Unbalanced Cash Flows Immunization Based on Monge-Kantorovich Distance

Толық мәтін

Введение

Теория иммунизации является важной составляющей управления портфелем активов с фиксированным доходом и происходит из следующей задачи. Финансовая организация (банк, страховая компания, пенсионный фонд) привлекает средства (вкладчиков, страхователей, инвесторов), в результате чего у нее возникают обязательства, распределенные во времени. Для финансирования обязательств привлеченные средства могут и должны быть размещены в инструменты с фиксированным денежным потоком (т.е. облигации). При этом доли отдельных активов в портфеле не фиксированы и являются предметом управления со стороны организации, законодательно и регуляторно устанавливаются лишь требования по надежности используемых активов и пределы их концентрации в портфеле. Структура реальных облигационных рынков такова, что добиться при этом точного соответствия денежных потоков активов и обязательств по срокам и размерам платежей (такой подход называется cash matching) весьма сложно и дорого. На практике денежный поток по портфелю активов лишь приближенно (в смысле, который требует уточнения) воспроизводит поток по обязательствам. Как следствие, возникает большой массив рисков невыполнения части обязательств. Источником таких рисков являются изменения процентных ставок^[1].

Современные требования регуляторов, научные достижения в области финансов и выработанная культура управления портфелем активов с фиксированным доходом предполагают, что организация не имеет права доводить дело до реализации этих рисков, а должна в реальном времени контролировать их потенциальное возникновение. Конкретно это означает, что контролю подлежит текущая (настоящая, приведенная) стоимость активов в сравнении с такой же стоимостью обязательств.

В своем первоначальном виде идея иммунизации была выдвинута в классических работах [Redington, 1952]. В предположении, что процентные ставки на все сроки одинаковые и что возмущение ставок описывается параллельным сдвигом, было показано, что достичь одинаковой чувствительности активов и обязательств к изменениям ставок (это и есть в общем смысле иммунизация) в случае малых изменений ставок и с точностью до малых величин более высоких порядков можно, уравняв дюрации Маколея обоих портфелей. К настоящему времени теория иммунизации стала обширной областью знания, где используются различные подходы. Различия выражены в том, используется ли и какая параметрическая модель кривой форвардных/спот-ставок, используется ли и какая стохастическая модель динамики ставок, каковы критерии соответствия активов и обязательств (вероятностные либо минимаксные), см. подробный обзор литературы в работе [Курочкин, Родина, 2023].

В направлении, к которому относится данная работа – получение безмодельных оценок и соотношений, усиливающих результаты классической теории, – пионерной работой была [Fong, Vasicek, 1984]. Авторы рассмотрели упрощенную ситуацию, когда поток обязательств состоит из единичного платежа, приходящегося на определенный будущий момент времени. Доказано, что снижение стоимости портфеля активов вследствие изменения процентных ставок ограничено снизу произведением двух величин, одна из которых зависит только от шока форвардных ставок (конкретно, равна sup-норме его производной по сроку), а вторая, получившая название M-квадрат, зависит только от структуры портфеля и представляет собой взвешенное среднее квадратов расстояний между моментами времени денежных поступлений и горизонтом инвестирования. Тем самым задача оптимального управления рисками может быть поставлена как задача минимизации второго сомножителя за счет выбора долей составляющих бумаг.

В многочисленных последующих публикациях были получены различные варианты и обобщения. Так, в статье [Boczek, Kaluszka, 2019] получены обобщения оценок Фонга – Васичека (для единичного обязательства). В работе [Cesari, Mosco, 2018], также в постановке Фонга – Васичека, стратегия иммунизации рассмотрена в контексте активных стратегий управления портфелем.

Также в литературе широко представлены работы, развивающие классическую теорию через рассмотрение большего числа факторов (в дополнение к параллельному сдвигу). В статье [De La Peña et al., 2021] проведено сравнительное эмпирическое исследование моделей, использующих разложения в ряды Тейлора.

