Computer modelling of large branched water pipeline systems with higher-order optimality

Full Text

Введение

В настоящее время одной из актуальных является проблема снижения дефицита воды в части регионов России. Поэтому метод решения проблемы должен быть ориентирован на создание больших трубопроводных сетей регионального и межрегионального водоснабжения.

Снижение затрат на создание таких сетей является важной задачей, которая может быть решена только на основе математического моделирования и компьютерного проектирования. Недостатком существующих методов решения этой задачи является то, что задача ставится и решается как чисто потоковая. В работах Сибирского энергетического института [1] эта задача решалась уже как потоковая задача Кирхгофа, т.е. с учетом потоковых и потенциальных переменных.

Метод решения, предложенный в [1], модифицирован в данной работе. Модификация метода состоит в разделении процесса оптимизации на две фазы: на первой фазе определяется структура, на второй $–$ значения потенциальных переменных. Разделение процесса оптимизации на две фазы существенно снижает размерность задачи и время ее решения на компьютере. На этой основе разработана компьютерная система проектирования разветвленных трубопроводных сетей водоснабжения высокого ранга оптимальности.

1. Задача синтеза трубопроводной гидравлической сети

Пусть $\text{Γ}\left(B,D\right)$ $–$ заданный избыточный граф возможных соединений вершин сети; $B$ $–$ множество вершин графа; $D$ $–$ множество дуг графа.

Общая постановка задачи синтеза трубопроводной гидравлической сети состоит в следующем:

$З\left(x,h\right)=\frac{\rho {Н}_{НС}{Q}_{НС}T}{\eta }+ {\displaystyle \sum }_{\left(ij\right)\in D}^n{c}_{ij}\left(x_{ij},h_{ij}\right)l_{ij}\to min$  (1)

${\displaystyle \sum }_{i\in {\text{D}}_j^{+}}{x}_{ij}-{\displaystyle \sum }_{k\in {\text{D}}_j^{-}}{x}_{jk}=g_j, \forall j\ne 1\in B,$  (2)

${\displaystyle \sum }_{j\in {\text{D}}_j^{-}}{x}_{1j}=Q_{НС},$   (3)

$x_{ij}\ge \mathrm{0,} \forall \left(i,j\right)\in D$   (4)

${Н}_{Н{С}_i}={Н}_i+z_i-z_{НС}+{\displaystyle \sum }_{\left(rs\right)\in T_i}{h}_{rs}{l}_{rs}$  (5)

${Н}_{НС}=\underset{i}{\max }\left\{{Н}_{Н{С}_i}\right\},$    (6)

где $З\left(x,h\right)$ $–$ общие затраты на сеть; $\rho$ $–$ цена в рублях за 1 кВт/ч; ${Н}_{НС}$ $–$ напор на насосной станции; $Q_{НС}$ $–$ общий поток в сеть; $T$ $–$ заданное время эксплуатации сети в часах; $\eta$ $–$ коэффициент полезного действия (КПД); $i$ $–$ номер вершины истока, $j$ $–$ номер вершины стока $\left(ij\right)$ -й ветви; $x_{ij}$ $–$ поток по ветви; $h_{ij}$ $–$ удельные потери напора по ветви; $l_{ij}$ $–$ длина ветви; $c_{ij}\left(x_{ij},h_{ij}\right)$ $–$ удельная стоимость ветви, которая вычисляется по формуле:

$c_{ij}\left(x_{ij},h_{ij}\right)=a+b{d}_{ij}^{\alpha },$

где $b$ $–$ цена за 1 метр трубы диаметром 1 метр; $d_{ij}$ $–$ диаметр трубы по ветви.

Для различных материалов труб коэффициенты $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $k$ определяются из табл. 1 (таблица сформирована нами на основе сведений из [2]).

 

Таблица 1. Значения гидравлических параметров труб из различных материалов

Table 1. Values ​​of hydraulic parameters of pipes made of different materials

Материал труб	Коэффициенты
Сталь	1,4	2	5,3	0,001735
Чугун	1,6	2	5,3	0,001735
Асбестоцемент	1,95	1,85	4,89	0,001180
Пластмасса	1,95	1,774	4,774	0,001052

 

Представим таблицу полиэтиленовых труб, активно использующихся при проектировании больших разветвленных трубопроводных гидравлических сетей[1].

Исходя из табл. 2 были определены следующие значения коэффициентов $a$, $b$:

$a=0$, $b=17400 \left(\text{руб}.\right)$.

