gmail.com), научный сотрудник, лаб. 7 «Обработка биоэлектрической информации» Россия, 127994, Москва, Б. Каретный пер., 19

Список литературы

  1. Clifford W. K. Application of Grassmann's Extensive Algebra // American Journal of Mathematics, 1878. vol. 1, no. 4. pp. 350-358. doi: 10.2307/2369379.
  2. Hamilton W. R. II. On quaternions, or on a new system of imaginaries in algebra // Philosophical Magazine Series 3, 1844. vol. 25, no. 163. pp. 489-495. doi: 10.1080/14786444408644923.
  3. Grassmann H. Die Lineale Ausdehnungslehre ein neuer Zweig der Mathematik. Leipzig: Verlag von Otto Wigand, 1844. xxxii+282 pp., Internet Archive Identifier: dielinealeausde00grasgoog
  4. Grassmann H. Die Lineale Ausdehnungslehre ein neuer Zweig der Mathematik. Cambridge: Cambridge University Press, 2012. xxxii+282 pp. doi: 10.1017/CBO9781139237352
  5. Lipschitz R. Untersuchungen über die Summen von Quadraten. Bonn: Max Cohen und Sohn, 1886. 147 pp.
  6. Chevalley C. Collected works. vol. 2: The algebraic theory of spinors and Clifford algebras / eds. Pierre Cartier and Catherine Chevalley. Berlin: Springer, 1997. xiv+ 214 pp.
  7. Dirac P. A. M. The Quantum Theory of the Electron // Proc. R. Soc. (A), 1928. vol. 117, no. 778. pp. 610-624. doi: 10.1098/rspa.1928.0023
  8. Dirac P. A. M. The Quantum Theory of the Electron / Special Theory of Relativity / The Commonwealth and International Library: Selected Readings in Physics, 1970. pp. 237-256. doi: 10.1016/b978-0-08-006995-1.50017-x.
  9. Hestenes D., Sobczyk G. Clifford Algebra to Geometric Calculus. A Unified Language for Mathematics and Physics. Reidel Publishing Company, 1984. 314 pp.
  10. Марчук Н. Г. Уравнения теории поля и алгебры Клиффорда. Ижевск: РХД, 2009. 304 с.
  11. Dixon J. D. Computing Irreducible Representations of Groups // Math. Comp., 1970. vol. 24, no. 111. pp. 707-712. doi: 10.2307/2004848.
  12. Babai L., Friedl K. Approximate representation theory of finite groups // Foundations of Computer Science, 1991. pp. 733-742. doi: 10.1109/sfcs.1991.185442.
  13. Shirokov D. S. Method of averaging in Clifford algebras, 2015. 15 pp., arXiv: 1412.0246 [math-ph]
  14. Marchuk N. G., Shirokov D. S. New class of gauge invariant solutions of Yang-Mills equations, 2014. 35 pp., arXiv: 1406.6665 [math-ph]
  15. Shirokov D. S. Method of generalized contractions and Pauli’s theorem in Clifford algebras, 2014. 14 pp., arXiv: 1409.8163 [math-ph]
  16. Pauli W. Contributions mathématiques a la théorie des matrices de Dirac // Annales de l'institut Henri Poincar´, 1936. vol. 6, no. 2. pp. 109-136.
  17. Широков Д. С. Обобщение теоремы Паули на случай алгебр Клиффорда // Докл. РАН, 2011. Т. 440, № 5. С. 1-4.
  18. Широков Д. С. Теорема Паули при описании n-мерных спиноров в формализме алгебр Клиффорда // ТМФ, 2013. Т. 175, № 1. С. 11-34. doi: 10.4213/tmf8384.
  19. Широков Д. С. Использование обобщённой теоремы Паули для нечётных элементов алгебры Клиффорда для анализа связей между спинорными и ортогональными группами произвольных размерностей // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2013. № 1(30). С. 279-287. doi: 10.14498/vsgtu1176.
  20. Marchuk N. G., Shirokov D. S. Unitary spaces on Clifford algebras // Adv. Appl. Clifford Algebras, 2008. vol. 18, no. 2. pp. 237-254, arXiv: 0705.1641 [math-ph]. doi: 10.1007/s00006-008-0066-y.
  21. Lounesto P. Clifford Algebras and Spinors / London Mathematical Society Lecture Note Series. vol. 239. Cambridge: Cambridge University Press, 1997. ix+306 pp.
  22. Lounesto P. Clifford Algebras and Spinors (second edition) / London Mathematical Society Lecture Note Series. vol. 286. Cambridge: Cambridge University Press, 2001. ix+338 pp. doi: 10.1017/cbo9780511526022
  23. Широков Д. С. Классификация элементов алгебр Клиффорда по кватернионным типам // ДАН, 2009. Т. 427, № 6. С. 758-760.
  24. Shirokov D. S. Quaternion typification of Clifford algebra elements // Adv. Appl. Clifford Algebras, 2012. vol. 22, no. 1. pp. 243-256. doi: 10.1007/s00006-011-0288-2.
  25. Shirokov D. S. Development of the method of quaternion typification of Clifford algebra elements // Adv. Appl. Clifford Algebras, 2012. vol. 22, no. 2. pp. 483-497, arXiv: 0903.3494 [math-ph]. doi: 10.1007/s00006-011-0304-6.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать

© Самарский государственный технический университет, 2015

Creative Commons License
Эта статья доступна по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).