Ввиду того, что основные торговые площадки и регуляторы (ФРС США, ЦБ РФ и др.) используют параметрические модели кривой процентных ставок (сплайновые либо варианты Нельсона – Зигеля), в ряде работ развивается теория параметрической иммунизации – методы выравнивания чувствительности активов и обязательств к возмущениям параметров кривой [Lapshin, 2021]. Та же задача в работе [Mantilla-Garcia, 2022] решается с применением методов регуляризации и известной в машинном обучении концепции bias-variance trade-off. В работе [Simões, Oliveira, Bravo, 2021] в рамках модели Нельсона – Зигеля для случая множественных обязательств проведено эмпирическое сравнение результатов иммунизации посредством портфелей из обычных облигаций и облигаций, защищенных от инфляции.

Существенным этапом в теории стала работа [Nawalkha, Chambers, 1996], где вместо M-квадрат введена мера M-Absolute – взвешенное среднее расстояние между моментом очередного платежа по активам и горизонтом инвестирования. Величина шока ставки выражается через sup-норму функции, вид оценки аналогичен, но обладает тем преимуществом, что оба сомножителя имеют прозрачную финансовую интерпретацию. Модель привлекла внимание исследователей и практиков [Nawalkha, Soto, Beliaeva, 2012]. Эмпирические тесты показали преимущества стратегий, основанных на минимизации M-Absolute, в сравнении, в частности, со стратегиями выравнивания дюраций [Soto, Prats, 2003; Kondratiuk-Janyska et al., 2010] и моделями, которые используют регуляторы [Nawalkha, Soto, 2012]. В работе [Kondratiuk-Janyska, Kałuszka, 2006] рассмотрен случай стохастического потока обязательств, введена мера, аналогичная M-Absolute, и в ее терминах получена некоторая оценка математического ожидания убытков по портфелю, по смыслу аналогичная полученной в работе [Nawalkha, Chambers, 1996]. При этом вместо sup-нормы шока в оценке фигурирует функционал – норма производной от математического ожидания экспоненты шока.

За исключением последней процитированной работы, в известных авторам работах по непараметрической иммунизации принимались следующие два условия-ограничения:

• поток обязательств состоит из единичного платежа;
• в текущий момент времени приведенные стоимости активов и обязательств равны.

В работе [Курочкин, Родина, 2023] конструкция [Nawalkha, Chambers, 1996] была распространена на случай множественных обязательств (т.е. произвольного потока). При этом вместо M-Absolute, как ее прямое обобщение, возникает известная под различными названиями (расстояние Монжа – Канторовича, Вассерштейна, Earth Mover’s Distance, далее используем обозначение EMD) характеристика различия двух распределений.

В настоящей работе снято второе из ограничений, т.е. исследована ситуация, обычная в практике финансовых организаций, когда сумма привлеченных средств превышает текущую стоимость потока обязательств: $A>L$. Задачи такого типа получили название несбалансированных транспортных задач (аббревиатура UOT) и интенсивно изучаются в работах [Chizat, Peyré, Schmitzer, Vialard, 2018; Gangbo, Li, Osher, Puthawala, 2019]. Их точные постановки используют одну из двух конструкций: или переносимая масса имеет свойство уменьшаться по пути, или она может появляться и исчезать ценой некоторого штрафа в целевом функционале. В нашем случае таких приемов не требуется, поскольку излишние денежные средства идут на покрытие убытков.

Структура работы следующая. В разделе 1 вводятся необходимые понятия и доказаны некоторые не отмеченные ранее свойства EMD-расстояния между денежными потоками, в том числе связанные с дюрацией Фишера – Вейля. В разделе 2 получена оценка для максимального убытка по портфелю без предположения о малости шока ставок. Дана постановка оптимизационной задачи для случая несбалансированных потоков, установлен вид ее решения и получен алгоритм его нахождения. В заключении приведены выводы и открытые вопросы.

1. Метрика на денежных потоках

Введем необходимые обозначения.

$C\left\{\left(t_k,C_k\right),k=\mathrm{1,...,}N\right\}$ – денежный поток, предусматривающий поступления средств в размере $C_k$ в моменты времени $t_k$.