Диаметр труб вычисляется по формуле Дарси$–$Вейсбаха:

$d_{ij}={\left(\frac{k{x}_{ij}{}^{\beta }}{h_{ij}}\right)}^{\frac{1}{\gamma }}.$

${\text{D}}_j^{+}$ $–$ множество дуг, входящих в узел $j$; ${\text{D}}_j^{-}$ $–$ множество дуг, исходящих из узла $j$; $g_j$ $–$ заданный расход потока в j-м узле сети; источником является вершина под номером 1; ${Н}_i$ $–$ нормативный напор в $i$ -й вершине; $z_i$ $–$ высота $i$ -й вершины; $z_{НС}$ $–$ высота вершины, в которой находится насосная станция; $T_i$ $–$ траектория, состоящая из ветвей, ведущих из источника в i-ю вершину; $\left(rs\right)$ $–$ ветви сети, находящиеся на траектории $T_i$; ${\displaystyle \sum }_{\left(rs\right)\in T_i}{h}_{rs}{l}_{rs}$ $–$ полные потери напора по траектории, ведущей из источника в $i$ -ю вершину; ${Н}_{Н{С}_i}$ $–$ необходимый напор на насосной станции, обеспечивающий $i$ -ю вершину ее заданным нормативным напором.

 

Таблица 2. Трубы водопроводные напорные ПЭ 100

Table 2. Pressure water pipes PE 100

Диаметры труб (мм)	Цена ( )
50	46,20
63	73,20
75	100,20
90	145,35
110	213,00
125	274,50
140	346,50
160	454,50
180	567,00
200	702,00
225	882,00
250	1093,50
280	1363,50
315	1740,00
355	2190,00
400	2790,00
450	3525,00
500	4350,00
560	5445,00
630	6900,00
710	8775,00
800	11115,00
900	14070,00
1000	17400,00
1200	25050,00

 

Функция $c_{ij}\left(x_{ij},h_{ij}\right)$ для $\forall \left(i,j\right)\in D$ является гладкой и строго вогнутой по $x_{ij}$ и выпуклой по $h_{ij}$. Вследствие вогнутости функции по $x_{ij}$ задача (1)$–$(6) является существенно многоэкстремальной. Ввиду высокой сложности задачи (1)$–$(6) сначала решается более простая, потоковая задача и уже на основе ее решения находится решение общей задачи.

2. Задача синтеза разветвленной потоковой сети

Задача синтеза разветвленной потоковой сети состоит в следующем:

$З\left(x\right)={\displaystyle \sum }_{ij \in D}{c}_{ij}\left(x_{ij}\right)l_{ij} \to min,$   (7)

${\displaystyle \sum }_{i\in {\text{D}}_j^{+}}{x}_{ij}-{\displaystyle \sum }_{k\in {\text{D}}_j^{-}}{x}_{jk}=g_j, \forall j\ne 1\in B,$   (8)

${\displaystyle \sum }_{j\in {\text{D}}_j^{-}}{x}_{1j}=Q,$   (9)

$x_{ij}\ge \mathrm{0,} \forall \left(i,j\right)\in D,$    (10)

где $\text{Γ}\left(B,D\right)$ $–$ заданный избыточный граф возможных соединений вершин сети; $B$ $–$ множество вершин графа; $D$ $–$ множество дуг графа; $З\left(x\right)$ $–$ затраты на потоковую сеть; $x_{ij}$ и $l_{ij}$ $–$ значения величины потока и длина $\left(i,j\right)$ -й дуги; $c_{ij}\left(x_{ij}\right)$ $–$ заданная функция удельной стоимости; $Q$ $–$ заданный поток в сеть; $g_j$ $–$ заданный расход потока в $j$ -м узле сети. ${\text{D}}_j^{+}$ $–$ множество дуг, входящих в узел $j$; ${\text{D}}_j^{-}$ $–$ множество дуг, исходящих из узла $j$.

Функция $c_{ij}\left(x_{ij}\right)$ для $\forall \left(i,j\right)\in D$ является гладкой и строго вогнутой. Поэтому задача (7)$–$(10) является существенно многоэкстремальной, т.к. локальные экстремумы задачи (7)$–$(10), вообще говоря, достигаются во всех вершинах транспортного многогранника (8)$–$(10), а глобальный в одной из них.

2.1. Существующие методы решения потоковой задачи и их недостатки

Недостатки существующих методов [3$–$5] рассмотрены в монографии [1, с. 114$–$123]. Основной недостаток состоит в том, что уже при $n>80$ (где $n$ $–$ количество узлов сети) существующие методы поиска глобального минимума не срабатывают.

Метод погружения решения задачи минимизации вогнутой функции на выпуклом многограннике изложен в работе [6]. В работах [3$–$4] данный метод модифицирован для решения задачи синтеза потоковой сети с целевой функцией (7) на транспортном многограннике (8)$–$(10).

Метод ветвей и границ, представленный в работе [5], основан на последовательном делении множества допустимых решений с отбрасыванием подмножеств, имеющих высокую нижнюю оценку минимизируемой функции. Теоретически это обеспечивает получение глобального минимума, но с заданной допустимой погрешностью.

