Открытый доступ
Доступ предоставлен
Только для подписчиков
Том 84, № 6 (2020)
- Год: 2020
- Статей: 8
- URL: https://ogarev-online.ru/1607-0046/issue/view/7547
Статьи
Полное описание спектров показателей Ляпунова непрерывных семейств линейных дифференциальных систем с неограниченными коэффициентами
Аннотация
Для каждых натурального числа $n$ и метрического пространства $M$ рассматривается класс $\widetilde{\mathcal{U}}^n(M)$, состоящий из параметрических семейств $\dot x = A(t, \mu)x$, где $x\in\mathbb{R}^n$, $t\ge 0$, $\mu\in M$, линейных дифференциальных систем с кусочно-непрерывными и, вообще говоря, неограниченными на временн\'{о}й полуоси при каждом фиксированном значении параметра $\mu$ коэффициентами, таких, что если в пространстве параметров последовательность $(\mu_k)$ сходится к некоторому элементу $\mu_0$, то последовательность $(A( {\cdot} ,\mu_k))$ сходится равномерно на полуоси к матрице $A( {\cdot} ,\mu_0)$. Для семейств, составляющих класс $\widetilde{\mathcal{U}}^n(M)$, получено полное описание отдельных показателей Ляпунова и их спектров как функций параметра.Библиография: 23 наименования.
Известия Российской академии наук. Серия математическая. 2020;84(6):3-22
3-22
Геометрические оценки решений квазилинейных эллиптических неравенств
Аннотация
Предположим, что $p>1$ и $p-1 \le \alpha \le p$ – некоторые вещественные числа, а $\Omega$ – непустое открытое подмножество $\mathbb{R}^n$, $n \ge 2$. Рассмотрим неравенство$$\operatorname{div} A (x, D u)+b (x) |D u|^\alpha\ge 0,$$где $D=(\partial/\partial x_1, \partial/\partial x_2, …, \partial/\partial x_n)$ – оператор градиента, $A\colon \Omega \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ и $b\colon \Omega \to [0, \infty)$ – некоторые функции, причем$$C_1|\xi|^p\le\xi A (x, \xi),\quad |A (x, \xi)|\le C_2|\xi|^{p-1},\qquad C_1, C_2=\mathrm{const}>0, \quad p>1,$$для почти всех $x \in \Omega$ и всех $\xi \in \mathbb{R}^n$. Для решений этого неравенства получены оценки, учитывающие геометрию $\Omega$. Из этих оценок, в частности, следуют условия регулярности граничной точки.Библиография: 17 наименований.
Известия Российской академии наук. Серия математическая. 2020;84(6):23-72
23-72
Пороговые резонансы и виртуальные уровни в спектре цилиндрических и периодических волноводов
Аннотация
Для общих формально самосопряженных эллиптических систем дифференциальных уравнений второго порядка с краевыми условиями Дирихле или Неймана в областях с цилиндрическими и периодическими выходами на бесконечность (в волноводах) даны описание и классификация порогов непрерывного спектра и возникающих на них резонансов. Последние вызваны появлением “почти стоячих” волн, т. е. нетривиальных решений однородной задачи – волн, не переносящих энергии. В качестве примеров рассмотрены квантовые, акустические и упругие волноводы. Основное внимание уделено вырожденным порогам, которые характеризуются наличием полиномиально растущих на бесконечности стоячих волн и порождают эффекты, не свойственные обычным порогам. В частности, описан эффект поднятия собственного числа с вырожденного – нулевого – порога спектра, имеющего векторную природу упругого волновода, который (эффект) заведомо отсутствует в скалярных задачах для цилиндрических акустических и квантовых волноводов. При помощи техники самосопряженных расширений дифференциальных операторов в весовых пространствах представлена интерпретация почти стоячих волн как собственных векторов некоторых операторов, а порога – как соответствующего собственного числа. При этом пороговые собственные числа и соответствующие вектор-функции, не затухающие на бесконечности, получаются предельными переходами на порог (виртуальный уровень) либо снизу, либо сверху, т. е. их свойства существенно отличаются от привычных. Сформулированы открытые вопросы.Библиография: 84 наименования.