Потоки платежей по портфелям активов и обязательств – соответственно $A=\left\{\left(t_k,A_k\right)\right\}$ и $L=\left\{\left(t_k,L_k\right)\right\}$. Не нарушая общности, можно считать, что моменты времени в двух потоках синхронизированы, полагая недостающие платежи равными нулю. Короткие позиции не допускаются: $A_k\ge 0$. Пусть $r_t$ – в данный момент рыночная бескупонная ставка годовых на срок t в непрерывном начислении. Тогда приведенная стоимость активов и обязательств представляются соответственно как

$A=\underset{t=t_0}{\overset{t_N}{}}{A}_t{W}_t,$

$L=\underset{t=t_1}{\overset{t_N}{}}{L}_t{W}_t,$

$W_t=\exp \left(-{\int }_0^{t}i\left(\tau \right)d\tau \right),$

где $i\left(t\right)$ – мгновенная форвардная ставка в данный момент, относящаяся к моменту t, $i\left(t\right)$ и $r\left(t\right)$ связаны соотношением $i\left(t\right)=r\left(t\right)+t{r}^{\text{'}}\left(t\right)$ (относительно арифметики процентных ставок см., например: [Hull, 2023, ch. 4] или [Veronesi, 2016, ch. 1]).

Денежный поток активов, в отличие от потока обязательств, вообще говоря, может включать ненулевой платеж $A{}_0$, соответствующий начальному моменту времени $t_0=0$. Иначе говоря, в некоторых ситуациях может оказаться целесообразным оставить часть привлеченных средств на текущем счете, явным образом сформировав подушку безопасности. Из содержательных соображений следует, что, среди прочих, должны и далее будут рассмотрены стратегии, в которых $A_0=A-L>0$.

Как с содержательной стороны, так и для краткости записи удобнее рассматривать возмущения кривой процентных ставок и порождаемые ими риски в терминах форвардных, а не спот-ставок. Так делается практически во всех публикациях по теме, далее используется именно эта схема.

Для денежных потоков удобно ввести их дисконтированные и нормированные версии:

$a_k=\frac{A_k{W}_k}{A},l_k=\frac{L_k{W}_k}{L},\sum a_k=\sum l_k=1.$

Тем самым $\left\{a_k\right\}$ и $\left\{l_k\right\}$ можно рассматривать как дискретные вероятностные меры на полупрямой . Расстояние Монжа – Канторовича $EMD\left(a,l\right)$ между двумя вероятностными мерами в метрическом пространстве с метрикой соотношением p (ограничиваясь достаточным для финансовой постановки случаем дискретных мер) определяется как минимум выражения

$\underset{t,s}{}{u}_{ts}\rho \left(t,s\right)\to \text{min}, s.t.\underset{s}{}{u}_{ts}=a_t,\underset{t}{}{u}_{ts}=l_s,$

при этом $\left\{u_{ts}\right\}$ называется транспортным планом. В нашем случае

$\rho \left(t,s\right)=\left|t-s\right|$.

Дюрация Фишера – Вейля произвольного потока платежей $\left\{\left(t_k,C_k\right)\right\}$ при дисконтной функции $W_k$ определяется как

$D_{FW}\left(\left\{\left(t_k,C_k\right)\right\}\right)=\frac{{\displaystyle {\sum }_k{t}_k{C}_k{W}_k}}{{\displaystyle {\sum }_j{C}_j{W}_j}}.$

$D_{FW}$ количественно отражает чувствительность текущей стоимости потока к мгновенным изменениям спот-ставок для случая произвольной кривой бескупонной доходности, тем самым обобщая понятие дюрации Маколея, но, как и для дюрации Маколея, при условии только параллельных сдвигов кривой.

