Оптимизация режимов работы светофора на двухполосном по каждой трассе перекрестке города

Введение

Задача о светофорном управлении движением автотранспортных средств (АТС) через перекресток является одной из главных задач математического моделирования движения транспортных потоков в городе [1].

Задача светофорного управления движением АТС через перекресток состоит в построении такого периодического режима работы светофора, который при условии ненакопления АТС перед перекрестком от цикла к циклу его работы обеспечивает наименьшее суммарное время прохода перекрестка всеми АТС, вошедшими в перекресток.

В основе представленного метода лежит доказанное М. Лайтхиллом и Дж. Уиземом [2$–$4] условие ненакопления АТС перед светофором по трассе перекрестка с течением времени.

В настоящее время в основе подходов к решению задач моделирования транспортных потоков лежит рассмотрение усредненных показателей транспортной системы на перекрестках городских дорог [5$–$12]. При этом для оценки работы светофора используются индивидуальный подход, имитационное и компьютерное моделирование потоков на перекрестке.

Условие Лайтхилла$–$Уизема позволяет построить аналитический метод оптимизации двухфазного режима работы светофора на перекрестке в целом.

1. Условие Лайтхилла$–$Уизема и его интерпретация ненакопления (АТС) перед перекрестком с течением времени

В работах [2$–$4] была предложена гидродинамическая модель однополосного транспортного потока, названная впоследствии моделью Лайтхилла$–$Уизема$–$Ричардса (LWR), в которой поток АТС рассматривается как поток одномерной сжимаемой жидкости. В работах [2, 3] М. Лайтхиллом и Дж. Уиземом была поставлена на основе LWR следующая

Задача. Найти такое число k>0, что перед светофором (работающем в двух режимах: зеленый, красный) не будет скапливаться очередь с течением времени, если

   $\frac{T_{зел}}{T_{кр}}\ge k.$

Считать, что транспортный поток вдали от светофора имеет плотность $\rho <{\rho }_m$, где $\rho$ $–$ плотность потока $q$, ${\rho }_m$ $–$ плотность, при которой значение потока максимально $–$ $q_m$.

Решение М. Лайтхилла и Дж. Уизема таково: перед светофором не будет скапливаться очередь, если

$\left({\text{q}}_{\text{m}}-\text{q}\right){\text{T}}_{\text{зел}}\ge {\text{qT}}_{\text{кр}},\text{ т}.\text{е}.\frac{{\text{T}}_{\text{зел}}}{{\text{T}}_{\text{кр}}}\ge \frac{\text{q}}{{\text{q}}_{\text{m}}-\text{q}}.$   (1)

На рис. 1 представлена схема двухполосного перекрестка.

Рис. 1. По трассам 1 и 2 горят соответственно зеленый и красный цвета светофора

Fig. 1. On lanes 1 and 2, the green and red traffic lights are on, respectively

Целью представленной работы является разработка на основе условия Лайтхилла$–$Уизема аналитических методов решения задач:

1)  оптимизация режима работы светофора на перекрестке в целом, а не на отдельной трассе (как в работах [2, 3]);

2)  оценка возможности вывода перекрестка из зоны блокировки переходом от двухфазного режима работы светофора на перекрестке к трехфазному режиму;

3)  определение значений основных характеристик и параметров перекрестка с двухфазным и трехфазным светофорным управлением.

2. Возможный интервал отношения времен горения зеленого цвета по каждой из трасс перекрестка и условие неблокировки перекрестка

Оценка Лайтхилла$–$Уизема $\frac{T_{зел}}{T_{кр}}\ge \frac{q}{q_m-q}$ при рассмотрении обеих трасс, т.е. перекрестка в целом (рис. 1), приводит к следующим неравенствам:

$\frac{T_{зел}^1}{T_{кр}^1}=\frac{T_{зел}^1}{T_{зел}^2}\ge \frac{q^1}{q_m^1-q^1},$               (2)

$\frac{T_{зел}^2}{T_{кр}^2}=\frac{T_{зел}^2}{T_{зел}^1}\ge \frac{q^2}{q_m^2-q^2},$                   (3)

где верхними индексами обозначены номера трасс.

Ниже представлены кратко два важных утверждения из нашей работы [14, стр. 67$–$69].

