Building the trend component of an additive mathematical model of planned electricity production volume to improve energy efficiency

Full Text

ВВЕДЕНИЕ

Особенность электроэнергии как товара заключается в одновременности производства и потребления. Энергию невозможно накопить в необходимом количестве и сохранить в каких-либо емкостях, отсюда следует экономическая специфика: невозможно купить больший объем электроэнергии, пока низкая цена, и тем самым сэкономить.

Отсюда вытекают и особенности самого рынка электроэнергии и процессов его организации, такие как необходимость:

• механизмов регулирования спроса и предложения – для балансировки производства и потребления электроэнергии в реальном времени используются такие рыночные механизмы, как биржевые торги мощностью и энергией, сделки по балансировке, свободные торги на рынке балансировки;
• механизмов регулирования и контроля – для обеспечения стабильности энергосистемы и предотвращения непредвиденных сбоев используются такие механизмы регулирования и контроля, как системы прогнозирования спроса и предложения, регулирование напряжения и частоты, управление нагрузками [1].

Эффективная организация рынка электроэнергии позволяет обеспечить стабильность и надежность энергосистемы, снизить затраты на производство и потребление [2].

Отличительной особенностью конкурентного рынка является возможность потребителя принимать участие в ценообразовании, в противном случае эффективность функционирования данного рынка остается под вопросом. Достаточно длительное время на российском рынке электроэнергетики у потребителя не было возможности оказывать практическое влияние на баланс спроса и предложения и как следствие на стоимость электроэнергии, то есть полностью цену на электроэнергию определяли только производители. Очевидная неэластичность спроса привела к необходимости создания дополнительного регулятора на рынке электроэнергии, в роли которого выступил Системный оператор единой энергетической системы.

Появление цифровых технологий, таких как «интеллектуальные сети», цифровые интервальные счетчики электроэнергии, высокоскоростная телекоммуникация, продолжило развитие рынка электроэнергии в направлении высокоэффективного конкурентного рынка. В конечном итоге появилась технология demand response (управление спросом) [3].

Управление спросом подразумевает снижение энергопотребления конечным потребителем при определенных экономических сигналах рынка электроэнергии с получением выручки за осуществление такого снижения потребления.

Участие потребителей в технологиях управления спросом позволяет получить индивидуальный экономический эффект (получение платы за оказание услуг) не только им самим, но и всем участникам рынка за счет снижения выработки дорогостоящей электроэнергии низкоэффективными генерирующими мощностями [4].

Помимо всего вышесказанного, энергоэффективность для промышленного предприятия представляет собой отношение полезного эффекта от использования энергетических ресурсов к затратам на электропотребление. Таким образом, в ряду резервов повышения уровня энергетической эффективности отечественного рынка электроэнергетики особое место принадлежит развитию математического аппарата экономических исследований энергорынка, методов его применения и встраивания в инструментальные средства для повышения обоснованности управленческих решений субъектов электроэнергетики при планировании и прогнозировании их операционной деятельности [1].

Целью исследования является разработка трендовой составляющей аддитивной модели для прогнозирования динамик повышения или снижения спроса на электрическую энергию.

Задачи исследования, которые позволили добиться поставленной цели:

• определение наличия тренда относительно времени;
• определение доминантных факторов, оказывающих наибольшее влияние на объем планового производства электрической энергии;
• определение вида функциональной связи объема планового производства и каждого доминантного фактора;
• построение многофакторной модели трендовой составляющей на основе найденных функциональных связей планового производства электрической энергии и доминантных факторов.

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ И МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

Исходные данные для анализа находятся в открытом доступе и взяты с официального сайта Системного оператора:

• объем планового производства (МВт.ч) – критический объем производства;
• индекс равновесных цен на продажу электроэнергии (руб./МВт.ч) – средневзвешенный индекс равновесных цен за период с начала года по отношению к аналогичному периоду прошлого года;
• объем продажи по регулируемым договорам (МВт.ч) – объемы электроэнергии, не покрываемые регулируемыми договорами, реализуются по нерегулируемым ценам в рамках свободных договоров, рынка на сутки вперед (РСВ) и балансирующего рынка (БР);
• объем продажи на РСВ (МВт.ч) – представляет собой конкурентный отбор ценовых и ценопринимающих заявок поставщиков и покупателей за сутки до реальной поставки электроэнергии с определением цен и объемов поставки на каждый час суток;
• объем покупки в обеспечении регулируемых договоров (РД) (МВт.ч) – объем поставки электроэнергии и мощности по РД для каждого поставщика электроэнергии может составлять не более 35 % от планового объема в балансе производства и поставки электроэнергии и мощности, формируемого федеральным органом исполнительной власти в области государственного регулирования тарифов на текущий период регулирования (календарный год) [4];
• максимальный индекс равновесной цены (руб./МВт.ч) – максимальная цена, при которой нет избытка или дефицита на конкретный товар, то есть величина спроса равна предложению;
• минимальный индекс равновесной цены (руб./МВт.ч) – минимальная цена, при которой нет избытка или дефицита на конкретный товар, то есть величина спроса равна предложению.

Для построения математической модели необходимо формализовать обозначения исходных статистических данных. Результаты представлены в таблице 1.

 

Таблица 1. Формализованные обозначения исходных данных для построения математической модели трендовой составляющей

Table 1. Formalized designations of initial data for constructing the mathematical model of the trend component

Фактор	Обозначение в модели
Объем планового производства	Y
Индекс равновесных цен на продажу электроэнергии	X1
Объем продажи по регулируемым договорам	X2
Объем продажи на РСВ	X3
Объем покупки в обеспечении РД	X4
Максимальный индекс равновесной цены	X5
Минимальный индекс равновесной цены	X6

 

Исходные данные представлены в виде набора ежечасной статистики, то есть являются временными рядами. Построение математической модели подобного рода исходных данных, как правило, заключается в моделировании трех аддитивных компонент: тренд, сезонность и случайная компонента. В настоящем исследовании рассматривается построение трендовой составляющей, которая может стать определяющей при дальнейшем моделировании.

В силу того, что исходные статистические данные представлены в виде временных рядов, первостепенно необходимо проверить наличие тенденции относительно времени, для чего воспользуемся критерием Фостера ­– Стюарта, основанным на проверке гипотезы о случайности уровней ряда.

Статистики критерия:

$S=\sum _{\tau =2}^n{s}_i;d=\sum _{\tau =2}^n{d}_i$,

где $d_i = u_i - l_i$; $S_i = u_i + l_i$; если $x_i > x_i -1, \dots , x_1$, то $u_i= 1$, иначе $u_i= 0$; если $x_i < x_i -1, \dots , x_1$, то $l_i = 1$, иначе $l_i = 0$

Статистика S используется для проверки наличия тренда в дисперсиях, статистика d – для обнаружения тренда в средних, найденные статистики имеют распределение Стьюдента [5].

Для проверки корреляционных связей воспользуемся коэффициентами корреляции Пирсона и Спирмена. Коэффициент корреляции Пирсона представляет собой статистику, которая измеряет величину линейной связи (корреляцию) между двумя переменными. Для случайных величин X и Y формула вычисления:

$X,Y=\mathrm{cov}\left(X,Y\right)XY$.

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена измеряет степень монотонной связи между двумя переменными. Он основан на рангах значений переменных, а не на самих значениях, что делает его устойчивым к выбросам и асимметриям в данных. Формула вычисления:

$X,Y=\mathrm{cov}\left(X,Y\right)S{X}_{2}S{Y}_2$.

Оба коэффициента принимают значения от –1 до 1. Значение 1 означает идеальную положительную монотонную связь, тогда как значение –1 означает идеальную отрицательную монотонную связь. Значение 0 указывает на отсутствие монотонной связи между переменными.

Проверка на мультиколлинеарность факторов, вводимых в модель, является обязательным шагом при математическом моделировании, целесообразно также воспользоваться двумя коэффициентами Пирсона и Спирмена [6].

Для определения вида функциональной связи между исследуемым параметром и доминантными факторами воспользуемся построением парной регрессии и оценками качества найденного уравнения

1. Точность уравнения оценим с помощью средней абсолютной ошибки в процентах (MAPE):

$MAPE=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\frac{\left|y\left(i\right)-\overline{y}\left(t\right)\right|}{y\left(t\right)}•100\%$,

где $y \left(i\right)$ – фактическое значение, $\stackrel{⌢}{y}\left(i\right)$ – прогнозное значение.