Также, для денежного потока $\left\{\left(t_k,C_k\right)\right\},C_k\ge 0$, в линейном приближении, т.е. при малых возмущениях ставок, дюрация Фишера – Вейля дает оценку относительной чувствительности текущей стоимости денежного потока к мгновенным изменениям форвардных ставок, оцениваемым в равномерной норме:

$\begin{array}{l}\Delta C=\sum _{}_{t=t_1}^{t_N}{C}_t\left[\text{exp}\left(-{\int }_0^t\left(i\left(\tau \right)+\Delta i\left(\tau \right)\right)d\tau \right)-\text{exp}\left(-{\int }_0^{t}i\left(\tau \right)d\tau \right)\right]=\\ =\sum _{}_{t=t_1}^{t_N}{C}_t\text{exp}\left(-{\int }_0^{t}i\left(\tau \right)d\tau \right)\left[\text{exp}\left(-{\int }_0^t\Delta i\left(\tau \right)d\tau \right)-1\right]\approx \\ \approx -\sum _{}_{t=t_1}^{t_N}{C}_t\text{exp}\left(-{\int }_0^{t}i\left(\tau \right)d\tau \right){\int }_0^t\Delta i\left(\tau \right)d\tau ,\end{array}$

откуда, с точностью до малых более высокого порядка,

$\left|\Delta C\right|\le \sum _{}_{t=t_1}^{t_N}{C}_t\text{exp}\left(-{\int }_0^{t}i\left(\tau \right)d\tau \right)t\text{||}\Delta i\text{||}=D_{FW}\left(\left\{\left(t_k,C_k\right)\right\}\right)C\text{||}\Delta i\text{||},$

где C – текущая стоимость потока; $\text{||}\Delta i\text{||}$ – sup-норма шока ставки.

Следующие утверждения прямо следуют из определений, но, по-видимому, не были замечены ранее.

Утверждение 1.

$D_{FW}\left(\left\{\left(t_k,C_k\right)\right\}\right)$ равна $EMD\left(\left\{\left(t_k,c_k\right)\right\},\left\{\left(\mathrm{0,1}\right)\right\}\right)$, где $\left\{\left(t_k,c_k\right)\right\}$ – дисконтированный и нормированный поток $\left\{\left(t_k,c_k\right)\right\},\left\{\left(\mathrm{0,1}\right)\right\}$ – поток, состоящий из платежа в 1 денежную единицу в нулевой момент времени. При этом, очевидно, $D_{FW}\left(\left\{\left(\mathrm{0,1}\right)\right\}\right)=0$.

Утверждение 2.

Для двух денежных потоков разность их дюраций не превосходит по абсолютной величине EMD-расстояния между их нормированными версиями:

$\left|D_{FW}\left(\left\{\left(t_k,C_k\right)\right\}\right)-D_{FW}\left(\left\{\left(t_k,D_k\right)\right\}\right)\right|\le EMD\left(\left\{\left(t_k,c_k\right)\right\},\left\{\left(t_k,d_k\right)\right\}\right).$

Первое утверждение следует из того, что

$D_{FW}\left(\left\{\left(t_k,C_k\right)\right\}\right)=\sum _{}_k{t}_k{c}_k=\sum _{}_k\left|t_k-0\right|c_k$

и план $\left\{u_{t0}=c_t\right\}$ оптимальный (и единственно возможный).

Второе утверждение следует из соотношений

(1) $\begin{array}{l}\left|D_{FW}\left(\left\{\left(t_k,C_k\right)\right\}\right)-D_{FW}\left(\left\{\left(t_k,D_k\right)\right\}\right)\right|=\left|\sum _{}_{t}t{c}_t-\sum _{}_{s}s{d}_s\right|=\\ =\left|\sum _{}_{t}t\sum _{}_s{u}_{ts}-\sum _{}_{s}s\sum _{}_t{u}_{ts}\right|=\left|\sum _{}_{t,s}\left(t{u}_{ts}-s{u}_{ts}\right)\right|\le \sum _{}_{t,s}\left|t-s\right|u_{ts},\end{array}$

верных для любого транспортного плана $u_{ts}$. Взяв план, минимизирующий правую часть (1), получим требуемое.

Таким образом, имеется связь между классической иммунизацией, основанной на выравнивании дюраций, и последующими подходами [Fong, Vasicek, 1984; Nawalkha, Chambers, 1996; Курочкин, Родина, 2023], основанными на минимизации меры близости потоков активов и обязательств.