Утверждение 1. На перекрестке в целом не будет происходить накопления АТС от цикла к циклу работы светофора, только если

$\frac{q^1}{q_m^1}+ \frac{q^2}{q_m^2}\le 1.$         (4) 

При этом возможные режимы работы светофора определяются следующим образом:

$\begin{array}{c}\frac{T_{зел}^1}{T_{зел}^2}\in \left[\frac{q^1}{q_m^1-q^1}, \frac{q_m^2-q^2}{q^2}\right], если \frac{q^1}{q_m^1-q^1}\ge \frac{q^2}{q_m^2-q^2},\\ \frac{T_{зел}^2}{T_{зел}^1}\in \left[\frac{q^2}{q_m^2-q^2}, \frac{q_m^1-q^1}{q^1}\right], если \frac{q^2}{q_m^2-q^2}\ge \frac{q^1}{q_m^1-q^1}.\end{array}$                           (5)

Доказательство. Пусть $\frac{q^1}{q_m^1-q^1}\ge \frac{q^2}{q_m^2-q^2}$. Из (2) и (3) следует

$\frac{q^1}{q_m^1-q^1}\le \frac{T_{зел}^1}{T_{зел}^2}\le \frac{q_m^2-q^2}{q^2}.$                (6)

Неравенство имеет решение, только если $\frac{q^1}{q_m^1-q^1}\le \frac{q_m^2-q^2}{q^2}$. Получим

$q^1{q}^2\le q_m^1{q}_m^2-q_m^1{q}^2-q^1{q}_m^2+q^1{q}^2\underset{ }{\Rightarrow }\frac{q^1}{q_m^1}+ \frac{q^2}{q_m^2}\le 1.$

Причем из условия $\frac{q^1}{q_m^1-q^1}\ge \frac{q^2}{q_m^2-q^2}\underset{ }{\Rightarrow }\frac{q^1}{q_m^1}\ge \frac{q^2}{q_m^2}$. Утверждение доказано.

Отметим также, что условие

$\frac{q^1}{q_m^1}+ \frac{q^2}{q_m^2}>1$   (7)

есть условие нахождения перекрестка в зоне блокировки АТС.

3. Оптимальный двухфазный режим работы светофора на перекрестке

Обычно считают, что оптимальным является следующий режим горения зеленого по трассам:

$\frac{T_{зел}^1}{T_{зел}^2}=\frac{q^1}{q^2},$

но в этом случае не учитываются пропускные способности трасс перекрестка $q_m^1, q_m^2$.

Утверждение 2. Если перекресток не находится в зоне блокировки, то оптимальным режимом работы светофора является режим

$\begin{array}{c}\frac{T_{зел}^1}{T_{зел}^2}=\frac{\raisebox{1ex}{$q^1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$q_m^1$}\right.}{\raisebox{1ex}{$q^2$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$q_m^2$}\right.}=\frac{q^1{q}_m^2}{q_m^1{q}^2} при \frac{q^1}{q_m^1-q^1}\ge \frac{q^2}{q_m^2-q^2}\\ и \frac{T_{зел}^2}{T_{зел}^1}=\frac{\raisebox{1ex}{$q^2$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$q_m^2$}\right.}{\raisebox{1ex}{$q^1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$q_m^1$}\right.}=\frac{q^2{q}_m^1}{q_m^2{q}^1} при \frac{q^2}{q_m^2-q^2}\ge \frac{q^1}{q_m^1-q^1}\end{array}$    (8)

Доказательство.

Целью светофорного управления перекрестком является построение такого периодического режима работы светофора (времен горения красного, зеленого цветов), которое обеспечивает наименьшее суммарное время прохода перекрестка всеми АТС, вошедшими в перекресток, при условии ненакопления АТС перед перекрестком с течением времени [2, 3].

Это условие (см. утверждение 1) имеет вид: $\frac{q^1}{q_m^1}+ \frac{q^2}{q_m^2}\le 1$.

