О динамической контактной задаче с двумя деформируемыми штампами

Рассматривается задача о гармоническом во времени поведении двух деформируемых полубесконечных штампов, лежащих на деформируемом основании. Предполагается, что штампы сближаются параллельными торцами таким образом, что формируют трещину, дефект или тектонический разлом в зоне сближения. Деформируемый материал штампов имеет простую реологию, описываемую уравнением Гельмгольца. Для рассмотрения случаев деформируемых штампов сложных реологий можно применять созданный новый универсальный метод моделирования. Он позволяет решения векторных граничных задач для систем дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих материалы сложных реологий, представлять разложенными по решениям отдельных скалярных граничных задач. Строится высокоточное решение граничной задачи, позволяющее получить дисперсионное уравнение, описывающее резонансные частоты. Существование резонансных частот для деформируемых штампов было предсказано в работах И. И. Воровича. Результат остается в силе и для случая абсолютно твердых полубесконечных штампов. Ранее было показано, что резонансы возникают в контактной задаче о колебании двух абсолютно жестких штампов конечных размеров на деформируемом слое. Однако динамическая контактная задача для случая двух полубесконечных штампов, действующих на многослойную среду, ранее не изучалась. Исследование опирается на метод блочного элемента, позволяющего строить точные решения граничных задач для дифференциальных уравнений в частных производных. Кроме этого, применяются факторизационные методы и используются некоторые тонкие свойства уравнений Винера – Хопфа, в частности, принадлежащие известному математику М. Г. Крейну. Предлагаемые методы позволяют производить исследование для всего диапазона частот и произвольного расстояния между торцами полубесконечных плит. Результаты исследования могут быть использованы для оценки прочностных свойств конструкций, имеющих контактные соединения из разнотипных материалов в динамических режимах.