2. Постановка и решение оптимизационной задачи

Основной результат [Курочкин, Родина, 2023] может быть сформулирован так: в линейном приближении, с точностью до малых более высоких порядков,

(2) $\frac{\left|\Delta \left(A-L\right)\right|}{L}\le EMD\left(a,l\right)\text{||}\Delta i\text{||},$  

где A, L – соответственно приведенные стоимости активов и обязательств (в начальный момент $A=L$); $\Delta \left(A-L\right)$ – изменение баланса активов и обязательств, возникающее вследствие шока процентных ставок; $a=\left\{\left(t_k,a_k\right)\right\},l=\left\{\left(t_k,l_k\right)\right\}$ – нормированные дисконтированные потоки активов и обязательств соответственно; $\text{||}\Delta i\text{||}$ – sup-норма шока форвардных ставок. Тем самым, задача оптимальной иммунизации может быть поставлена как задача минимизации (за счет выбора структуры активов) величины $EMD\left(a,l\right)$, с тем чтобы при изменении ставок в заданных пределах относительный текущий дисбаланс, т.е. левая часть (2), был бы минимальным.

Ценой введения коэффициента, большего единицы, но на практике того же порядка, может быть получена аналогичная оценка без предположения о малости шока ставок.

Утверждение 3.

В предположении

(3) $T\text{||}\Delta i\text{||}\le \mathrm{1,}$       

где T – максимум разностей временных сроков в правой части (1), верно

(4) $\frac{\left|\Delta \left(A-L\right)\right|}{L}\le 2e EMD\left(a,l\right)\text{||}\Delta i\text{||}.$     

Замечание. Практически условие (3) выполняется с большим запасом. Так, исторический максимум изменения ключевой ставки ЦБ РФ (ориентира для шока форвардных ставок) имел место 28.02.2022 г. и составил 10,5 п.п., т.е. 0,105. В свою очередь, величина T заведомо не превосходит максимального срока по потокам активов и обязательств, с грубой оценкой 10 лет (фактически же здесь фигурирует максимум величин $\text{|t}-\text{s|}$ при ненулевых $u_{ts}$ в оптимальных планах, что существенно меньше).

Доказательство.

Предварительно рассмотрим случай, когда потоки активов и обязательств отличаются только сроком одного платежа:

$A=\left\{\left(t_k,A_k\right)\right\}\cup \left(t,A_t\right) , L=\left\{\left(t_k,L_k\right)\right\}\cup \left(s,L_s\right) , A_k=L_k \forall k, t\ne s, a_t=l_s.$

Тогда, с учетом $A_t{W}_t=L_s{W}_s$

$\begin{array}{l}\left|\Delta \left(A-L\right)\right|= \left|\Delta \left(A_t W_t-L_s{W}_s\right)\right|-\\ - A_t\text{exp}\left(-{\int }_0^{t}i\left(\tau \right)d\tau \right) \left|\left[\text{exp}\left(-{\int }_0^t\Delta i\left(\tau \right)d\tau \right)-\text{exp}\left(-{\int }_0^s\Delta i\left(\tau \right)d\tau \right)\right]\right|\le \\ \le L a_t\text{ exp}\left(-{\int }_0^t\Delta i\left(\tau \right)d\tau \right) \left|\left[1-\text{exp}\left(-{\int }_t^s\Delta i\left(\tau \right)d\tau \right)\right]\right|\le \\ \le L a_t\text{ exp}\left(T\text{||}\Delta i\text{||} \right)\left|\left[\text{exp}\left(\text{||}\Delta i\text{||}\left|t-s\right|\right)-1\right]\right|\le 2e L a_t \left|t-s\right|\text{||}\Delta i\text{||}\end{array}$

(учтено (3) и неравенство величин $\text{|}{e}^x-1|\le 2|x|$ при $\text{|x|}\le 1$), что дает (4) для этого частного случая.