Также следует отметить работу авторов Е. Р. Ставровского и Р. А. Трунова «Новые задачи и компьютерные программы оптимизации конфигурации и параметров региональных газораспределительных сетей при их проектировании» (см. [7, с. 97$–$108]).

2.2. Метод ранговой оптимизации разветвленной потоковой сети

Для существенно многоэкстремальных задач большой размерности локальный экстремум не информативен, а глобальный, вообще говоря, недостижим за экономически оправданное время решения задачи на компьютере. Поэтому в наших работах [8$–$12] было введено и использовано понятие ранга экстремума решения задачи синтеза потоковой сети.

Определение 1. Точкой экстремума Р-го ранга задачи (7)$–$(10) назовем такую угловую точку ${\left\{x_{ij}^{*}\right\}}_{ij\in D}$ транспортного многогранника (8)$–$(10), которая является точкой глобального минимума на выпуклой линейной комбинации вершин многогранника P-достижимых из этой точки.

Как известно, любой точке (вершине) транспортного многогранника соответствует базисное решение. Переведем определение 1 на язык теории сетей.

Определение 2. $P$ -фрагментом сети назовем замыкаемые любыми $P$ хордами графа $\text{Γ}\left(B,D\right)$ $P$ контуров на текущем остовном дереве $T$ графа $\text{Γ}\left(B,D\right)$.

Теорема (условие ранговой оптимальности для сетевой задачи).

1) Отличные от нуля компоненты потокораспределения ${\left\{x_{ij}^{*}\right\}}_{ij\in D}$ сети Р-го ранга выделяют на графе $\Gamma \left(B,D\right)$ ориентированное остовное дерево с корнем в источнике сети.

2) Экстремум Р-го ранга является глобальным на выпуклой линейной комбинации вершин транспортного многогранника, имеющих смежность в промежутке $\left[\mathrm{1,}P\right]$ к точке экстремума.

З) Для того чтобы решение ${\left\{x_{ij}^{*}\right\}}_{ij\in D}$, где $x_{ij}=0 \forall \left(i,j\right)\notin T,$ задачи (7)-(10) было экстремумом Р-го ранга, необходимо и достаточно, чтобы оно было оптимально по всем фрагментам Р-го ранга на $T$, т.е.

${\displaystyle \sum }_{\left(i,j\right)\in {Ф}_{T,P}}{c}_{ij}\left(x_{ij}^{*}\right)l_{ij}\le {\displaystyle \sum }_{\left(i,j\right)\in D}{c}_{ij}\left(x_{ij}\right)l_{ij},$

где ${\left\{x_{ij}\right\}}_{ij\in D}$ $–$ любое допустимое решение задачи, но такое, что $x_{ij}=x_{ij}^{*}$ $\forall \left(i,j\right)\notin {Ф}_{T,P}$.

Доказательство теоремы приведено в работе [13].

Отметим, что условие ранговой оптимальности является конкретизацией системного принципа оптимальности: «Любая часть оптимальной системы оптимальна (при фиксации граничных условий с остальной сетью)».

Метод ранговой оптимизации сетевых систем, представленный в наших работах [8$–$13], состоит в сведении оптимизации сети к оптимизации ее фрагментов все более высокого ранга. При этом рассмотрение только связных Р-фрагментов существенно снижает размерность задачи.

Суть метода ранговой оптимизации разветвленной потоковой сети состоит в следующем.

При оптимизации 1-го ранга на очередной итерации выделяется очередная хорда $\left(i,j\right)$ и соответствующий ей фрагмент 1-го ранга (контур сети) на $Т$. Из фрагмента удаляется дуга, встречная хорде. Проведя оптимизацию полученного фрагмента, определяем очередную независимую переменную относительно полученного решения и переходим к оптимизации соответствующего фрагмента. Процесс оптимизации 1-го ранга системы завершается при получении решения, которое не может быть улучшено внесением в оптимизируемое текущее остовное дерево любой из его хорд и соответствующим изменением потоков по образованному при этом контуру.

Далее переходим к оптимизации 2-го ранга. Для этого выделяем на каждой очередной итерации очередную пару хорд и соответствующие им фрагменты 1-го ранга. В том случае, когда эти фрагменты пересекаются, формируем фрагмент 2-го ранга $–$ объединение двух фрагментов 1-го ранга. Решаем задачу оптимизации фрагмента 2-го ранга и переходим к следующей итерации.

Оптимизация системы прекращается при достижении заданного оптимума Р-го ранга либо заданного времени решения задачи на компьютере. При этом, если фрагменты P-го ранга не пересекаются, программная система их не рассматривает, т.к. их оптимизация уже была проведена при построении сети (Р-1)-го ранга. Это резко снижает размерность задачи синтеза сети. Таким образом, метод ранговой оптимизации сетевых систем состоит в сведении оптимизации сети к оптимизации только ее связных фрагментов Р-го ранга.