Вследствие этого оптимальным является режим, соотносящий величины $\frac{q^1}{q_m^1}и \frac{q^2}{q_m^2}$ при выполнении условий (5). Покажем, что

$\frac{q^1{q}_m^2}{q_m^1{q}^2}\in \left[\frac{q^1}{q_m^1-q^1}, \frac{q_m^2-q^2}{q^2}\right].$

Предположим

$\frac{q^1}{q_m^1-q^1}>\frac{q^1{q}_m^2}{q_m^1{q}^2}\underset{ }{\Rightarrow }{q}^1{q}_m^1{q}^2>q_m^1{q}^1{q}_m^2-{\left(q^1\right)}^2{q}_m^2\underset{ }{\Rightarrow }\frac{q^1}{q_m^1}+ \frac{q^2}{q_m^2}>1.$

Но рассматривается случай неблокировки перекрестка, т.е. $\frac{q^1}{q_m^1}+ \frac{q^2}{q_m^2}\le 1$, т.е. получено противоречие. Аналогично, если

$\frac{q^1{q}_m^2}{q_m^1{q}^2}>\frac{q_m^2-q^2}{q^2}\underset{ }{\Rightarrow }\frac{q^1}{q_m^1}>\frac{q_m^2-q^2}{q_m^2}\underset{ }{\Rightarrow }\frac{q^1}{q_m^1}>1-\frac{q^2}{q_m^2}\underset{ }{\Rightarrow }\frac{q^1}{q_m^1}+ \frac{q^2}{q_m^2}>\mathrm{1,}$

т.е. противоречие с условием утверждения. Утверждение доказано.

Полученное оптимальное решение запишем относительно общего времени цикла работы светофора. Пусть $T$ $–$ цикл работы светофора в двухфазном режиме. Тогда

$\frac{T\raisebox{1ex}{$q^1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$q_m^1$}\right.}{\raisebox{1ex}{$q^1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$q_m^1$}\right.+\raisebox{1ex}{$q^2$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$q_m^2$}\right.}$ $–$ время горения зеленого цвета светофора для АТС, въезжающих в перекресток по трассе 1, $\frac{T\raisebox{1ex}{$q^2$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$q_m^2$}\right.}{\raisebox{1ex}{$q^1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$q_m^1$}\right.+\raisebox{1ex}{$q^2$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$q_m^2$}\right.}$ $–$ время горения зеленого цвета светофора для АТС, въезжающих в перекресток по трассе 2.

4. Запас устойчивости оптимального режима работы светофора

Пусть интервал возможных режимов работы светофора на $\left[\frac{q^1}{q_m^1-q^1},\frac{q_m^2-q^2}{q^2} \right]$ не пуст.

В утверждении 2 было показано, что оптимальный режим работы светофора, т.е.

$\frac{T_{зел}^1}{T_{зел}^2}=\frac{\raisebox{1ex}{$q^1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$q_m^1$}\right.}{\raisebox{1ex}{$q^2$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$q_m^2$}\right.},$

входит в этот интервал.

Теперь покажем, как он относится со средней точкой интервала. Для этого представим крайние точки интервала через нагрузки $\frac{q^1}{q_m^1}$ и $\frac{q^2}{q_m^2}$. Получим:

$\frac{q^1}{q_m^1-q^1}=\frac{\raisebox{1ex}{$q^1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$q_m^1$}\right.}{1-\raisebox{1ex}{$q^1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$q_m^1$}\right.},$

$\frac{q_m^2-q^2}{q^2}=\frac{1-\raisebox{1ex}{$q^2$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$q_m^2$}\right.}{\raisebox{1ex}{$q^2$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$q_m^2$}\right.} .$

Тогда средняя точка интервала определяется следующим образом:

$\frac{1}{2}\left(\frac{\raisebox{1ex}{${\text{q}}^1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{${\text{q}}_{\text{m}}^1$}\right.}{1-\raisebox{1ex}{${\text{q}}^1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{${\text{q}}_{\text{m}}^1$}\right.}+\frac{1-\raisebox{1ex}{${\text{q}}^2$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{${\text{q}}_{\text{m}}^2$}\right.}{\raisebox{1ex}{${\text{q}}^2$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{${\text{q}}_{\text{m}}^2$}\right.}\right)=\frac{1}{2}\frac{\left(\frac{2{\text{q}}^1{\text{q}}^2}{{\text{q}}_{\text{m}}^1{\text{q}}_{\text{m}}^2}+1-\frac{{\text{q}}^1}{{\text{q}}_{\text{m}}^1}-\frac{{\text{q}}^2}{{\text{q}}_{\text{m}}^2}\right)}{\frac{{\text{q}}^2}{{\text{q}}_{\text{m}}^2}-\frac{{\text{q}}^1{\text{q}}^2}{{\text{q}}_{\text{m}}^1{\text{q}}_{\text{m}}^2}}=\frac{\left[\frac{2{\text{q}}^1{\text{q}}^2}{{\text{q}}_{\text{m}}^1{\text{q}}_{\text{m}}^2}-\left(\frac{{\text{q}}^1}{{\text{q}}_{\text{m}}^1}+\frac{{\text{q}}^2}{{\text{q}}_{\text{m}}^2}-1\right)\right]}{2\frac{{\text{q}}^2}{{\text{q}}_{\text{m}}^2}\left(1-\frac{{\text{q}}^1}{{\text{q}}_{\text{m}}^1}\right)}$  (9)

Пусть перекресток не находится в зоне блокировки, т.е.

$\frac{q^1}{q_m^1}+\frac{q^2}{q_m^2}=1-\alpha , 0\le \alpha <1.$

Тогда (9) перепишется в виде

$\frac{\frac{q^1{q}^2}{q_m^1{q}_m^2}+\alpha }{\frac{q^2}{q_m^2}\left(1-\frac{q^1}{q_m^1}\right)}.$

В том случае, когда интервал возможных значений горения зеленого по трассе 1 и по трассе 2 стягивается в точку, т.е. когда $\frac{q^1}{q_m^1}+\frac{q^2}{q_m^2}=1$, а $\alpha =0$, получим, что режим работы светофора таков:

$\frac{T_{зел}^1}{T_{зел}^2}=\frac{\raisebox{1ex}{$q^1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$q_m^1$}\right.}{\raisebox{1ex}{$q^2$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$q_m^2$}\right.}.$

Определим соотношение длин интервалов возможных значений оптимальной работы светофора на двухполостном перекрестке через точки 1, 2, 3, т.е.

$\frac{q^1}{q_m^1-q^1}, \frac{q^1{q}_m^2}{q_m^1{q}^2}, \frac{q_m^2-q^2}{q^2}.$

Рис. 2. Геометрическое представление основных точек интервала возможных режимов работы светофора

Fig. 2. Geometric representation of the main points of the interval of possible traffic light operating modes

Тогда

$\text{интервал }\left(1-3\right)\text{ есть }\frac{q_m^2-q^2}{q^2}-\frac{q^1}{q_m^1-q^1},$

$\text{интервал }\left(2-3\right)\text{ есть }\frac{q_m^2-q^2}{q^2}-\frac{q^1{q}_m^2}{q_m^1{q}^2}.$

Найдем соотношение между длинами интервалов (1$–$3) и (2$–$3).

$\frac{q_m^2-q^2}{q^2}-\frac{q^1}{q_m^1-q^1}=\frac{q_m^1{q}_m^2-q_m^1{q}^2-q^1{q}_m^2}{q^2\left(q_m^1-q^1\right)}.$

Разделив числитель и знаменатель дроби на $q_m^1{q}_m^2$, получим

$\frac{1-\frac{q^2}{q_m^2}-\frac{q^1}{q_m^1}}{\frac{q^2}{q_m^2}-\frac{q^1}{q_m^1}\frac{q^2}{q_m^2}}$

Аналогично интервал (2$–$3) есть

$\frac{q_m^2-q^2}{q^2}-\frac{q^1{q}_m^2}{q_m^1{q}^2}=\frac{1-\frac{q^2}{q_m^2}-\frac{q^1}{q_m^1}}{\frac{q^2}{q_m^2}}.$

Разделив (1$–$3) на (2$–$3), получим:

$\frac{\frac{1-\frac{q^2}{q_m^2}-\frac{q^1}{q_m^1}}{\frac{q^2}{q_m^2}-\frac{q^1}{q_m^1}\frac{q^2}{q_m^2}}}{\frac{1-\frac{q^2}{q_m^2}-\frac{q^1}{q_m^1}}{\frac{q^2}{q_m^2}}}=\frac{\frac{q^2}{q_m^2}}{\frac{q^2}{q_m^2}\left(1-\frac{q^1}{q_m^1}\right)}=\frac{1}{1-\frac{q^1}{q_m^1}}.$   (10)