Пусть теперь потоки A и L произвольны (но с одинаковой начальной стоимостью). Пусть $u_{ts}$ – транспортный план, реализующий $EMD\left(a,l\right)$. Упорядочим каким-либо образом множество пар индексов $(t,s):\left(t_k,s_k\right),k=\mathrm{1...}m$ и рассмотрим последовательность денежных потоков $\left\{C_k\right\}$, устроенную так: все приведенные стоимости равны и равны таковым для потоков A и L, потоков $C_{\left(0\right)}=A,C_{\left(m\right)}=L$ и, в дисконтированном и нормированном варианте, $C_{\left(k\right)}$ получается из $C_{(k-1)}$ заменой платежа $\left(t\left(k\right),u_{t\left(k\right),s\left(k\right)}\right)$ на $\left(s\left(k\right),u_{t\left(k\right),s\left(k\right)}\right)$ и остальными платежами одинаковыми (т.е. транспортный план разбит на последовательность элементарных перемещений). Тогда, по доказанному выше,

$\left|\Delta \left( C_{\left(k\right)}-C_{\left(k-1\right)}\right)\right| \le 2e L u_{t\left(k\right),s\left(k\right)} \left|t\left(k\right)-s\left(k\right)\right| \text{||}\Delta i\text{||,}$

и

$\begin{array}{l}\left|\Delta \left(A-L\right)\right| \le \sum _{}_{k=1\dots m}\left|\Delta \left( C_{\left(k\right)}-C_{\left(k-1\right)}\right)\right| \le 2e L \sum _{}_{k=1\dots m} u_{t\left(k\right),s\left(k\right)} \left|t\left(k\right)-s\left(k\right)\right|\left|\right|\Delta i\left|\right|=\\ =2e L\sum _{}_{t,s} u_{ts} \left|t-s\right| \left|\right|\Delta i\left|\right|=2e L EMD\left(a,l\right)\left|\right|\Delta i\left|\right|.\end{array}$

В работе [Курочкин, Родина, 2023] был рассмотрен пример иммунизации посредством минимизации EMD-расстояния, где потоком пассивов служил 10-летний аннуитет, а активами для конструирования портфеля выступали наиболее ликвидные ОФЗ ПД. Для этой же ситуации в рамках данной работы был проведен расчет, показывающий фактическую зависимость левой части (4) от величины шока ставок. На рис. 1 представлен результат симуляции просадки итогового портфеля при шоках различной амплитуды – от 0,5 до 5% (в sup-норме, доходности на различных сроках распределены равномерно и независимо), сгенерировано 150 точек. Следует отметить, что шок ставки порядка 5% годовых – редчайшее явление, т.е. расчет охватывает не только малые шоки, но и разумную верхнюю границу амплитуды изменения ставки. Тем не менее отклонений от линейной оценки не выявлено, из чего можно сделать вывод, что на практике, после дополнительных тестов, допустимо пользоваться оценкой вида (4) без множителя 2e, т.е. в линеаризованном варианте.

 

Рис. 1. Изменения относительной стоимости иммунизированного портфеля при случайных шоках ставки различной амплитуды

 

Откажемся теперь от требования равенства начальных стоимостей активов и обязательств. Пусть

$A=\left(1+\gamma \right)L,\gamma \ge 0.$

В линейном приближении имеем

$\Delta A=-A\sum _{}_k{a}_k{\int }_0^{t_k}\Delta i\left(\tau \right)d\tau ,$

$\Delta L=-L\sum _{}_k{l}_k{\int }_0^{t_k}\Delta i\left(\tau \right)d\tau ,$

$\Delta \left(A-L\right)=-L\sum _{}_k\left(\left(1+\gamma \right)a_k-l_k\right){\int }_0^{t_k}\Delta i\left(\tau \right)d\tau .$

Рассмотрим преобразование Абеля (с обратной нумерацией) для нормированного чистого денежного потока:

$B_k=\sum _{}_{i=k}^N\left(\left(1+\gamma \right)a_i-l_i\right),k=\mathrm{1,}\dots ,N.$

