Сеть пространств Соболева и краевые задачи для операторов вихрь и градиент дивергенции

В работе рассматривается шкала пространств Соболева ${\mathbf{\text{H}}}^m\left(G\right)$ векторных полей в ограниченной области G из ${\mathrm{ℝ}}^3$ с гладкой границей $\Gamma$. Операторы градиент дивергенции и ротор ротора ($\nabla \text{div}$ и ${\text{rot}}^2$) и их степени являются аналогами скалярного оператора ${\Delta }^m$ в ${\mathrm{ℝ}}^3$ и порождают пространства ${\mathbf{\text{A}}}^{\text{2}\mathrm{k}}\text{(}G\text{)}$ и ${\mathbf{\text{W}}}^m\left(G\right)$ потенциальных и вихревых полей, где числа k, m > 0 — целые.
Доказано, что ${\mathbf{\text{A}}}^{\text{2}\mathrm{k}}\text{(}G\text{)}$ и ${\mathbf{\text{W}}}^m\left(G\right)$ являются проекциями пространств Соболева ${\mathbf{\text{H}}}^{2k}\left(G\right)$ и ${\mathbf{\text{H}}}^m\left(G\right)$ на подпространства $\mathcal{A}$ и $\mathcal{B}$ в ${\mathbf{\text{L}}}_2\left(G\right)$. Их прямые суммы ${\mathbf{\text{A}}}^{2k}\left(G\right)\oplus {\mathbf{\text{W}}}^m\left(G\right)$ образуют сеть пространств, элементами которой являются классы $\mathbf{\text{C}}\text{(}2k,m\text{)≡}{\mathbf{\text{A}}}^{2k}\oplus {\mathbf{\text{W}}}^m$.
Рассмотрены пространства ${\mathbf{\text{A}}}^{-m}$ и ${\mathbf{\text{W}}}^{-m}$, которые соответствуют пространствам ${\mathbf{\text{A}}}^m$ и ${\mathbf{\text{W}}}^m$. Также рассмотрены прямые суммы ${\mathbf{\text{A}}}^k\left(G\right)\oplus {\mathbf{\text{W}}}^m\left(G\right)$ для любых целых чисел k и m.
В пространстве ${\mathbf{\text{L}}}_2\left(G\right)$ строится ортонормированный базис, состоящий из базисов ортогональных подпространств $\mathcal{A}$ и $\mathcal{B}$. Его элементы — собственные поля операторов $\text{rot}$ и $\nabla \text{div}$. Доказательство их гладкости — важный этап разработанной теории.
В сети ${\left\{\mathbf{\text{C}}(k,m)\right\}}_{k,m}$ исследованы модельные краевые задачи для операторов $\text{rot}+\lambda I$, $\nabla \text{div}+\lambda I$, их суммы, а также для оператора Стокса. Получены условия разрешимости для рассматриваемых модельных задач.