Таким образом, получены следующие основные характеристики и параметры перекрестка с двухфазным светофорным управлением:

• $q_m^1, q_m^2$ $–$ пропускные способности трасс перекрестка относительно потоков по трассе 1 и по трассе 2;
• $\frac{q^1}{q_m^1}, \frac{q^2}{q_m^2}$ $–$ нагрузки АТС на перекресток по трассе 1 и по трассе 2;
• $\left(\frac{q^1}{q_m^1}+ \frac{q^2}{q_m^2}\right)$ $–$ общая нагрузка АТС на перекресток;
• $\frac{q^1}{q_m^1}+ \frac{q^2}{q_m^2}\le 1$ $–$ условие работы светофора в нормальном режиме;
• $\frac{q^1}{q_m^1}+ \frac{q^2}{q_m^2}>1$ $–$ условие блокировки перекрестка;
• $\frac{T_{зел}^1}{T_{зел}^2}\in \left[\frac{q^1}{q_m^1-q^1}, \frac{q_m^2-q^2}{q^2}\right]$, если $\frac{q^1}{q_m^1}\ge \frac{q^2}{q_m^2}$ и перекресток не блокирован $–$ возможный интервал работы светофора
• $\frac{T_{зел}^2}{T_{зел}^1}\in \left[\frac{q^2}{q_m^2-q^2}, \frac{q_m^1-q^1}{q^1}\right]$, если $\frac{q^2}{q_m^2}\ge \frac{q^1}{q_m^1}$ и перекресток не блокирован $–$ возможный интервал работы светофора.

Следует иметь в виду, что параметры каждой трассы определяются через параметры полутрасс каждой трассы следующим образом:

$q^1=q^{11}+q^{12}, q_m^1=q_m^{11}+q_m^{12}$

$q^2=q^{21}+q^{22}, q_m^2=q_m^{21}+q_m^{22}$

т.е. в подробной записи:

$\frac{q^1}{q_m^1-q^1} есть \frac{\left(q^{11}+q^{12}\right)}{\left(q_m^{11}+q_m^{12}\right)-\left(q^{11}+q^{12}\right)};$

$\frac{q^2}{q_m^2-q^2} есть \frac{\left(q^{21}+q^{22}\right)}{\left(q_m^{21}+q_m^{22}\right)-\left(q^{21}+q^{22}\right)};$

$\frac{q^1}{q_m^1} есть \frac{\left(q^{11}+q^{12}\right)}{\left(q_m^{11}+q_m^{12}\right)};$

$\frac{q^2}{q_m^2} есть \frac{\left(q^{21}+q^{22}\right)}{\left(q_m^{21}+q_m^{22}\right)},$

где $q^{11},q^{12}$ $–$ потоки АТС по полутрассам 1-й трассы; $q^{21},q^{22}$ $–$ потоки АТС по полутрассам 2-й трассы; $q_m^{11},q_m^{12}$ $–$ пропускные способности полутрасс 1-й трассы; $q_m^{21},q_m^{22}$ $–$ пропускные способности полутрасс 2-й трассы

5. Алгоритм определения основных характеристик перекрестка

1.   Задать значения потоков по полутрассам трасс 1 и 2: $q^{11},q^{12},q^{21},q^{22}$ и пропускных способностей по полутрассам каждой трассы: $q_m^{11},q_m^{12},q_m^{21},q_m^{22}$.

2.   Вычисляются величины $\frac{q_1^1}{q_{m, 1}^1-q_1^1}$ , $\frac{q_2^1}{q_{m, 2}^1-q_2^1}$ ; $\frac{q_1^2}{q_{m, 1}^2-q_1^2}$ , $\frac{q_2^2}{q_{m, 2}^2-q_2^2}$ и из каждой из этих пар значений выбирается наибольшее. Пусть это соответственно $\frac{q_1^1}{q_{m, 1}^1-q_1^1}$ и $\frac{q_2^2}{q_{m, 2}^2-q_2^2}$ . Тогда $q^1:=q_1^1$ , $q_m^1:=q_{m, 1}^1$; $q^2:=q_2^2$ , $q_m^2:=q_{m, 2}^2$.