Тогда

(5) $\left|\Delta \left(A-L\right)\right|=L\left|\sum _{}_{k=1}^N{B}_k{\int }_{t_{k-1}}^{t_k}\Delta i\left(\tau \right)d\tau \right|\le L\sum _{}_{k=1}^N\left|B_k\right|\left(t_k-t_{k-1}\right)\text{||}\Delta i\text{||}.$

Выражение

(6) $\sum _{}_{k=1}^N\left|B_k\right|\left(t_k-t_{k-1}\right)$

зависит от размера «подушки безопасности» y и (через пропорцию долей $a_k$ в портфеле активов) от инвестиционного решения. Оно очевидным образом равно норме линейного функционала долей $B_{\gamma ,a}$, действующего на пространстве функций, представляющих шок ставок (c sup-нормой) по формуле

$B_{\gamma ,a}\left(\Delta i\right)= \underset{k=1}{\overset{N}{}}{B}_k{\int }_{t_{k-1}}^{t_k}\Delta i\left(\tau \right)d\tau .$

Приведенная стоимость платежа $A{}_0$ равна ему самому и к изменениям ставок нечувствительна.

Для выбранной структуры активов подушка не будет пробита, если $\text{|}\Delta (A-L)\text{|}\le \gamma L$ ^[2]. В силу (5) это можно гарантировать (и в наихудшем случае оценка достижима), если амплитуда шока ставок не превысит величины

(7) $\frac{\text{γ}}{\text{||}{B}_{\gamma ,a}\text{||}}.$

Таким образом, оптимизационная задача относится к минимаксному типу и имеет вид

(8) $\text{||}{B}_{\gamma ,a}\text{||}{\to }_{\alpha }\text{min}.$

Задача (8) является выпуклой, с кусочно-линейным целевым функционалом и линейными ограничениями. Такая задача (см.: [Luenberger, Ye, 2008]) может быть сведена к серии задач линейного программирования. Пробные расчеты показывают, что для решения вполне достаточно оказывается универсальных методов оптимизации.

В случае, если y мала (что обычно имеет место на практике), задача упрощается и приводит к уже известной конструкции. Действительно, простая выкладка показывает, что с точностью до малых более высоких порядков величина (6) равна расстоянию Монжа – Канторовича между потоками $a_k$ и $l_k$ (здесь принимаем во внимание, что расстояние Монжа – Канторовича между двумя вероятностными мерами на прямой равно расстоянию между их функциями распределения в норме платежа $L_1$, см: [Валландер, 1973]). Таким образом, в этом случае решение (8), т.е. структура оптимального портфеля активов, с точностью до малых, не зависит от y и является решением задачи

(9) $EMD\left(a,l\right){\to }_{\alpha }\text{min}.$

Как и следовало ожидать, в пределе $\gamma \to 0$ воспроизводится основной результат [Курочкин, Родина, 2023].

Следующий простой числовой пример демонстрирует вычисление (6) и показывает, что в общем случае решение (9) не сводится к тому, чтобы сформировать сбалансированный портфель по критерию EMD-метрики, а затем взять его с коэффициентом $1+\gamma$. Наряду с облигациями, доступен для вложения текущий счет, т.е. актив с потоком $\left\{\left(\mathrm{0,1}\right)\right\}$.

Пример. Поток по пассивам: $\left\{\left(\mathrm{1,1}/2\right),\left(\mathrm{10,1}/2\right)\right\}$. Для портфеля активов: облигация $\left\{\left(\mathrm{11,1}\right)\right\}$. Поток $\left(a-l\right)$ есть

$\left\{\left(\mathrm{0,}{a}_0\right),\left(\mathrm{1,}-1/2\right),\left(\mathrm{10,}-1/2\right),\left(\mathrm{11,1}+\gamma -a_0\right)\right\},$

$\text{||}B\text{||}=\left|\gamma -a_0\right|\cdot 1+\left|1/2+\gamma -a_0\right|\cdot 9+\left|1+\gamma -a_0\right|\cdot \mathrm{1,}$

$a_{\mathrm{0,}min}=1/2+\gamma .$

Далее будет выяснена структура оптимального портфеля в несбалансированном случае.