3. Разбиение решения задачи синтеза разветвленной потоковой сети на две фазы и теорема о согласовании фаз решения

3.1. Метод А. П. Меренкова, В. Я. Хасилева, О. А. Некрасовой

В работе [1] изложены методы оптимального проектирования разветвленных трубопроводных сетей, разработанные в Сибирском энергетическом институте (г. Иркутск). Основу методов составили работы А. П. Меренкова, В. Я. Хасилева и О. А. Некрасовой [14, 2]. В основе метода Меренкова$–$Хасилева$–$Некрасовой (метод МХН) лежит зависимость стоимости каждой i-й ветви сети от диаметра трубы на ней, стоимостных коэффициентов $a$ и $b$ и гидравлического коэффициента $0<\alpha \le 2$.

$c_i=a+b{d}_i^{\alpha }$,           (11)

где $a$, $b$ и $\alpha$ зависят от материала труб.

На основе формулы типа Дарси$–$Вейсбаха $h_i=\frac{k{x}_i^{\beta }}{d_i^{\gamma }}$ получим

$d_i={\left(\frac{k{x}_i^{\beta }}{h_i}\right)}^{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\gamma $}\right.}.$                                                         (12)

Из (11), (12) и с учетом того, что $a=0$, получим

$c_i=b{k}^{\frac{\alpha }{\gamma }}{x}_i^{\frac{\alpha \beta }{\gamma }}{h}_i{}^{-\frac{\alpha }{\gamma }}$.

В методе МХН решается задача минимизации капитальных затрат $З\left(x,h\right)$ на сеть при заданных энергетических затратах $Э$ и общего потока в сеть $Q$ от источника:

$З\left(x,h\right)={\displaystyle \sum }_{i=1}^n\left(b{k}^{\frac{\alpha }{\gamma }}{x}_i^{\frac{\alpha \beta }{\gamma }}{h}_i{}^{-\frac{\alpha }{\gamma }}\right)l_i\to min,$  (13)

${\displaystyle \sum }_{i=1}^n{x}_i{h}_i{l}_i=Э,$  (14)

$Ax=Q,$ (15)

где $A$ $–$ заданная матрица возможных соединений узлов сети друг с другом, $x=\left(x_1,x_2,\dots ,x_n\right)$ $–$ вектор потоков; $x_i,h_i$ $–$ неизвестный поток и удельная потеря напора по i-й ветви матрицы; $\alpha ,\beta ,\gamma$ $–$ гидравлические параметры, зависящие от материала труб сети; $b,k$ $–$ заданные коэффициенты; $l_i$ $–$ длина $i$ -й ветви сети.

Значения гидравлических и стоимостных данных по трубам из различных материалов представлены в табл. 1, сформированной нами на основе методов определения потерь напора в водопроводных трубах [2, с. 54$–$55].

Снизить размерность задачи (13)$–$(15) позволяет разделение решения задачи оптимального проектирования на две фазы: на первой фазе решается задача трассировки сети (определение потоков по ветвям сети), на второй фазе $–$ задача (13)$–$(15) при известных потоках.

3.2. Метод трассировки сети (1-я фаза)

Общие затраты (капитальные и энергетические) на всю сеть будем оценивать функцией

$F\left(x,h\right)={\displaystyle \sum }_i^n\left(b{k}^{\frac{\alpha }{\gamma }}{x}_i^{\frac{\alpha \beta }{\gamma }}{h}_i{}^{-\frac{\alpha }{\gamma }}+p{x}_i{h}_i\right)l_i.$ (16)

Поскольку функция затрат (16) строго выпуклая и гладкая по $h_i$, то находим производную по $h_i$, приравниваем ее к нулю, находим значения $h_i$, подставляем в (16) и после ряда преобразований получим

$F\left(x\right)=\left({\left(\frac{\gamma }{\alpha }\right)}^{\frac{\alpha }{\alpha +\gamma }}+{\left(\frac{\alpha }{\gamma }\right)}^{\frac{\gamma }{\alpha +\gamma }}\right)b^{\frac{\gamma }{\alpha +\gamma }}{\left(pk\right)}^{\frac{\alpha }{\alpha +\gamma }}{\displaystyle \sum }_i{x}_i^{\frac{\alpha \beta +\alpha }{\alpha +\gamma }}{l}_i.$

Введя обозначения

$\eta =\left({\left(\frac{\gamma }{\alpha }\right)}^{\frac{\alpha }{\alpha +\gamma }}+{\left(\frac{\alpha }{\gamma }\right)}^{\frac{\gamma }{\alpha +\gamma }}\right)b^{\frac{\gamma }{\alpha +\gamma }}{\left(pk\right)}^{\frac{\alpha }{\alpha +\gamma }}$,            $\delta =\frac{\alpha \beta +\alpha }{\alpha +\gamma }$,

окончательно получим

$F\left(x\right)=\eta {\displaystyle \sum }_i{x}_i^{\delta }{l}_i.$  (17)

Величины $\eta$ и $\delta$ зависят только от материала труб, используемых для создания сети и не зависят от потоков. Таким образом, приходим к чисто потоковой задаче, поскольку $\eta$ и $\delta$ являются константами на заданном сортаменте труб.

