Построение автомодельного решения системы уравнений газовой динамики, описывающей истечение политропного газа в вакуум с косой стенки в несогласованном случае

Рассматривается начально-краевая задача для системы уравнений газовой динамики в постановке характеристической задачи Коши стандартного вида, описывающая при t>0 разлет политропного газа в вакуум на косой стенке в пространстве физических автомодельных переменных ξ=x/t, η=y/t, а при t<0 — сильное сжатие газа в призматическом объеме.
Решение начально-краевой задачи строится в виде рядов функций c(ξ,ϑ), u(ξ,ϑ) и v(ξ,ϑ) по степеням ϑ, где ϑ — известная функция независимых переменных. Нахождение неизвестных коэффициентов c₁(ξ), u₁(ξ) и v₁(ξ) рядов функций c(ξ,ϑ), u(ξ,ϑ) и v(ξ,ϑ) сводится к решению транспортного уравнения для коэффициента c₁(ξ).
В настоящей работе построено аналитическое решение транспортного уравнения для коэффициента c₁(ξ) решения системы уравнений газовой динамики, описывающего изэнтропическое истечение политропного газа с косой стенки, в общем несогласованном случае, когда tg²α≠(γ+1)/(3−γ). Когда γ=5/3 — случай водорода, для коэффициента c1(ξ) впервые построено аналитическое решение транспортного уравнения в явном виде.
Полученное решение применено к описанию сжатия специального призматического объема, представляющего собой в сечении правильный треугольник. Указана особенность полученного решения c₁(ξ): значение c₁→∞ при ξ→ξ_∗, где значение ξ_∗ задается уравнением c₀(ξ_∗)=3.9564. Сделан вывод, что на звуковой характеристике, через которую стыкуются течения вида центрированная и двойная волна, в точке с координатами ξ=ξ_∗ и ϑ=0 наступает градиентная катастрофа, что приводит к возникновению в безударном течении сильного разрыва и формированию ударной волны.