New approaches to $\mathfrak{gl}_N$ weight system
- Авторы: Ян Ч.1
-
Учреждения:
- Международная лаборатория кластерной геометрии, Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
- Выпуск: Том 87, № 6 (2023)
- Страницы: 150-166
- Раздел: Статьи
- URL: https://ogarev-online.ru/1607-0046/article/view/147919
- DOI: https://doi.org/10.4213/im9379
- ID: 147919
Цитировать
Аннотация
The present paper has been motivated by an aspiration for understanding the weight system corresponding to the Lie algebra $\mathfrak{gl}_N$. The straightforward approach to computing the values of a Lie algebra weight system on a general chord diagram amounts to elaborating calculations in the non-commutative universal enveloping algebra, in spite of the fact that the result belongs to the centre of the latter. The first approach is based on M. Kazarian's proposal to define an invariant of permutations taking values in the centre of the universal enveloping algebra of $\mathfrak{gl}_N$. The restriction of this invariant to involutions without fixed points (such an involution determines a chord diagram) coincides with the value of the $\mathfrak{gl}_N$ weight system on this chord diagram. We describe the recursion allowing one to compute the $\mathfrak{gl}_N$ invariant of permutations and demonstrate how it works in a number of examples. The second approach is based on the Harish-Chandra isomorphism for the Lie algebras $\mathfrak{gl}_N$. This isomorphism identifies the centre of the universal enveloping algebra $\mathfrak{gl}_N$ with the ring $\Lambda^*(N)$ of shifted symmetric polynomials in $N$ variables. The Harish-Chandra projection can be applied separately for each monomial in the defining polynomial of the weight system; as a result, the main body of computations can be done in a commutative algebra, rather than non-commutative one.Bibliography: 18 titles.
Ключевые слова
Об авторах
Чжокэ Ян
Международная лаборатория кластерной геометрии, Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Автор, ответственный за переписку.
Email: izv@mi-ras.ru
без ученой степени, без звания
Список литературы
- S. V. Chmutov, A. N. Varchenko, “Remarks on the Vassiliev knot invariants coming from $sl_2$”, Topology, 36:1 (1997), 153–178
- П. А. Филиппова, “Значения весовой системы, отвечающей алгебре Ли $mathfrak{sl}_2$, на полных двудольных графах”, Функц. анализ и его прил., 54:3 (2020), 73–93
- П. А. Филиппова, “Значения $mathfrak{sl}_2$-весовой системы на семействе графов, не являющихся графами пересечений хордовых диаграмм”, Матем. сб., 213:2 (2022), 115–148
- П. Е. Закорко, “Значения $mathfrak{sl}_2$-весовой системы на хордовых диаграммах с полным графом пересечений”, Матем. сб., 214:7 (2023), 42–59
- Zhuoke Yang, On values of $mathfrak{sl}_3$ weight system on chord diagrams whose intersection graph is complete bipartite
- J. M. Figueroa-O'Farrill, T. Kimura, A. Vaintrob, “The universal Vassiliev invariant for the Lie superalgebra ${gl}(1|1)$”, Comm. Math. Phys., 185:1 (1997), 93–127
- S. V. Chmutov, S. K. Lando, “Mutant knots and intersection graphs”, Algebr. Geom. Topol., 7:3 (2007), 1579–1598
- S. Chmutov, S. Duzhin, “A lower bound for the number of Vassiliev knot invariants”, Topology Appl., 92:3 (1999), 201–223
- O. T. Dasbach, “On the combinatorial structure of primitive Vassiliev invariants. III. A lower bound”, Commun. Contemp. Math., 2:4 (2000), 579–590
- S. Chmutov, S. Duzhin, J. Mostovoy, Introduction to Vassiliev knot invariants, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2012, xvi+504 pp.
- М. Э. Казарян, С. К. Ландо, “Весовые системы и инварианты графов и вложенных графов”, УМН, 77:5(467) (2022), 131–184
- Zhuoke Yang, “On the Lie superalgebra $mathfrak{gl}(m|n)$ weight system”, J. Geom. Phys., 187 (2023), 104808, 11 pp.
- M. Kontsevich, “Vassiliev's knot invariants”, I. M. Gel'fand seminar, Part 2, Adv. Soviet Math., 16, Part 2, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1993, 137–150
- D. Bar-Natan, “On the Vassiliev knot invariants”, Topology, 34:2 (1995), 423–472
- Д. П. Желобенко, Компактные группы Ли и их представления, Наука, М., 1970, 664 с.
- А. Окуньков, Г. Ольшанский, “Сдвинутые функции Шура”, Алгебра и анализ, 9:2 (1997), 73–146
- А. М. Переломов, В. С. Попов, “Операторы Казимира для полупростых групп Ли”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 32:6 (1968), 1368–1390
- G. I. Olshanskii, “Representations of infinite-dimensional classical groups, limits of enveloping algebras, and Yangians”, Topics in representation theory, Adv. Soviet Math., 2, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1991, 1–66
- S. K. Lando, “On a Hopf algebra in graph theory”, J. Combin. Theory Ser. B, 80:1 (2000), 104–121
- W. R. Schmitt, “Incidence Hopf algebras”, J. Pure Appl. Algebra, 96:3 (1994), 299–330
Дополнительные файлы