Поскольку же $0<\delta <1$, то есть потоковая функция $x_i^{\delta }$ строго вогнута по потоку $x_i$. Вследствие этого локальные и глобальные экстремумы функции затрат (17) следует искать только на остовных деревьях заданного избыточного графа возможных соединений узлов сети друг с другом.

3.3. Метод определения оптимальных параметров разветвленной трубопроводной гидравлической сети при заданных потоках (2-я фаза)

При найденных в ходе решения задачи трассировки потоках $x_1^{*},x_2^{*},\dots ,x_n^{*}$ задача (13)$–$(15) переходит в задачу:

$\left\{\begin{array}{c}З\left(h\right)={\displaystyle \sum }_{i=1}^n\left(b{k}^{\frac{\alpha }{\gamma }}{x}_i^{*}{}^{\frac{\alpha \beta }{\gamma }}{h}_i{}^{-\frac{\alpha }{\gamma }}\right)l_i\to min,\\ {\displaystyle \sum }_{i=1}^n{x}_i^{*}{h}_i{l}_i=Э.\end{array}\right.$

Решая ее методом Лагранжа, получим 

$h_i=\frac{Эx_i^{*}{}^{\frac{\alpha \beta -\gamma }{\alpha +\gamma }}}{{{\displaystyle \sum }}_{j=1}^n{x}_j^{*}{}^{\frac{\alpha \beta +\alpha }{\alpha +\gamma }}{l}_j}$

для любого $i=j$, $x_i^{*}=x_j^{*}$.

Поскольку значения $x_i^{*},i=\overline{\mathrm{1,}n}$ известны, то, вычислив сумму в знаменателе дроби и обозначив ее $M$

$M={\displaystyle \sum }_{j=1}^n{x}_j^{*}{}^{\frac{\alpha \beta +\alpha }{\alpha +\gamma }}{l}_j,$

определим $h_i^{*}$ 

$h_i^{*}=\frac{Эx_i^{*}{}^{\frac{\alpha \beta -\gamma }{\alpha +\gamma }}}{M}, i=\overline{\mathrm{1,}n}$

Подставив найденные значения $h_i^{*}$ и $x_i^{*}$ в (12), получим диаметры $d_i$, а подставляя $d_i$ в (11), получим удельную стоимость трубопроводов водопроводной сети.

Теорема (о коммутации фаз решения задачи синтеза потоковой сети).

С ростом ранга оптимальности решения задачи трассировки (1-я фаза) уменьшаются и затраты на создание гидравлической трубопроводной сети при заданных фиксированных энергетических затратах (2-я фаза), т.е. если ${З}_{{Ф}_1}^P$ и ${З}_{{Ф}_1}^{P+1}$ $–$ соответственно оценки затрат на создание сетей $P$ -го и $\left(P+1\right)$ -го рангов оптимальности на первой фазе оптимизации, ${З}_{{Ф}_2}^P$ и ${З}_{{Ф}_2}^{P+1}$ $–$ оценки затрат на второй фазе, $x_i^{*}$, $x_i^{**}$, $i=\overline{\mathrm{1,}n}$ $–$ потоки на сети i-го и $\left(P+1\right)$ -го рангов, тогда

$\frac{{З}_{{Ф}_1}^{P+1}\left(x^{**}\right)}{{З}_{{Ф}_1}^P\left(x^{*}\right)}=r<1 \Rightarrow \frac{{З}_{{Ф}_2}^{P+1}\left(x^{**}\right)}{{З}_{{Ф}_2}^P\left(x^{*}\right)}=r^{\frac{\alpha }{\gamma }+1}<1.$

Доказательство этой теоремы приведено в нашей работе [11]

4. Вычислительный эксперимент по оптимизации структуры (1-я фаза)

Был проведен вычислительный эксперимент на плотном базовом графе (см. рис. 1а). За основу взята одна из подсетей крупнейшей на Юге России (Ставропольский край) Лево-Егорлыкской трубопроводной оросительной системы. Была запущена 5-оптимизация с остовного дерева сети со структурой, приведенной на рис. 1б.

 

Рис. 1. Базовый граф, структура начального остовного дерева, структура 5-оптимальной сети

Fig. 1. Basic graph, structure of the initial spanning tree, structure of the 5-optimal network

 

В процессе 5-оптимизации структура исходной сети была преобразована в структуру, приведенную на рис. 1в. Краткая информация по оптимизации представлена в табл. 3.

