New approaches to $\mathfrak{gl}_N$ weight system

Обложка

Цитировать

Полный текст

Открытый доступ Открытый доступ
Доступ закрыт Доступ предоставлен
Доступ закрыт Только для подписчиков

Аннотация

The present paper has been motivated by an aspiration for understanding the weight system corresponding to the Lie algebra $\mathfrak{gl}_N$. The straightforward approach to computing the values of a Lie algebra weight system on a general chord diagram amounts to elaborating calculations in the non-commutative universal enveloping algebra, in spite of the fact that the result belongs to the centre of the latter. The first approach is based on M. Kazarian's proposal to define an invariant of permutations taking values in the centre of the universal enveloping algebra of $\mathfrak{gl}_N$. The restriction of this invariant to involutions without fixed points (such an involution determines a chord diagram) coincides with the value of the $\mathfrak{gl}_N$ weight system on this chord diagram. We describe the recursion allowing one to compute the $\mathfrak{gl}_N$ invariant of permutations and demonstrate how it works in a number of examples. The second approach is based on the Harish-Chandra isomorphism for the Lie algebras $\mathfrak{gl}_N$. This isomorphism identifies the centre of the universal enveloping algebra $\mathfrak{gl}_N$ with the ring $\Lambda^*(N)$ of shifted symmetric polynomials in $N$ variables. The Harish-Chandra projection can be applied separately for each monomial in the defining polynomial of the weight system; as a result, the main body of computations can be done in a commutative algebra, rather than non-commutative one.Bibliography: 18 titles.

Об авторах

Чжокэ Ян

Международная лаборатория кластерной геометрии, Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»

Автор, ответственный за переписку.
Email: izv@mi-ras.ru

без ученой степени, без звания

Список литературы

  1. S. V. Chmutov, A. N. Varchenko, “Remarks on the Vassiliev knot invariants coming from $sl_2$”, Topology, 36:1 (1997), 153–178
  2. П. А. Филиппова, “Значения весовой системы, отвечающей алгебре Ли $mathfrak{sl}_2$, на полных двудольных графах”, Функц. анализ и его прил., 54:3 (2020), 73–93
  3. П. А. Филиппова, “Значения $mathfrak{sl}_2$-весовой системы на семействе графов, не являющихся графами пересечений хордовых диаграмм”, Матем. сб., 213:2 (2022), 115–148
  4. П. Е. Закорко, “Значения $mathfrak{sl}_2$-весовой системы на хордовых диаграммах с полным графом пересечений”, Матем. сб., 214:7 (2023), 42–59
  5. Zhuoke Yang, On values of $mathfrak{sl}_3$ weight system on chord diagrams whose intersection graph is complete bipartite
  6. J. M. Figueroa-O'Farrill, T. Kimura, A. Vaintrob, “The universal Vassiliev invariant for the Lie superalgebra ${gl}(1|1)$”, Comm. Math. Phys., 185:1 (1997), 93–127
  7. S. V. Chmutov, S. K. Lando, “Mutant knots and intersection graphs”, Algebr. Geom. Topol., 7:3 (2007), 1579–1598
  8. S. Chmutov, S. Duzhin, “A lower bound for the number of Vassiliev knot invariants”, Topology Appl., 92:3 (1999), 201–223
  9. O. T. Dasbach, “On the combinatorial structure of primitive Vassiliev invariants. III. A lower bound”, Commun. Contemp. Math., 2:4 (2000), 579–590
  10. S. Chmutov, S. Duzhin, J. Mostovoy, Introduction to Vassiliev knot invariants, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2012, xvi+504 pp.
  11. М. Э. Казарян, С. К. Ландо, “Весовые системы и инварианты графов и вложенных графов”, УМН, 77:5(467) (2022), 131–184
  12. Zhuoke Yang, “On the Lie superalgebra $mathfrak{gl}(m|n)$ weight system”, J. Geom. Phys., 187 (2023), 104808, 11 pp.
  13. M. Kontsevich, “Vassiliev's knot invariants”, I. M. Gel'fand seminar, Part 2, Adv. Soviet Math., 16, Part 2, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1993, 137–150
  14. D. Bar-Natan, “On the Vassiliev knot invariants”, Topology, 34:2 (1995), 423–472
  15. Д. П. Желобенко, Компактные группы Ли и их представления, Наука, М., 1970, 664 с.
  16. А. Окуньков, Г. Ольшанский, “Сдвинутые функции Шура”, Алгебра и анализ, 9:2 (1997), 73–146
  17. А. М. Переломов, В. С. Попов, “Операторы Казимира для полупростых групп Ли”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 32:6 (1968), 1368–1390
  18. G. I. Olshanskii, “Representations of infinite-dimensional classical groups, limits of enveloping algebras, and Yangians”, Topics in representation theory, Adv. Soviet Math., 2, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1991, 1–66
  19. S. K. Lando, “On a Hopf algebra in graph theory”, J. Combin. Theory Ser. B, 80:1 (2000), 104–121
  20. W. R. Schmitt, “Incidence Hopf algebras”, J. Pure Appl. Algebra, 96:3 (1994), 299–330

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML

© Ян Ч., 2023

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».