Problem with data on parallel characteristics for the loaded wave equation

Full Text

Введение

Основной теоретической базой математического моделирования систем с сосредоточенными и распределенными параметрами является так называемая общая теория граничных задач для обыкновенных и основных типов дифференциальных уравнений в частных производных. Термин «общая теория граничных задач», появившийся в начале 20-го столетия, включал в себя, исходя из современной терминологии, теорию локальных и нелокальных краевых задач как для обычных дифференциальных уравнений, так и для нагруженных. Впервые определение нагруженных уравнений было введено А. М. Нахушевым [1].

После выхода работы [1] появилось огромное количество публикаций, посвященных исследованию различных начально-краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений. Приведем лишь некоторые из них, которые в той или иной мере близки к тематике исследования данной работы, – [2–9]. Все это привело А. М. Нахушева к написанию монографии [10], посвященной основополагающим элементам теории нагруженных уравнений. В ней излагаются такие способы применения нагруженных уравнений, как метод математического моделирования нелокальных процессов и явлений и метод эффективного поиска приближенных решений дифференциальных уравнений.

В предлагаемой работе мы хотим продемонстрировать нагруженные уравнения как метод регуляризации некорректных задач для уравнений гиперболического типа. Решающими факторами, влияющими на результат исследования той или иной задачи для нагруженного дифференциального уравнения, являются: во-первых, взаимное расположение следа нагрузки и области, где ищется решение задачи; во-вторых, вид следообразующего отображения.

Пусть $\Omega$ – конечная односвязная область плоскости независимых переменных \( x \) и \( y \), ограниченная характеристиками: $AC:x-y=0$, $AD:x+y=0$, $BC:x+y=1$, $BD:x-y=1$ оператора $Lu=\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}-\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}$. В дальнейшем через  будем обозначать единичный интервал $(0,1)$.

В области $\Omega$ рассмотрим нагруженное уравнение

$Lu=4\left[\lambda u\right(x-y,0)+\mu u(x+y,0\left)\right]$ (1)

где $\lambda , \mu$  – произвольные действительные константы.

В характеристических переменных $\xi =x-y$, $\eta =x+y$ уравнение (1) принимает вид

$v_{\xi \eta }=\lambda v(\xi ,\xi )+\mu v(\eta ,\eta ),$ (2)

где $v(\xi ,\eta )=u\left(\frac{\xi +\eta }{2},\frac{\eta -\xi }{2}\right)$. 

Очевидно, что нахождение общего решения (2) эквивалентным образом редуцируется к нахождению общего решения следующего нагруженного интегрального уравнения:

$v(\xi ,\eta )-\mu \xi {\int }_{\xi }^{\eta }v(t,t)dt+\lambda \eta {\int }_{\xi }^{\eta }v(t,t)dt=P(\xi ,\eta ),$ 

где $P(\xi ,\eta )$ является общим решением уравнения $P_{\xi }\eta =0$.

Обращая полученное интегральное уравнение, получим

$v(\xi ,\eta )=f\left(\xi \right)+g\left(\eta \right)+(\mu \xi -\lambda \eta ){\int }_{\xi }^{\eta }\left[f\right(t)+g(t\left)\right]dt.$ (3)

Переходя к прежним переменным, получим

$$\begin{gathered} u(x,y)=f(x-y)+g(x+y)+\mu (x-y){\int }_{x-y}^{x+y}\left[f\right(t)+g(t\left)\right]dt- \\ -\lambda (x+y){\int }_{x-y}^{x+y}\left[f\right(t)+g(t\left)\right]dt. \end{gathered}$$ (4)

Формулу (4) назовем аналогом формулы Даламбера для уравнения (1).

Определение 1. Регулярным решением уравнения (1) назовем функцию $u(x,y)$, представимую формулой (4), где f, g – произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции.

Краевая задача для уравнения (1) с данными на непересекающихся характеристиках

Задача 1. Найти регулярное для уравнения (1) решение $u(x,y)\in C^1\left(\overline{\Omega }\right)$ , удовлетворяющее условиям

$u{|}_{AD}={\phi }_1\left(x\right), u{|}_{BC}={\phi }_2\left(x\right), 0\le x\le 1, {\phi }_1,{\phi }_2\in C^1\left(\overline{J}\right)\cap C^3\left(J\right)$.  (5)

Теорема 1. Пусть $\lambda \ne 0$ ,

${\phi }_2^{\text{'}}\left(0\right)-{\phi }_1^{\text{'}}\left(0\right)=\lambda {\phi }_1\left(0\right),{\phi }_2^{\text{'}}\left(1\right)-{\phi }_1^{\text{'}}\left(1\right)=\lambda {\phi }_1\left(1\right),$   (6)

$\mu \left[{\phi }_2\right(0)-{\phi }_1(0)-{\phi }_2(1)+{\phi }_1(1\left)\right]=0.$    (7)

Тогда решение задачи 1 существует и единственно.