 

Таблица 3. Информация по оптимизации

Table 3. Optimization information

Показатель	Начало	Конец
Структура	Рис. 1б	Рис. 1в
Время	13:55	22:23
Стоимость (потоковая)	9093,770 у.е.	8643,053 у.е.
Процент оптимизации	≈4,96 %

 

Дальнейшая оптимизация потерь напора, диаметров труб и общей стоимости сети будет проводиться на структуре, приведенной на рис. 1в, что следует из теоремы о коммутации фаз решения задачи синтеза потоковой сети.

5. Суть алгоритма оптимизации общей стоимости сети

После того как структура определена и потоки по ней известны, переходим к оптимизации потерь напора, диаметров труб и общей стоимости сети (т.е. затрат на создание и эксплуатацию сети).

Для начала следует найти начальное значение энергии, которое будет затрачиваться на работу сети («Алгоритм подсчета начальной энергии»). Далее находится такой напор на насосной станции (НС), который сможет обеспечить каждый узел сети требуемым напором воды («Алгоритм подсчета напора на насосной станции»). Далее находится общая стоимость всей сети с учетом энергии, напора на НС, времени работы, КПД НС, длин и стоимости каждой ветви сети, зависящей от диаметров труб, которые, в свою очередь, зависят от напоров и потока на каждой ветви сети («Алгоритм подсчета полных затрат»).

Однако данная общая стоимость сети, являющаяся оптимальной по затратам на трубы, не является оптимальной по энергетическим затратам. Поэтому для решения задачи (1)$–$(6) следует постепенно снижать значение энергии (например, на 1 %) и высчитывать общую стоимость сети до тех пор, пока снижается общая стоимость всей сети («Алгоритм оптимизации полных затрат на сеть»).

Далее приведены все указанные алгоритмы.

6. Алгоритмы

6.1. Вводные данные

Задана структура (дерево) сети, т. е. заданы:

• вершины дерева (соответственно их координаты и потребление в них, а также нормативный напор, т.е. это тот напор, который нужно предоставить/поставить в каждую вершину);
• дуги дерева (а значит, уже посчитаны потоки по трубам).

Насосная станция ставится в вершине-источнике.

6.2. Алгоритм подсчета начальной энергии (Э₀)

1)  Считаем удельные потери напора $h_i$ по каждой ветви дерева по формуле

$h_i={\left(\frac{\alpha b}{\gamma p}\right)}^{\frac{\gamma }{\alpha +\gamma }}{k}^{\frac{\alpha }{\alpha +\gamma }}{x}_i^{\frac{\alpha \beta -\gamma }{\alpha +\gamma }},$

где $b=17400$ $–$ цена в рублях за 1 метр трубы диаметра 1 метр; $p=\mathrm{5,68}$ $–$ цена за 1 киловатт-час; $i$ $–$ номер ветви; $x_i$ $–$ поток по ветви; $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $k$ $–$ коэффициенты из табл. 1.

2)  Считаем начальную энергию ${Э}_0$ по формуле

${Э}_0= {\displaystyle \sum }_{i=0}^n{x}_i{h}_i{l}_i$,

где $i$ $–$ номер ветви дерева; $x_i$ $–$ поток по ветви; $l_i$ $–$ длина ветви; $h_i$ $–$ удельные потери напора по ветви.

6.3. Алгоритм подсчета напора на насосной станции (Н_НС)

1)  Вычисляем величину M по формуле

$M={\displaystyle \sum }_{i=1}^n{x}_i^{\frac{\alpha \left(\beta +1\right)}{\alpha +\gamma }}{l}_i$

2)   Для каждой ветви $j$ вычисляется $h_j$ (удельная потеря напора по j-й ветви) по формуле

$h_j=\frac{{Э}_0{x}_j^{\frac{\alpha \beta -\gamma }{\alpha +\gamma }}}{M}.$

3)   Для каждой вершины $i$ находим $T_i$ $–$ траекторию из веток, ведущую из источника в i-ю вершину.

4)   Для каждой вершины $i$ находим ${Н}_{Н{С}_i}$ (т.е. напор на насосной станции, который требуется для обеспечения этой вершины $i$ требуемым ей напором) по формуле

${Н}_{Н{С}_i}={Н}_i+z_i-z_{НС}+{\displaystyle \sum }_{j\in T_i}{h}_j{l}_j,$

где ${Н}_i$ $–$ нормативный напор в i-й вершине, $z_i$ $–$ высота i-й вершины, $z_{НС}$ $–$ высота насосной станции (точнее высота вершины, где находится насосная станция), ${\displaystyle \sum }_{j\in T_i}{h}_j{l}_j$ $–$ полные потери напора по j-й дуге, j $–$ номер дуг дерева (ветви).

5)  Находим ${Н}_{НС}$ как максимум из всех ${Н}_{Н{С}_i}$, т. е.

${Н}_{НС}=\underset{i}{\max }\left\{{Н}_{Н{С}_i}\right\}.$

6.4. Алгоритм подсчета полных затрат (З₀)

Найти З0 (З0 $–$ полные затраты на сеть).

