Том 84, № 6 (2020)

Для каждых натурального числа $n$ и метрического пространства $M$ рассматривается класс $\widetilde{\mathcal{U}}^n(M)$, состоящий из параметрических семейств $\dot x = A(t, \mu)x$, где $x\in\mathbb{R}^n$, $t\ge 0$, $\mu\in M$, линейных дифференциальных систем с кусочно-непрерывными и, вообще говоря, неограниченными на временн\'{о}й полуоси при каждом фиксированном значении параметра $\mu$ коэффициентами, таких, что если в пространстве параметров последовательность $(\mu_k)$ сходится к некоторому элементу $\mu_0$, то последовательность $(A( {\cdot} ,\mu_k))$ сходится равномерно на полуоси к матрице $A( {\cdot} ,\mu_0)$. Для семейств, составляющих класс $\widetilde{\mathcal{U}}^n(M)$, получено полное описание отдельных показателей Ляпунова и их спектров как функций параметра.Библиография: 23 наименования.

Для общих формально самосопряженных эллиптических систем дифференциальных уравнений второго порядка с краевыми условиями Дирихле или Неймана в областях с цилиндрическими и периодическими выходами на бесконечность (в волноводах) даны описание и классификация порогов непрерывного спектра и возникающих на них резонансов. Последние вызваны появлением “почти стоячих” волн, т. е. нетривиальных решений однородной задачи – волн, не переносящих энергии. В качестве примеров рассмотрены квантовые, акустические и упругие волноводы. Основное внимание уделено вырожденным порогам, которые характеризуются наличием полиномиально растущих на бесконечности стоячих волн и порождают эффекты, не свойственные обычным порогам. В частности, описан эффект поднятия собственного числа с вырожденного – нулевого – порога спектра, имеющего векторную природу упругого волновода, который (эффект) заведомо отсутствует в скалярных задачах для цилиндрических акустических и квантовых волноводов. При помощи техники самосопряженных расширений дифференциальных операторов в весовых пространствах представлена интерпретация почти стоячих волн как собственных векторов некоторых операторов, а порога – как соответствующего собственного числа. При этом пороговые собственные числа и соответствующие вектор-функции, не затухающие на бесконечности, получаются предельными переходами на порог (виртуальный уровень) либо снизу, либо сверху, т. е. их свойства существенно отличаются от привычных. Сформулированы открытые вопросы.Библиография: 84 наименования.

Рассматривается задача минимизации интегрального функционала на решениях управляемойсистемы, описываемой нелинейным дифференциальным уравнением в сепарабельном банаховомпространстве и вариационным неравенством. Это вариационное неравенство определяетгистерезисный оператор, входом которого является траектория управляемой системы, а выход содержится в правой части дифференциального уравнения, в ограничении на управление и в минимизируемом функционале. Ограничением на управление является многозначное отображение с замкнутыми, невыпуклыми значениями, а интегрант является функцией, невыпуклой по управлению. Наряду с исходной рассматривается задача минимизации интегрального функционала с овыпукленным по управлению интегрантом на решениях управляемой системы с овыпукленным ограничением на управление (релаксационная задача).Под решением управляемой системы понимается тройка: выход гистерезисного оператора, траектория и управление. Установлена связь между исходной задачей минимизации и релаксационной задачей. Эта связь является аналогом классической теоремы Н. Н. Боголюбова в вариационном исчислении. Изучена также связь между решениями исходной управляемой системы и системы с овыпукленным ограничением на управление. Эту связь обычно называют релаксацией. Для конечномерного пространства доказано существование оптимального решения в релаксационной задаче оптимизации.Библиография: 24 наименования.

Исправление к статье В. В. Горбацевича, “Дуальные и почти дуальные однородные пространства”, Изв. РАН. Сер. матем., 83:1 (2019), 256–58.