Доказательство. Пусть существует решение задачи 1. В характеристических переменных $\xi =x-y, \eta =x+y$, условия (5) примут вид

$v(\xi ,0)={\phi }_1\left(\xi \right), v(\xi ,1)={\phi }_2\left(\xi \right), 0\le \xi \le 1.$   (8)

Удовлетворяя (3) условиям (8), получим

$f\left(\xi \right)+g\left(0\right)+\mu \xi {\int }_{\xi }^0\left[f\right(t)+g(t\left)\right]dt={\phi }_1\left(\xi \right),$  (9)

$f\left(\xi \right)+g\left(1\right)+(\mu \xi -\lambda ){\int }_{\xi }^1\left[f\right(t)+g(t\left)\right]dt={\phi }_2\left(\xi \right).$ (10)

Дифференцируя (9) и (10) по  и отнимая из (10) почленно выражение (9), получим

$\mu {\int }_0^1\left[f\right(t)+g(t\left)\right]dt+\lambda \left[f\right(\xi )+g(\xi \left)\right]={\phi }_2\text{'}\left(\xi \right)-{\phi }_1\text{'}\left(\xi \right).$

Учитывая, что $f\left(0\right)+g\left(0\right)={\phi }_1\left(0\right),$ из последнего соотношения получаем, что

$f\left(\xi \right)+g\left(\xi \right)=\frac{1}{\lambda }[{\phi }_2\text{'}(\xi )-{\phi }_1\text{'}(\xi \left)\right]+c,$  (11)

где $c=-\frac{\mu }{\lambda }[{\phi }_2\text{'}(0)-{\phi }_1\text{'}(0)-\lambda {\phi }_1(0\left)\right]$.

Из (9) находим $f\left(\xi \right)$:

$f\left(\xi \right)={\phi }_1\left(\xi \right)+\frac{\mu \xi }{\lambda }\left[{\phi }_2\right(\xi )-{\phi }_1(\xi )-{\phi }_2(0)+{\phi }_1(0\left)\right]+\mu {\xi }^{2}c-g\left(0\right).$

Из (11) находим $g\left(\xi \right):$

$$\begin{gathered} g\left(\xi \right)=\frac{1}{\lambda }[{\phi }_2\text{'}(\xi )-{\phi }_1\text{'}(\xi \left)\right]+c-{\phi }_1\left(\xi \right)- \\ -\frac{\mu \xi }{\lambda }\left[{\phi }_2\right(\xi )-{\phi }_1(\xi )-{\phi }_2(0)+{\phi }_1(0\left)\right]-\mu {\xi }^{2}c+g\left(0\right). \end{gathered}$$

Подставляя полученные значения для $f\left(\xi \right), g\left(\xi \right), f\left(\xi \right)+g\left(\xi \right)$ в (3), после некоторых преобразований, с учетом того, что значение для c принимаем равным нулю, получим

$$\begin{gathered} v(\xi ,\eta )={\phi }_1\left(\xi \right)-{\phi }_1\left(\eta \right)+\frac{1}{\lambda }[{\phi }_2\text{'}(\eta )-{\phi }_1\text{'}(\eta \left)\right]- \\ -\eta \left[{\phi }_2\right(\eta )-{\phi }_1(\eta )-{\phi }_2(\xi )+{\phi }_1(\xi \left)\right]+ \\ +\frac{\mu }{\lambda }(\eta -\xi )\left[{\phi }_2\right(0)-{\phi }_1(0)-{\phi }_2(\eta )+{\phi }_1(\eta \left)\right]. \end{gathered}$$ (12)

Или, переходя к переменным $x, y$, имеем

$$\begin{gathered} u(x,y)={\phi }_1(x-y)-{\phi }_1(x+y)+\frac{1}{\lambda }[{\phi }_2\text{'}(x+y)-{\phi }_1\text{'}(x+y\left)\right]- \\ -(x+y)\left[{\phi }_2\right(x+y)-{\phi }_1(x+y)-{\phi }_2(x-y)+{\phi }_1(x-y\left)\right]+ \\ +\frac{2\mu }{\lambda y}\left[{\phi }_2\right(0)-{\phi }_1(0)-{\phi }_2(x+y)+{\phi }_1(x+y\left)\right]. \end{gathered}$$  (13)

Итак, доказано, что если существует решение задачи 1, то оно представимо в виде (13). Легко установить справедливость обратного утверждения. Принимая во внимание условие гладкости на заданные функции ${\phi }_1$ и ${\phi }_2$, непосредственной проверкой можно убедиться в том, что задаваемая формулой (13) функция $u(x,y)$, удовлетворяющая условиям (6), (7), является регулярным в области \( Ω \) решением уравнения (1).

About the authors

А. Kh. Attaev

Kabardino-Balkarian Scientific Center of the Russian Academy of Sciences

Author for correspondence.
Email: attaev.anatoly@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0001-5864-6283
SPIN-code: 6389-3114

Institute of Applied Mathematics and Automation, Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Head of Department, Leading Researcher of the Department of Mixed-Type Equations

Russian Federation, 360000, Nalchik, 89 A Shortanov street

References

Supplementary files