${З}_0={З}_{энергетические}+{З}_{труб}$,

${З}_{энергетические}= \frac{\rho {Н}_{НС}{Q}_{НС}T}{\eta }$,

где ${З}_{энергетические}$ $–$ энергетические затраты на эксплуатацию сети в рублях;

$\rho =\mathrm{5,68}$ $–$ это цена за 1 киловатт-час; ${Н}_{НС}$ $–$ напор на насосной станции; $Q_{НС}$ $–$ общий поток в сеть (его можно найти как сумму потреблений во всех вершинах или сумму потоков всех ветвей, выходящих из вершины-источника); $T=365*24=8670 ч.$ $–$ время эксплуатации сети в часах; $\eta =\mathrm{0,7}\left(70\text{\%}\right)$ $–$ коэффициент полезного действия.

${З}_{труб}= {\displaystyle \sum }_{i=1}^n{c}_i{l}_i,$

где ${З}_{труб}$ $–$ затраты на трубы в рублях; $i$ $–$ номер ветви; $l_i$ $–$ длина i-й ветви; $c_i$ $–$ удельная цена i-й ветви. Вычисляется она так:

$c_i=b{d}_i^{\alpha },$

где $b=17400$ $–$ цена за 1 метр трубы диаметра 1 метр; $d_i$ $–$ диаметр i-й ветви. Вычисляется диаметр по формуле Дарси$–$Вейсбаха:

$d_i={\left(\frac{k{x}_i{}^{\beta }}{h_i}\right)}^{\frac{1}{\gamma }},$

где $\beta$, $\gamma$, $k$ $–$ это коэффициенты из табл. 1 (для пластмассы); $x_i$ $–$ поток по ветви; $h_i$ $–$ удельные потери напора по ветви.

6.5. Алгоритм оптимизации полных затрат на сеть

1.   Находится ${Э}_0$ и ${З}_0$.

2.    Уменьшается ${Э}_0$ на 1 %, и это значение присваивается в ${Э}_1$, т.е. ${Э}_1={Э}_0*\mathrm{0,99}$.

3.    Находится ${З}_1$ по двум последним алгоритмам («Алгоритм подсчета напора на насосной станции» и «Алгоритм подсчета полных затрат»), только вместо ${Э}_0$ используется ${Э}_1$.

4.    Переменной $i$ присваивается значение 1.

5.    Пока ${З}_{i-1}>{З}_i$, выполняются следующие операции:

5.1. Увеличивается $i$ на единицу.

5.2. ${Э}_i={Э}_{i-1}*\mathrm{0,99.}$

5.3. Находится ${З}_i$ по двум последним алгоритмам, используя в качестве значения энергии значение ${Э}_i$.

6.   Так как ${З}_{i-1}\le {З}_i$, это значит, что ${З}_{i-1}$ и есть оптимальные общие затраты на сеть.

7. Вычислительный эксперимент по оптимизации параметров сети (2-я фаза)

Результаты вычислительного эксперимента по оптимизации общей стоимости сети представлены в табл. 4.

 

Таблица 4. Оптимизация общей стоимости сети

Table 4. Optimization of the total network cost

Итерация	Энергия ($m^5/c$ )	Общая стоимость сети (руб.)
0	187126,94	19152897659,27
1	185255,67	18961541384,83
2	183403,11	18772098822,23
…	…	…
690	182,15	76433358,13
691	180,32	76428941,50
692	178,52	76427135,69
693	176,74	76427925,16

 

Жирным выделена оптимальная общая стоимость сети.

Ниже идут таблицы с информацией о вершинах (табл. 5) и дугах (ветвях) сети (табл. 6).

Вершины под номерами 1 и 33 особенные (выделены жирным). Вершина 1 является вершиной-источником, а значит, она обеспечивает все вершины требуемым им напором. Вершина 33 не является потребителем потока. Ввиду этого вершины 1 и 33 не требуется обеспечивать напором. В остальных вершинах требуемый напор равен 64,40.

 

Таблица 5. Информация о вершинах

Table 5. Information about the peaks

№ вершины	Высота вершины (метр)	Требуемый напор на насосной станции для этой вершины (метр)	Реальный напор, поставляемый в эту вершину (метр)
1	156	262,38	(исходящий напор) 262,38
2	203,6	262,38	64,4
3	204,2	237,28	89,5
4	204,7	231,74	95,03
5	207,6	231,13	95,65
6	211	235,09	91,68
7	210,4	240,09	86,68
8	208,9	250,21	76,57
9	190,2	239,68	87,1
10	192,5	216,29	110,49
11	195,3	196,65	130,13
12	199,3	197,13	129,65
13	202,2	200,6	126,18
14	206,6	210,6	116,18
15	198,7	229,75	97,02
16	183	227,83	98,95
17	186,3	205,43	121,34
18	188,5	185,19	141,58
19	192,8	168,19	158,59
20	192,7	168,66	158,12
21	184,9	183,83	142,95
22	177,5	203,48	123,3
23	178,5	215,94	110,83
24	182	193,75	133,03
25	183,4	172,71	154,07
26	177,7	145,71	181,07
27	173,2	140,52	186,25
28	165,4	155,69	171,09
29	164,4	181,74	145,03
33	172,5	65,52	196,86

 

Используются пластмассовые (полиэтиленовые) трубы. Соответствующие им коэффициенты $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $k$ определяются из табл. 1 (выделено жирным).

