Dynamic restoration of continuum coefficients in modeling of non-stationary processes

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

When modeling nonstationary processes in continuous media by means of parabolic differential equations, we often encounter situations when the coefficient providing the connection between the left and right parts of the equation is described as a function of a set of variables, including the states of the medium under study. The recovery of this dependence, as a rule, requires the solution of inverse coefficient problems based on known states of the medium. In practice, this means that the inverse problem is solved relying, among other things, on some discrepancy between model data and known observations. Nevertheless, there are cases when such observations are critically small in time, for example, measurements of the state of the medium occur with a certain very large time step or only at the end of a nonstationary process. In such cases, retrospective observations contain time moments when the state of the medium is unknown, which makes it impossible to determine the error gradient for them and to restore the desired functional dependence with acceptable accuracy. In this paper, we propose an alternative view of the problem of restoring continuum coefficients for situations when the known states of the medium are much smaller than the unknown ones. A continuous nonstationary process was considered as a discrete process evolving in time, and a recurrent function of discrete state change was proposed. Based on this function, a numerical method for interpolating the error gradient between the expected and actual states of the medium within any two known states was proposed. The process of recovery of discrete values of coefficients at separate moments of time by means of the stochastic gradient descent method was demonstrated on the basis of a numerical model of a generalized parabolic equation with an arbitrary external influence on the boundary.

About the authors

Petr Igorevich Zhukov

STI NUST “MISIS”