2. Коэффициент детерминации – отношение объясненной части D(ŷ) дисперсии результативного признака у ко всей дисперсии D(y). Принимает значения в интервале от 0 до 1. Чем ближе значение коэффициента к 1, тем лучше построенная модель описывает исходные данные. Рассчитывается по формуле

$R^2=1-\frac{{\displaystyle \sum e_i^2}}{{\displaystyle \sum {\left(y_i-\overline{y}\right)}^2}}$.

3. F-критерий Фишера основывается на выдвижении гипотезы H₀ о статистической незначимости уравнения регрессии. Данная гипотеза отвергается и принимается гипотеза H₁ о статистической значимости, если выполняется условие F_p > F_k, где F_k – критическое значение F-критерия Фишера для данного объема наблюдений, при числе степеней свободы k₁ = k, где k – число независимых переменных в уравнении регрессии, k₂ = n – k – 1 и заданному уровню значимости α. F_p рассчитывается по формуле

$F_p=(n-2)\times \frac{R^2}{1-R^2}$.

4. Значимость коэффициентов уравнения парной регрессии оценивается с помощью t-статистики на основе стандартных ошибок коэффициентов регрессии (S_a, S_b), которые определяются по формулам

$S_a=\sqrt{\frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\left({\overline{y}}_i-y_i\right)}^2\sum _{i=1}^n{x}_i^2}}{(n-2)n{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\left(x_i-\overline{x}\right)}^2}}}$, $S_b=\sqrt{\frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^n{\left({\overline{y}}_i-y_i\right)}^2}}{(n-2){\displaystyle \sum _{i=1}^n{\left(x_i-\overline{x}\right)}^2}}}$;

если ошибки ε_i имеют нормальное распределение, то отношения $t_a=\frac{a}{S_a}$ и $t_b=\frac{b}{S_b}$ являются t-статистиками с числом степеней свободы n – 2. Оценка статистической значимости коэффициентов регрессии аналогична оценке статистической значимости всего уравнения [1].

Основной проблемой при построении многофакторных моделей является то, что при построении прогнозного значения исследуемого параметра на несколько периодов вперед значения внешних факторов должны вводиться в модель также на несколько периодов вперед. То есть для прогнозирования необходимо знать будущие значения всех факторов. Рассматриваемые нами внешние факторы модели не являются показателями времени или бинарными, поэтому каждый внешний фактор должен быть отдельно спрогнозирован. Получается, что ошибка прогноза каждого фактора приведет к увеличению ошибки прогноза всей модели. В качестве решения данной проблемы предлагается использовать уже известные значения внешних факторов прошлых периодов.

Для определения, какой глубины исторические значения каждого фактора необходимо использовать, построим функции автокорреляции каждого фактора (коррелограммы), по которым определим сезонность исторических повторений.

Коэффициенты автокорреляции отражают степень тесноты связи между уровнями исходного временного ряда и уровнями ряда, сдвинутыми на один или несколько временных промежутков назад:

$r_{\tau }=\frac{{\displaystyle \sum _{t=\tau +1}^n\left(y_t-{\overline{y}}_{1\tau }\right)•\left(y_{t-\tau }-{\overline{y}}_{2\tau }\right)}}{\sqrt{{\displaystyle \sum _{t=\tau +1}^n{\left(y_t-{\overline{y}}_{1\tau }\right)}^2•\sum _{t=\tau +1}^n{\left(y_{t-\tau }-{\overline{y}}_{2\tau }\right)}^2}}}$;

где τ – порядок коэффициента корреляции или лаг (величина сдвига уровней ряда во времени), ${\overline{y}}_{1\tau }=\frac{\sum _{t=\tau +1}^n{y}_t}{n-\tau }$, ${\overline{y}}_{2\tau }=\frac{\sum _{t=\tau +1}^n{y}_{t-\tau }}{n-\tau }$.

С помощью графической интерпретации автокорреляционной функции (коррелограммы) можно определить наличие отдельных компонент функции, описывающей временной ряд.

В качестве математической модели трендовой составляющей аддитивной модели предлагается использовать многофакторную регрессию, учитывающую функциональную связь каждого доминантного фактора с объемом планового производства электроэнергии и сдвиг доминантных факторов на сутки назад.