Напор на насосной станции (в метрах): 262,376.

Общий поток в сеть (в кубометрах): 1.708.

Общее время работы сети (в часах): 8760.

КПД: 0.7 (70%).

Цена 1 киловатт-час (в рублях): 5,68.

 

Таблица 6. Информация о дугах (ветвях) сети

Table 6. Information about network arcs (branches)

№ дуги	Вершины		Поток (м3/с)	Удельные потери напора (метр)	Диаметр трубы (метр)	Удельная стоимость (руб.)	Длина (метр)
	Исток	Сток
12	14	15	0,061	0,036	0,169	543,539	758,041
17	20	21	0,122	0,031	0,225	949,297	737,041
18	21	22	0,061	0,036	0,169	543,539	758,036
22	27	28	0,122	0,031	0,225	949,297	737,041
23	28	29	0,061	0,036	0,169	543,539	758,001
24	3	2	0,061	0,036	0,169	543,539	720
30	10	9	0,061	0,036	0,169	543,539	720,004
31	11	10	0,122	0,031	0,225	949,297	720,005
36	17	16	0,061	0,036	0,169	543,539	720,008
37	18	17	0,122	0,031	0,225	949,297	720,003
38	19	18	0,183	0,029	0,266	1315,42	740,012
42	24	23	0,061	0,036	0,169	543,539	720,009
43	25	24	0,122	0,031	0,225	949,297	720,001
44	26	25	0,183	0,029	0,266	1315,42	740,022
70	11	4	0,061	0,036	0,169	543,539	720,061
71	12	5	0,061	0,036	0,169	543,539	720,048
72	13	6	0,061	0,036	0,169	543,539	720,054
73	14	7	0,061	0,036	0,169	543,539	720,01
78	19	12	0,122	0,031	0,225	949,297	720,029
79	20	13	0,122	0,031	0,225	949,297	720,063
108	11	3	0,122	0,031	0,225	949,297	1018,27
115	19	11	0,366	0,025	0,354	2297,39	1032,48
148	14	8	0,061	0,036	0,169	543,539	1045,45
153	20	14	0,244	0,027	0,3	1657,96	1030,42
161	33	19	0,732	0,022	0,471	4012,42	818,617
162	33	20	0,549	0,023	0,419	3183,44	798,213
163	33	26	0,244	0,027	0,3	1657,96	389,035
164	33	27	0,183	0,029	0,266	1315,42	344,001
165	1	33	1,708	0,019	0,668	7932,95	2635,05

 

Энергетические затраты: 31 854 212 руб.

Затраты на трубы: 44 572 923 руб.

Общая стоимость сети: 76 427 135 руб.

Заключение

1.   Разработаны метод и алгоритмы компьютерного проектирования больших разветвленных трубопроводных гидравлических сетей высокого ранга оптимальности.

2.   В отличие от методов, используемых в проектировании потоковых гидравлических трубопроводных сетей, данный метод предназначен для решения сетевой задачи Кирхгофа, т. е. задачи, содержащей и потоковые, и потенциальные переменные.

3.   Разработана программа для проектирования больших разветвленных трубопроводных гидравлических сетей высокого ранга оптимальности.

4.   Метод, алгоритм и программа для ЭВМ предназначены для решения актуальной в настоящее время задачи компьютерного проектирования сетей регионального и межрегионального водоснабжения, а также больших трубопроводных оросительных сетей.

 

About the authors

M. B. Abazokov

Kabardino-Balkarian Scientific Center of the Russian Academy of Sciences

Author for correspondence.
Email: Abazokov.Mukhammed@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0002-6847-403X
SPIN-code: 3343-5679

Institute of Applied Mathematics and Automation, Junior Researcher, Department of Computational Methods

Russian Federation, 360000, Nalchik, 89 A Shortanov street

V. Ch. Kudaev

Kabardino-Balkarian Scientific Center of the Russian Academy of Sciences

Email: valeriy.kudayev@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-8313-4199
SPIN-code: 9931-1060

Institute of Applied Mathematics and Automation, Junior Researcher, Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Lead Researcher, Department of Computational Methods

Russian Federation, 360000, Nalchik, 89 A Shortanov street

References

Supplementary files