Email: rockwell@control-mail.ru
Stary Oskol

References

  1. АЛИФАНОВ О.М. Обратные задачи теплообмена. – М: Машиностроение, 1988. – 280 с.
  2. БРИЗИЦКИЙ Р.В., САРИЦКАЯ Ж.Ю. Краевые и экс-тремальные задачи для уравнения реакции-диффузии конвекции с переменными коэффициентами // Марчу-ковские научные чтения. – 2022. – Т. 1. – С. 102–103.
  3. ВАТУЛЬЯН А.О Обратные задачи в механике деформи-руемого твердого тела. – М: Litres, 2022. – 223 с.
  4. ДИМИТРИЕНКО Ю.И., БОГДАНОВ И.О., ЮРИН Ю.В. и др. Конечно-элементное моделирование нестационар-ной термоустойчивости композитных конструкций // Математическое моделирование и численные методы. – 2024. – №1 (41). – С. 38–54.
  5. ДМИТРИЕВ В.И. Обратные задачи геофизики. – М: МАКС Пресс, 2012. – 340 с.
  6. КАБАНИХИН С.И. Обратные и некорректные задачи. – Новосибирск: ФГУП «Издательство СО РАН», 2018. – 512 с.
  7. КАЗАКОВ А.Л., НЕФЕДОВА О.А., СПЕВАК Л.Ф. Реше-ние двумерного нелинейного параболического уравнения теплопроводности при краевом режиме, заданном на подвижном многообразии // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 2024. – Т. 64, №2. – С. 283–303.
  8. КАРТАШОВ Э. М. Теплопроводность при переменном во времени относительном коэффициенте теплообмена // Известия Российской академии наук. Энергетика. – 2015. – № 2. – С. 138–149.
  9. КОЖАНОВ А.И., ТЕЛЕШЕВА Л.А. Обратные задачи восстановления параметров в параболическом и гипер-болическом уравнениях // Математические заметки СВФУ. – 2022. – Т. 29, №3. – С. 57–69.
  10. КОЗЛОВ А.И., КОКУРИН М.Ю. Об интегральных урав-нениях типа М.М. Лаврентьева в коэффициентных об-ратных задачах для волновых уравнений // Журнал вы-числительной математики и математической физики. – 2021. – Т. 61, №9. – С. 1492–1507.
  11. ЛАВРЕНТЬЕВ М.М., ВАСИЛЬЕВ В.Г. О постановке не-которых некорректных задач математической физики // Сибирский математический журнал. – 1966. – Т. 7, №3. – С. 559–576.
  12. ЛЮБИМОВА Т.П., РУШИНСКАЯ К.С., ЗУБОВА Н.А. Влияние переменного коэффициента термодиффузии на конвекцию бинарной смеси в прямоугольных полостях // Вычислительная механика сплошных сред. – 2021. – Т. 14, №2. – С. 233–244.
  13. МАРЧУК Г.И. О постановке некоторых обратных задач // Доклады Академии наук. – 1964. – Т. 156, №3. – С. 503–506.
  14. МАТУС П.П., ТУЕН В.Т.К. Трехслойные компактные разностные схемы для параболического уравнения // Труды Института математики НАН Беларуси. – 2024. – Т. 32, №1. – С. 110–120.
  15. ПАВЛОВ К.И., ПОПОВА Т.М. Численное решение зада-чи неоднородной диффузии // ТОГУ-СТАРТ: Фундамен-тальные и прикладные исследования молодых. – 2020. – С. 74–79.
  16. САМАРСКИЙ А.А. Теория разностных схем. – М: Изд-во «Наука», – 1989. – 656 с.
  17. САМАРСКИЙ А.А., ВАБИЩЕВИЧ П.Н. Численные ме-тоды решения обратных задач математической физи-ки. – М.: URSS: Изд-во ЛКИ, 2015. – 478 с.
  18. ТИХОНОВ А.Н., ЛЕОНОВ А.С., ЯГОЛА А.Г. Нелиней-ные некорректные задачи. – М.: ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М», 2017. – 306 с.
  19. ЯНЕНКО Н.Н. Метод дробных шагов решения много-мерных задач математической физики. – Новоси-бирск: Изд-во «Наука», 1967. – 197 с.
  20. ELANGO S., TAMILSELVAN A., VADIVEL R. et al. Finite difference scheme for singularly perturbed reaction diffusion problem of partial delay differential equation with nonlocal boundary condition // Advances in Difference Equations. – 2021. – Vol. 2021. – P. 1–20.
  21. ENGL H.W., GROETSCH C.W. Inverse and ill-posed prob-lems. – Elsevier, 2014. – Vol. 4.
  22. GRIMMER B. Provably faster gradient descent via long steps // SIAM Journal on Optimization. – 2024. – Vol. 34, No. 3. – P. 2588–2608.
  23. HANKE M. On the shape derivative of polygonal inclusions in the conductivity problem // arXiv preprint. – arXiv:2402.02793. – 2024.
  24. HODSON T. O. Root mean square error (RMSE) or mean absolute error (MAE): When to use them or not // Geoscien-tific Model Development Discussions. – 2022. – Vol. 2022. – P. 1–10.
  25. KINGMA D.P. Adam: A method for stochastic optimization // arXiv preprint. – arXiv:1412.6980. – 2014.
  26. KIRSCH A., KIRSCH A. Nonlinear Inverse Problems // An Introduction to the Mathematical Theory of Inverse Prob-lems. – 2021. – P. 119–168.
  27. KOROCHE K.A. Numerical solution for one dimensional linear types of parabolic partial differential equation and application to heat equation // Mathematics and Computer Science. – 2020. – Vol. 5, No. 4. – P. 76–85.
  28. QUITTNER P. An optimal Liouville theorem for the linear heat equation with a nonlinear boundary condition // Jour-nal of Dynamics and Differential Equations. – 2024. – Vol. 36, No. Suppl 1. – P. 53–63.
  29. SYMES W.W., CHEN H., MINKOFF S.E. Solution of an acoustic transmission inverse problem by extended inversion // Inverse Problems. – 2022. – Vol. 38, No. 11. – P. 115003.
  30. YAMAMOTO M. et al. Inverse coefficient problem for one-dimensional evolution equation vanishing initial condition // arXiv preprint. – arXiv:2409.20321. – 2024.
  31. ZHAN H., FENG Z. Optimal partial boundary condition for degenerate parabolic equations // Journal of Differential Equations. – 2021. – Vol. 284. – P. 156–182.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download


Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».