РЕЗУЛЬТАТЫ

На основе данных анализа критерия Фостера – Стюарта существует общая тенденция изменений значений 𝑌 со временем, но направление этой тенденции (возрастание или убывание) статистически не подтверждается. Это может означать, что данные демонстрируют колебания, но без четко выраженной последовательной тенденции в одном направлении. Значения статистик: s = 13564, d = 13544, t_s = 9,071, t_d = 1,785 при критическом значении 1,96. Так как наличие тенденции относительно времени статистически не подтверждается, целесообразно в качестве трендовой составляющей построить многофакторную регрессионную модель.

Результаты корреляционного анализа удобнее представлять в виде тепловой карты корреляционной матрицы отдельно для критерия Пирсона (рис. 1) и критерия Спирмена (рис. 2).

 

Рис. 1. Тепловая карта корреляционной матрицы критерия Пирсона

Fig. 1. Heatmap of Pearson correlation matrix

 

Рис. 2. Тепловая карта корреляционной матрицы критерия Спирмена

Fig. 2. Heatmap of Spearman correlation matrix

 

Согласно обоим корреляционным коэффициентам, связь между объемом планового производства (Y) и объемом покупки в обеспечении регулируемых договоров (X₄), а также между объемом планового производства (Y) и максимальным индексом равновесной цены (X₅) близка к нулю, следовательно, данные факторы не являются доминантными и будут исключены при построении многофакторной модели. Более высокие значения коэффициентов корреляции Спирмена можно интерпретировать как большую вероятность наличия нелинейной функциональной зависимости.

Согласно таблице Чеддока, корреляционная связь считается сильной при значении коэффициента более |0,7|. Можно говорить о сильной нелинейной корреляционной зависимости между индексом равновесных цен на продажу электроэнергии (X₁) и минимальным индексом равновесной цены (X₆), но линейная зависимость между этими факторами находится в допустимой норме, поэтому целесообразно построение многофакторной модели, учитывающей все доминантные факторы (X₁, X₂, X₃, X₆).

Для точного определения вида функциональной связи проведем дополнительное исследование, а именно: построим уравнения парной регрессии объема производства с каждым доминантным фактором разного вида функциональной связи. Результаты представлены в таблице 2. Введенные обозначения: ЛР – линейная регрессия; ГР – гиперболическая регрессия; ЭР – экспоненциальная регрессия; ЛогР – логарифмическая регрессия; КК – коэффициент корреляции Пирсона; КД – коэффициент детерминации; MAPE – ошибка аппроксимации; F – критерий Фишера; t_a – t – статистика Стьюдента для Y-пересечения;  t_b – t – статистика Стьюдента для коэффициента при факторе.

 

Таблица 2. Оценки уравнений парной регрессии четырех функциональных видов для доминантных факторов

Table 2. Estimates of pairwise regression equations for four functional types of dominant factors

Фактор	Модель	Уравнение	КК	КД	MAPE, %	F
X1	ЛР	$Y=68701,92+18,93x$	0,490	0,240	9,6	8302,0	239,0	91,1
	ГР	$Y=104589,53-\frac{13114318,33}{x}$		0,123	9,7	3674,2	571,6	–60,6
	ЭР	$Y=70732,20e^{0,0002x}$		0,252	9,5	8829,6	3663,1	94,0
	ЛогР	$Y=-77293,54+23982,79\ln \left(x\right)$		0,251	9,4	8817,3	–42,3	93,9
X2	ЛР	$Y=83283,37+18,93x$	0,471	0,221	9,1	7475,9	587,0	86,5
	ГР	$Y=106326,38-\frac{160332138,06}{x}$		0,330	8,4	12958	878,6	–113
	ЭР	$Y=83144,98e^{0,0001x}$		0,224	9,1	7565,9	7482,3	87,0
	ЛогР	$Y=-20109,51+11870,28\ln \left(x\right)$		0,288	8,7	10614	–18,1	103,0
X3	ЛР	$Y=33741,36+0,86x$	0,714	0,510	7,0	27302	91,3	165,2
	ГР	$Y=148033,58-\frac{3723083003,12}{x}$		0,449	7,7	21406	398,7	–146,3
	ЭР	$Y=49174,13e^{0,0001x}$		0,504	6,8	26688	2718,8	163,4
	ЛогР	$Y=-547644,06+57542,58\ln \left(x\right)$		0,483	7,3	24583	–133,8	156,8
X6	ЛР	$Y=82949,68+13,85x$	0,369	0,136	9,8	4152,6	441,6	64,4
	ГР	$Y=94699,24-\frac{453,69}{x}$		0,000	10,1	0,048	1295,0	0,2
	ЭР	$Y=82732,06e^{0,0002x}$		0,141	9,7	4310,5	5656,6	65,7
	ЛогР	$Y=61417,46+4965,02\ln \left(x\right)$		0,051	9,9	1311,3	66,6	36,2