3.   Определяется наибольшее из значений $\frac{q^1}{q_m^1-q^1}$ и $\frac{q^2}{q_m^2-q^2}$ . Пусть это $\frac{q^1}{q_m^1-q^1}$ .

4.   Вычисляется величина нагрузки АТС на перекресток:

$B=\frac{q^1}{q_m^1}+\frac{q^2}{q_m^2}.$

5.   Если $B\le 1$, то на 7).

6.   Выдается значение В и фраза «Перекресток находится в зоне блокировки». На 9).

7.   Определяется интервал возможных рабочих режимов работы светофора $\frac{T_{зел}^1}{T_{зел}^2}\in \left[\frac{q^1}{q_m^1-q^1}, \frac{q_m^2-q^2}{q^2}\right]$ .

8.   Определяется оптимальный режим работы светофора на перекрестке ${\left(\frac{T_{зел}^1}{T_{зел}^2}\right)}_{opt}=\frac{q^1{q}_m^2}{q_m^1{q}^2}$, если $\frac{q^1}{q_m^1}\ge \frac{q^2}{q_m^2}$ и ${\left(\frac{T_{зел}^2}{T_{зел}^1}\right)}_{opt}=\frac{q^2{q}_m^1}{q_m^2{q}^1}$, если $\frac{q^2}{q_m^2}\ge \frac{q^1}{q_m^1}$ и возможный интервал работы светофора.

9.   Конец.

Ниже представлены таблица значений потоков по трассам перекрестка и оптимальные соотношения времен горения зеленого цвета светофора по трассам при $q_m^1=50\frac{атс}{мин}$, $q_m^2=40\frac{атс}{мин}$.

Таблица 1. Оптимальные соотношения времен горения зеленого цвета по трассам 1 и 2 при различных нагрузках АТС на трассы

Table 1. Optimal ratios of green light times on lanes 1 and 2 for different vehicle loads on the lanes

Таблица получена программной системой (Свидетельство о регистрации программы для ЭВМ $№$ 2024613897 «Расчет возможных и оптимального режимов работы светофора на двухполостных по каждой из трасс перекрестках города». Буздов А. К., Кудаев В. Ч., дата гос. регистрации 16 февраля 2024 г.).

6. Трехфазный режим работы светофора на перекрестке города

1. Пусть перекресток находится в зоне блокировки при двухфазном режиме работы, т.е.

$\frac{q^1}{q_m^1}+\frac{q^2}{q_m^2}>1.$

Запишем условие блокировки более конкретно:

$\frac{{\text{q}}^1}{{\text{q}}_{\text{m}}^1}+\frac{{\text{q}}^2}{{\text{q}}_{\text{m}}^2}=1+\text{α},0<\text{α}<1.$ (11)

2. Можно ли за счет более сложной работы светофора, а именно при трехфазной его работе, вывести перекресток из зоны блокировки?

3. Рассмотрим следующий трехфазный режим. Пусть

$\frac{q^1}{q_m^1}\ge \frac{q^2}{q_m^2}$

и доля АТС, въезжающих в перекресток по полутрассам (1,1) и (1,2) 1-й трассы и проезжающих его без поворота налево в единицу времени, составляет $p$ от общего потока по трассе $q_1$.

Как было показано ранее, при двухфазной работе светофора оптимальным является следующий режим:

$\frac{{\text{T}}_3^1}{{\text{T}}_3^2}=\frac{\raisebox{1ex}{${\text{q}}^1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{${\text{q}}_{\text{m}}^1$}\right.}{\raisebox{1ex}{${\text{q}}^2$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{${\text{q}}_{\text{m}}^2$}\right.},$   (12)

т.е. времена горения зеленого по трассам соотносятся в соответствии с нагрузками АТС по трассам. Поэтому выделим часть времени от $T_3^1$ на движение АТС по полутрассам (1,1) и (1,2), потокам АТС, не сворачивающим налево. Обозначим это время $t_3^1$ .

Тогда получим:

время $\left(T_3^1-t_3^1\right)$ $–$ нагрузка на 1-ю трассу равна $\frac{q^1}{q_m^1}$;

время $t_3^1$ $–$ нагрузка на 1-ю трассу равна $p\frac{q^1}{q_m^{*}}$, где $q_m^{*}$ составляет около $60 атс/мин.$, потоки по полутрассам (1,1) и (1,2) не мешают друг другу;

время $T_3^2$ $–$ нагрузка на 2-ю трассу равна $\frac{q^2}{q_m^2}$.