Известия Российской академии наук. Серия математическая. 2020;84(6):73-130
73-130
О группе шароморфизмов не локально конечного однородного дерева
Аннотация
Рассмотрим дерево $\mathbb{T}$, у которого все вершины имеют счетную валентность; его граница – пространство Бэра $\mathbb{B}\simeq\mathbb{N}^\mathbb{N}$; разложение в цепную дробь отождествляет множество иррациональных чисел $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ с $\mathbb{B}$. Если удалить $k$ ребер из $\mathbb{T}$, то получится лес, состоящий из копий дерева $\mathbb{T}$. Шароморфизм (spheromorphism) или иерархоморфизм дерева $\mathbb{T}$ – это изоморфизм двух таких подлесов, рассматриваемый как преобразование дерева $\mathbb{T}$ или пространства $\mathbb{B}$. Обозначим группу всех шароморфизмов через $\operatorname{Hier}(\mathbb{T})$. Мы показываем, что соответствие $\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\simeq \mathbb{B}$ переводит группу Томпсона, реализованную как группу кусочных $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{Z})$-преобразований, в подгруппу группы $\operatorname{Hier}(\mathbb{T})$. Мы строим унитарные представления группы $\operatorname{Hier}(\mathbb{T})$, показываем, что группа $\operatorname{Aut}(\mathbb{T})$ автоморфизмов дерева сферична в $\operatorname{Hier}(\mathbb{T})$, и описываем шлейф (обертывающую категорию) группы $\operatorname{Hier}(\mathbb{T})$.Библиография: 26 наименований.
Известия Российской академии наук. Серия математическая. 2020;84(6):131-164
131-164
Теорема Н. Н. Боголюбова для управляемой системы, связанной с вариационным неравенством
Аннотация
Рассматривается задача минимизации интегрального функционала на решениях управляемойсистемы, описываемой нелинейным дифференциальным уравнением в сепарабельном банаховомпространстве и вариационным неравенством. Это вариационное неравенство определяетгистерезисный оператор, входом которого является траектория управляемой системы, а выход содержится в правой части дифференциального уравнения, в ограничении на управление и в минимизируемом функционале. Ограничением на управление является многозначное отображение с замкнутыми, невыпуклыми значениями, а интегрант является функцией, невыпуклой по управлению. Наряду с исходной рассматривается задача минимизации интегрального функционала с овыпукленным по управлению интегрантом на решениях управляемой системы с овыпукленным ограничением на управление (релаксационная задача).Под решением управляемой системы понимается тройка: выход гистерезисного оператора, траектория и управление. Установлена связь между исходной задачей минимизации и релаксационной задачей. Эта связь является аналогом классической теоремы Н. Н. Боголюбова в вариационном исчислении. Изучена также связь между решениями исходной управляемой системы и системы с овыпукленным ограничением на управление. Эту связь обычно называют релаксацией. Для конечномерного пространства доказано существование оптимального решения в релаксационной задаче оптимизации.Библиография: 24 наименования.
Известия Российской академии наук. Серия математическая. 2020;84(6):165-196
165-196
О равномерном приближении интерполяционными многочленами Лагранжа по матрице узлов Якоби ${\mathcal L}_n^{(\alpha_n,\beta_n)}$ функций ограниченной вариации
Аннотация
Пусть последовательности $\{\alpha_n\}_{n=1}^{\infty}$, $\{\beta_n\}_{n=1}^{\infty}$ удовлетворяют соотношениям $\alpha_n\in\mathbb{R}$, $\beta_n\in\mathbb{R}$, $\alpha_n=o(\sqrt{n/\ln n})$, $\beta_n=o(\sqrt{n/\ln n})$ при $n\to \infty $, а отрезок $[a,b]\subset (0,\pi)$ и функция $f\in C[a,b]$. Доопределим функцию $f$ до $F$ на отрезке $[0,\pi]$ ломаными так, чтобы она, оставаясь непрерывной, исчезала в окрестности концов отрезка $[0,\pi]$. Пусть также функция $f$ и пара последовательностей $\{\alpha_n\}_{n=1}^{\infty}$, $\{\beta_n\}_{n=1}^{\infty}$ связаны между собой условием равносходимости. Тогда для того чтобы классические интерполяционные процессы Лагранжа–Якоби $\mathcal{L}_n^{(\alpha_n,\beta_n)}(F,\cos\theta)$ равномерно по $\theta $ на $[a,b]$ аппроксимировали функцию $f\in C[a,b]$ достаточно ограниченности вариации функции $V^{b}_{a}(f)<\infty$ на отрезке $[a,b]$. В частности, если последовательности $\{\alpha_n\}_{n=1}^{\infty}$, $\{\beta_n\}_{n=1}^{\infty}$ ограничены, то для того чтобы классические интерполяционные процессы Лагранжа–Якоби $\mathcal{L}_n^{(\alpha_n,\beta_n)}(F,\cos\theta)$ равномерно по $\theta $ на $[a,b]$ аппроксимировали функцию $f\in C[a,b]$ достаточно ограниченности вариации функции, $V^{b}_{a}(f)<\infty$, на отрезке $[a,b]$.Библиография: 42 наименования.
Известия Российской академии наук. Серия математическая. 2020;84(6):197-222
197-222
223-223
224-224