Таким образом, между объемом планового производства и индексом равновесных цен на продажу электроэнергии более выражена экспоненциальная функциональная связь, с объемом продажи по регулируемым договорам – гиперболическая связь, с объемом продажи на РСВ и минимальным индексом равновесной цены – экспоненциальная связь. Коррелограммы доминантных факторов представлены на рисунке 3.

 

Рис. 3. Графики автокорреляционной функции доминантных факторов

Fig. 3. Graphs of the autocorrelation function of dominant factors

 

Для всех рассматриваемых доминантных факторов период повторений динамики составляет 24 часа, т.е. сутки. Поэтому для построения модели целесообразно для всех факторов использовать уже известные значения на сутки назад.

При непосредственном экспоненциальном преобразовании исходных данных для введения в модель тренда экспоненциальных функциональных зависимостей могут получиться бесконечно большие значения, поэтому целесообразно вначале применить логарифмическое преобразование ко всем данным, а затем использовать экспоненциальные и гиперболические функции на логарифмически преобразованных значениях.

Получили следующее уравнение трендовой составляющей:

$Y=193500-\mathrm{6,75}{e}^{x_1}-\frac{\mathrm{1,547}\times {10}^6}{x_2}+\mathrm{0,988}{e}^{x_3}+\mathrm{1,349}{e}^{x_6}$.

Коэффициент детерминации полученной модели составляет 0,923, само уравнение и его коэффициенты являются статистически значимыми, ошибка аппроксимации составляет 2,59 %. График исходных данных и модельных представлен на рисунке 4.

 

Рис. 4. Графики исходных данных объема планового производства и полученной трендовой составляющей

Fig. 4. Graphs of initial planned production volume data and the obtained trend component

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В статье рассмотрена следующая последовательность шагов для построения трендовой составляющей временного ряда в виде многофакторной регрессионной модели:

1. Определить наличие тенденции относительно времени с помощью метода Фостера – Стюарта.
2. С помощью коэффициентов корреляции Пирсона и Спирмена определить доминантные внешние факторы и исключить те, у которых наблюдается высокая линейная межфакторная корреляция.
3. С помощью построения парной регрессии разных функциональных видов определить вид преобразований для введения внешних факторов в многофакторную регрессию.
4. Для использования при моделировании уже известных значений внешних факторов, а не предсказанные каждого из них, определить с помощью функции автокорреляции для каждого фактора глубину использования исторических значений.
5. Построить многофакторную регрессию с учетом найденных функциональных связей и сдвига факторов в прошлое, при необходимости предварительно произвести логарифмическое преобразование исходных данных.

Описанная последовательность шагов является универсальной и может быть применена для моделирования временных рядов, имеющих положительные уровни. В качестве научной новизны стоит отметить обоснованную нелинейность многофакторной регрессии с одновременным использованием в качестве внешних факторов известных исторических значений, а не предсказанных.

Вклад авторов: все авторы сделали эквивалентный вклад в подготовку публикации. Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.

Contribution of the authors: the authors contributed equally to this article. The authors declare no conflicts of interests.

Финансирование. Исследование проведено без спонсорской поддержки.

Funding. The study was performed without external funding.

About the authors

Tatyana S. Demyanenko

South Ural State University (National Research University)

Author for correspondence.
Email: demianenkots@susu.ru
ORCID iD: 0000-0002-2420-5356
SPIN-code: 7170-3021

Candidate of Economics Sciences, Associate Professor of the Department of Mathematical and Computer Modeling

Russian Federation, Chelyabinsk

Lyubov M. Semenenko

South Ural State University (National Research University)

Email: lubashtyka28@gmail.com

Student of the ЕТ-229 Group

Russian Federation, Chelyabinsk

References

Supplementary files