Тогда общая нагрузка АТС на перекресток для его вывода из зоны блокировки должна удовлетворять условию

$\left(\frac{{\text{q}}^1}{{\text{q}}_{\text{m}}^1}-\text{p}\frac{{\text{q}}^1}{{\text{q}}_{\text{m}}^{\text{*}}}\right)+\frac{{\text{q}}^2}{{\text{q}}_{\text{m}}^2}\le 1.$    (13)

Теперь следует связать это условие с условием, что в двухфазном режиме перекресток находится в зоне блокировки, т.е. с условием

$\frac{q^1}{q_m^1}+\frac{q^2}{q_m^2}=1+\alpha , т.е.$

$\frac{q^1}{q_m^1}=1+\alpha -\frac{q^2}{q_m^2}.$

Подставив это в (13), получим следующее условие возможности вывода перекрестка из зоны блокировки на основе представленного трехфазного режима работы светофора:

$\alpha \le \frac{p{q}^1}{q_m^{*}}.$   (14)

7. Определение величины пропускной способности перекрестка

Измерения проводятся во время пиковой нагрузки на перекресток. Значение величины $q_m$ на двухполосных перекрестках города при двухфазной работе светофора (т.е. $T_{кр}^1 = T_{зел}^2,T_{кр}^2 = T_{зел}^1$ ) определяется усреднено:

1. Определяется время цикла работы светофора $–$ часто это двухминутный цикл, т.е. 120 сек.

2. Определяется количество АТС на двух однонаправленных полосах трассы, накопившихся за время горения красного цвета светофора по трассе.

3. Засекаются и фиксируются последние в очереди из них по каждой полосе.

4. Характеризацией максимального по плотности потока является то, что эти АТС стоят плотно друг относительно друга на расстоянии около 2 м, и после включения зеленого цвета светофора по трассе эти АТС с интервалом примерно 1 с начинают вдвигаться в перекресток, увеличивая скорость так, что расстояние между i-м и ( $i+1$ )-м слоем АТС больше, чем между ( $i+1$ )-м и ( $i+2$ )-м.

5. Определяется, за какое время $t_{m_j}$ зафиксированныx $m_j$ машин, стоящих в очереди на прохождение перекрестка, при j-ом измерении прошли перекресток за время горения зеленого $T_{зел}$. Тогда 

${\left(q_m\right)}_j=m_j\frac{T_{зел}}{t_{m_j}}$.

6. Эксперимент проводится несколько раз во время пиковой нагрузки, т.е. во время наибольшего потока $q$ по каждой из трасс перекрестка по времени суток, и усредняется, т.е.

$q_m=\frac{1}{n}{{\displaystyle \sum }}_{j=1}^n{\left(q_m\right)}_{j.}$   (15)

Заключение

В результате научных исследований по задаче о режиме работы светофора на двухполосном перекрестке города получены следующие результаты:

1.  На основе условия Лайтхилла$–$Уизема о режиме работы светофора (зеленый, красный), обеспечивающем ненакопление АТС перед светофором по трассе перекрестка, доказано общее условие (необходимое и достаточное) ненакопления транспортных средств перед светофором на перекрестке в целом.

2.  Выделены основные параметры и характеристики перекрестка с двухфазным светофорным управлением.

3.  Представлено оптимальное решение задачи о светофоре.

4.  Определен запас устойчивости оптимального режима работы светофора.

5.  Представлен укрупненный алгоритм определения основных характеристик перекрестка и разработана программа для ЭВМ, реализующая алгоритм.

6.  Представлено геометрическое истолкование оптимального режима работы светофора в двухфазном режиме.

7.  Представлены трехфазный режим работы светофора и условие возможности вывода перекрестка из зоны блокировки переходом от двухфазного режима работы светофора к трехфазному.

Рассмотрение двухполосных перекрестков связано не только с тем, что для них условие ненакопления АТС является интервальным (закрытый интервал), но и с тем, что такие перекрестки составляют значительную часть перекрестков городов.