Лемма.

Если в потоке пассивов содержится платеж $\left(t^{*},l^{*}\right)$, а среди активов есть бескупонная облигация $\left(t^{*}\mathrm{,1}\right)$, то в оптимальном портфеле ее количество будет больше или равно $l^{*}$, а оптимальный план не будет предусматривать перемещения этой суммы.

Доказательство. Пусть в портфеле $\left\{\left(t_i,a_i\right)\right\}$ для некоторого n, $1\le n\le N$, количество облигаций $\left(t_n\mathrm{,1}\right)$ равно $w_n$. В соответствующем плане $\left\{u_{i,j}\right\}$ имеем

$\sum _{}_{k=1}^N{u}_{nk}=w_n,$

$\sum _{}_{k=1}^N{u}_{kn}=l_n.$

Нужно доказать, что $w_n\ge l_n,u_{nn}=l_n.$ Предположим, что $u_{nn}<l_n,$ $\sum _{k\ne n}{u}_{kn}=l_n-u_{nn}>0.$ Изменим портфель так: для всех $k\ne n$ из $a_k$ изымем $u_{k,n}$ и добавим к $a_n$. При этом EMD-расстояние до потока пассивов уменьшится, следовательно, план не был оптимальным.

Утверждение 4.

Для произвольного коэффициентом $\gamma >0$ решение задачи (8) может быть найдено по следующему алгоритму:

1. В совокупность активов добавить текущий денежный счет, т.е. поток $\left(\mathrm{0,1}\right)$.
2. Игнорируя избыток средств, найти решение сбалансированной транспортной задачи, минимизируя EMD-метрику.
3. Оставшиеся средства в размере y поместить на текущий счет.

Доказательство. Пусть имеется портфель с потоком платежей A, минимизирующий $B_{\gamma ,a}$. Добавим к потоку пассивов платеж $\left(\mathrm{0,}\gamma \right)$. Он не меняет $B_{\gamma ,a}$, и таким образом имеется решение сбалансированной задачи. По доказанному в работе [Курочкин, Родина, 2023] (см. также выше о случае $\gamma \to 0$), A – EMD-ближайший к расширенному потоку пассивов.

Из леммы следует, что в оптимальном портфеле будет $a_0\ge \gamma$. Сокращая платеж $\left(\mathrm{0,}\gamma \right)$ в активах и пассивах, получаем поток активов, EMD-ближайший к исходным пассивам, плюс оставшуюся сумму y на счете.

Заключение

Всякая схема иммунизации портфеля обязательств явно или неявно предполагает минимизацию различия между активами и пассивами. В качестве меры различия могут использоваться различные функционалы. Но, по-видимому, наиболее удобными для расчетов и одновременно имеющими ясную финансовую интерпретацию являются мера M-Absolute и предложенные ее обобщения на случай множественных обязательств. В работе получено решение и дан алгоритм оптимальной иммунизации для общего случая, когда потоки активов и обязательств не сбалансированы в смысле приведенной стоимости. При этом при рассмотрении шока ставок использовался безмодельный подход и оценки в равномерной норме. Конструкция может служить практическим рецептом. Дальнейшие исследования здесь могут быть направлены на согласование алгоритмов иммунизации с моделями динамики ставок и, более широко, моделями управления рисками, принятыми в финансовых организациях.

 

^[1] Как правило, в данной ситуации допустимыми признаются лишь вложения в достаточно надежные бумаги. Аспект, связанный с вероятностью дефолтов эмитентов облигаций, здесь не рассматривается.

^[2] В нелинейном варианте – если $\text{|}\Delta (A-L)\text{|}\le \gamma L/\left(2e\right)$.

Авторлар туралы

Sergey Kurochkin

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»

Хат алмасуға жауапты Автор.
Email: skurochkin@hse.ru

к.ф.-м.н., доцент

Ресей, Москва

Victoria Rodina

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»

Email: victoriarodina@hse.ru

ст. преподаватель

Ресей, Москва

Әдебиет тізімі

Қосымша файлдар