Построение решения уравнений теории упругости слоистой полосы на основе принципа сжатых отображений

Дано систематическое изложение модифицированного классического полуобратного метода Сен-Венана как итерационного на примере построения решения дифференциальных уравнений теории упругости для длинной слоистой полосы. Дифференциальные уравнения первого порядка плоской задачи сводятся к безразмерному виду и заменяются интегральными уравнениями относительно поперечной координаты подобно тому, как это делается в методе простых итераций Пикара. При этом в интегральных уравнениях перед знаком интеграла появляется как множитель малый параметр, с помощью которого обеспечивается сходимость решений в соответствии с принципом сжатых отображений Банаха. Уравнения и соотношения упругости преобразовываются к виду, позволяющему вычислять неизвестные последовательно, таким образом, что вычисленные в одном уравнении неизвестные являются входящими для следующего уравнения и т.д. Выполнение граничных условий на длинных краях приводит к обыкновенным дифференциальным уравнениям для медленно и быстро меняющихся сингулярных компонент решения с шестнадцатью эффективными коэффициентами жесткости, определенными интегралами от заданных как ступенчатая функция модулей Юнга каждого слоя. Интегрирование этих обыкновенных дифференциальных уравнений позволяет записать формулы для всех искомых неизвестных задачи, в том числе не определяемые в классической теории балки поперечные напряжения и решения типа краевого эффекта, и выполнить все граничные условия задачи теории упругости на коротких сторонах. Представлено решение трех краевых задач теории упругости полосы: двухслойная полоса со слоями одинаковой толщины и различной толщины и полоса с произвольным числом слоев. Получены формулы для всех неизвестных задачи.