The exact domain of univalence on the class of holomorphic maps of a disc into itself with an interior and a boundary fixed points

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

We consider the problem of identifying domains of univalence on classes ofholomorphic maps of the unit disc into itself. In 1926 E. Landau found the exactvalue of the radius of the disc of univalence on the class of such maps with a givenvalue of the derivative at an interior fixed point. In 2017 V. V. Goryainovdiscovered the existence of univalence domains on classes of holomorphic maps of theunit disc into itself with an interior and a boundary fixed points, with a restriction on the value of the angular derivative at the boundary fixed point. However, the question of finding unimprovable domains of univalence remained open. Inthis paper, this extremal problem is solved completely: we find an exact univalencedomain on the indicated class of holomorphic maps of the disc into itself.This result is a strengthening of Landau's theorem for functions of the correspondingclass.

About the authors

Aleksei Petrovich Solodov

Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics; Moscow Center for Fundamental and Applied Mathematics

Email: apsolodov@mail.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Associate professor

References

  1. Г. М. Голузин, Геометрическая теория функций комплексного переменного, 2-е изд., Наука, М., 1966, 628 с.
  2. L. Bieberbach, “Über die koeffizienten derjenigen potenzreihen, welche eine schlichte abbildung des einheitskreises vermitteln”, Sitzungsber Preuss. Akad. Wiss., Phys.-Math. Kl., 138 (1916), 940–955
  3. L. de Branges, A proof of the Bieberbach conjecture, Preprint/LOMI E-5-84, Leningrad branch of the V. A. Steklov Mathematical Institute, Leningrad, 1984, 21 pp.
  4. L. de Branges, “A proof of the Bieberbach conjecture”, Acta Math., 154:1-2 (1985), 137–152
  5. E. Study, Vorlesungen über ausgewählte Gegenstände der Geometrie. Zweites Heft. Konforme Abbildung einfach zusammenhängender Bereiche, B. G. Teubner, Leipzig und Berlin, 1913, iv+142 pp.
  6. J. W. Alexander, “Functions which map the interior of the unit circle upon simple regions”, Ann. of Math. (2), 17:1 (1915), 12–22
  7. L. Špaček, “Přispěvek k teorii funkci prostych [Contribution à la theorie des fonctions univalentes]”, Časopis Pěst. Mat. Fys., 62 (1932), 12–19
  8. Z. Nehari, “The Schwarzian derivative and schlicht functions”, Bull. Amer. Math. Soc., 55:6 (1949), 545–551
  9. J. Becker, “Löwnersche Differentlialgleichung und quasikonform fortsetzbare schlichte Funktionen”, J. Reine Angew. Math., 1972:255 (1972), 23–43
  10. Г. В. Кузьмина, “Численное определение радиусов однолистности аналитических функций”, Работы по приближенному анализу, Тр. МИАН СССР, 53, Изд-во АН СССР, М.–Л., 1959, 192–235
  11. D. Aharonov, U. Elias, “Univalence criteria depending on parameters”, Anal. Math. Phys., 4:1-2 (2014), 23–34
  12. D. Blezu, N. N. Pascu, “Some univalence criteria”, Demonstratio Math., 35:1 (2002), 31–34
  13. M. Chuaqui, “A unified approach to univalence criteria in the unit disc”, Proc. Amer. Math. Soc., 123:2 (1995), 441–453
  14. M. Nunokawa, J. Sokol, “On some conditions for $p$-valency”, J. Comput. Anal. Appl., 28:2 (2020), 219–225
  15. S. Ozaki, M. Nunokawa, “The Schwarzian derivative and univalent functions”, Proc. Amer. Math. Soc., 33:2 (1972), 392–394
  16. D. Răducanu, H. Orhan, E. Deniz, “On some sufficient conditions for univalence”, An. Ştiinţ. Univ. “Ovidius” Constanţa Ser. Mat., 18:2 (2010), 217–222
  17. Ф. Г. Авхадиев, Л. А. Аксентьев, “Основные результаты в достаточных условиях однолистности аналитических функций”, УМН, 30:4(184) (1975), 3–60
  18. Chr. Pommerenke, Univalent functions, Studia Mathematica/Mathematische Lehrbücher, 25, Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen, 1975, 376 pp.
  19. P. L. Duren, Univalent functions, Grundlehren Math. Wiss., 259, Springer-Verlag, New York, 1983, xiv+382 pp.
  20. E. Landau, “Der Picard–Schottkysche Satz und die Blochsche Konstante”, Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss., Phys.-Math. Kl., 1926 (1926), 467–474
  21. Ж. Валирон, Аналитические функции, ГИТТЛ, М., 1957, 236 с.
  22. Ch. Pommerenke, “On the iteration of analytic functions in a halfplane. I”, J. London Math. Soc. (2), 19:3 (1979), 439–447
  23. J. Becker, Ch. Pommerenke, “Angular derivatives for holomorphic self-maps of the disk”, Comput. Methods Funct. Theory, 17:3 (2017), 487–497
  24. О. С. Кудрявцева, А. П. Солодов, “Двусторонние оценки областей однолистности классов голоморфных отображений круга в себя с двумя неподвижными точками”, Матем. сб., 210:7 (2019), 120–144
  25. В. В. Горяйнов, “Голоморфные отображения единичного круга в себя с двумя неподвижными точками”, Матем. сб., 208:3 (2017), 54–71
  26. В. В. Горяйнов, “Голоморфные отображения полосы в себя с ограниченным искажением на бесконечности”, Комплексный анализ и его приложения, Сборник статей. К 100-летию со дня рождения Бориса Владимировича Шабата, 85-летию со дня рождения Анатолия Георгиевича Витушкина и 85-летию со дня рождения Андрея Александровича Гончара, Труды МИАН, 298, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2017, 101–111
  27. О. С. Кудрявцева, А. П. Солодов, “Двусторонняя оценка областей однолистности голоморфных отображений круга в себя с инвариантным диаметром”, Изв. вузов. Матем., 2019, № 7, 91–95
  28. О. С. Кудрявцева, А. П. Солодов, “Асимптотически точная двусторонняя оценка областей однолистности голоморфных отображений круга в себя с инвариантным диаметром”, Матем. сб., 211:11 (2020), 96–117
  29. А. П. Солодов, “Усиление теоремы Ландау для голоморфных отображений круга в себя с неподвижными точками”, Матем. заметки, 108:4 (2020), 638–640
  30. L. V. Ahlfors, Conformal invariants: topics in geometric function theory, McGraw-Hill Series in Higher Math., McGraw-Hill Book Co., New York–Düsseldorf–Johannesburg, 1973, ix+157 pp.
  31. C. Caratheodory, “Über die Winkelderivierten von beschränkten analytischen Funktionen”, Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss., Phys.-Math. Kl., 1929 (1929), 39–54
  32. E. Landau, G. Valiron, “A deduction from Schwarz's lemma”, J. London Math. Soc., 4:3 (1929), 162–163
  33. В. В. Горяйнов, “Полугруппы аналитических функций в анализе и приложениях”, УМН, 67:6(408) (2012), 5–52

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2021 Солодов А.P.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».