Homogenization of Kirchhoff plates with oscillating edges and point supports

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

We study deformations of a long (narrow after rescaling) Kirchhoff plate with periodic (rapidly oscillating) boundary.We deduce a limiting system of two ordinary differential equations of orders 4 and 2 which describe the deflection andtorsion of a two-dimensional plate in the leading order. We also consider point supports (Sobolev conditions) whoseconfiguration influences the result of homogenizing the biharmonic equation by decreasing the size of the limitingsystem of differential equations or completely eliminating it. The boundary-layer phenomenon near the endfaces of the plate is studied for various ways of fastening as well as for angular junctions of two long plates, possibly bypoint clamps (Sobolev conjugation conditions). We discuss full asymptotic series for solutions of static problems andthe spectral problems of plate oscillations.

About the authors

Sergei Aleksandrovich Nazarov

St. Petersburg State University, Mathematics and Mechanics Faculty; Institute of Problems of Mechanical Engineering, Russian Academy of Sciences

Email: srgnazarov@yahoo.co.uk
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

References

  1. С. Л. Соболев, Некоторые применения функционального анализа в математической физике, 3-е изд., Наука, М., 1988, 334 с.
  2. М. Ш. Бирман, “O вариационном методе Треффца для уравнения $Delta^2u=f$”, Докл. АН СССР, 101:2 (1955), 201–204
  3. С. Г. Михлин, Вариационные методы в математической физике, 2-е изд., испр. и доп., Наука, М., 1970, 512 с.
  4. Дж. Буттаццо, С. А. Назаров, “Задача оптимизации для бигармонического уравнения с условиями Соболева”, Проблемы матем. анализа, 58, Новосибирск, 2011, 69–77
  5. G. Buttazzo, G. Cardone, S. A. Nazarov, “Thin elastic plates supported over small areas. II. Variational-asymptotic models”, J. Convex Anal., 24:3 (2017), 819–855
  6. С. А. Назаров, “Общая схема осреднения самосопряженных эллиптических систем в многомерных областях, в том числе тонких”, Алгебра и анализ, 7:5 (1995), 1–92
  7. C. А. Назаров, “Полиномиальное свойство самосопряженных эллиптических краевых задач и алгебраическое описание их атрибутов”, УМН, 54:5(329) (1999), 77–142
  8. С. А. Назаров, “Самосопряженные эллиптические краевые задачи. Полиномиальное свойство и формально положительные операторы”, Проблемы матем. анализа, 16, Изд-во СПбГУ, СПб., 1997, 167–192
  9. С. А. Назаров, “Несамосопряженные эллиптические задачи с полиномиальным свойством в областях, имеющих цилиндрические выходы на бесконечность”, Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций. 29, Зап. науч. сем. ПОМИ, 249, ПОМИ, СПб., 1997, 212–230
  10. С. А. Назаров, “Асимптотика собственных колебаний длинной двумерной пластины Кирхгофа с переменным сечением”, Матем. сб., 209:9 (2018), 35–86
  11. F. Gazzola, Mathematical models for suspension bridges. Nonlinear structural instability, MS& A. Model. Simul. Appl., 15, Springer, Cham, 2015, xxii+259 pp.
  12. W. G. Mazja, S. A. Nasarow, B. A. Plamenewski, Asymptotische Theorie elliptischer Randwertaufgaben in singulär gestörten Gebieten, v. 1, 2, Math. Lehrbucher und Monogr., 82, 83, Akademie-Verlag, Berlin, 1991, 432 pp., 319 pp.
  13. С. А. Назаров, Асимптотическая теория тонких пластин и стержней. Понижение размерности и интегральные оценки, Науч. кн., Новосибирск, 2002, 406 с.
  14. D. Morgenstern, “Herleitung der Plattentheorie aus der dreidimensionalen Elastizitätstheorie”, Arch. Rational Mech. Anal., 4 (1959), 145–152
  15. Б. А. Шойхет, “Об асимптотически точных уравнениях тонких плит сложной структуры”, ПММ, 37:5 (1973), 914–924
  16. P. G. Ciarlet, Plates and junctions in elastic multi-structures. An asymptotic analysis, Rech. Math. Appl., 14, Masson, Paris; Springer-Verlag, Berlin, 1990, viii+215 pp.
  17. J. Sanchez-Hubert, E. Sanchez-Palencia, Coques elastiques minces. Proprietes asymptotiques, Rech. Math. Appl., Masson, Paris, 1997, xix+376 pp.
  18. Е. А. Акимова, С. А. Назаров, Г. А. Чечкин, “Асимптотика решения задачи о деформации произвольной локально периодической тонкой пластины”, Тр. ММО, 65, УРСС, М., 2004, 3–34
  19. Дж. Кардоне, А. Корбо Эспозито, С. А. Назаров, “Осреднение смешанной краевой задачи для формально самосопряжeнной эллиптической системы в периодически перфорированной области”, Алгебра и анализ, 21:4 (2009), 126–173
  20. В. А. Кондратьев, “Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками”, Тр. ММО, 16, Изд-во Моск. ун-та, М., 1967, 209–292
  21. С. А. Назаров, Б. А. Пламеневский, Эллиптические задачи в областях с кусочно гладкой границей, Наука, М., 1991, 336 с.
  22. V. A. Kozlov, V. G. Maz'ya, J. Rossmann, Elliptic boundary value problems in domains with point singularities, Math. Surveys Monogr., 52, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1997, x+414 pp.
  23. A. Pazy, “Asymptotic expansions of solutions of ordinary differential equations in Hilbert space”, Arch. Rational Mech. Anal., 24 (1967), 193–218
  24. M. L. Williams, “Stress singularities resulting from various boundary conditions in angular corners of plate in extension”, J. Appl. Mech., 19:2 (1952), 526–528
  25. В. З. Партон, П. И. Перлин, Методы математической теории упругости, Наука, М., 1981, 688 с.
  26. C. А. Назаров, “Асимптотический анализ произвольно анизотропной пластины переменной толщины (пологой оболочки)”, Матем. сб., 191:7 (2000), 129–159
  27. С. А. Назаров, “Структура решений эллиптических краевых задач в тонких областях”, Вестн. ЛГУ. Сер. 1. Матем., мех., астроном., 1982, № 7(2), 65–68
  28. И. С. Зорин, С. А. Назаров, “Краевой эффект при изгибе тонкой трехмерной пластины”, ПММ, 53:4 (1989), 642–650
  29. M. Dauge, I. Djurdjevic, A. Rössle, “Full asymptotic expansions for thin elastic free plates”, C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math., 326:10 (1998), 1243–1248
  30. M. Dauge, I. Gruais, A. Rössle, “The influence of lateral boundary conditions on the asymptotics in thin elastic plates”, SIAM J. Math. Anal., 31:2 (1999), 305–345
  31. G. Panasenko, Multi-scale modelling for structures and composites, Springer, Dordrecht, 2005, xiv+398 pp.
  32. C. А. Назаров, “Эллиптические краевые задачи с периодическими коэффициентами в цилиндре”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 45:1 (1981), 101–112
  33. П. А. Кучмент, “Теория Флоке для дифференциальных уравнений в частных производных”, УМН, 37:4(226) (1982), 3–52
  34. C. А. Назаров, “О коэффициентах в асимптотике решений эллиптических краевых задач с периодическими коэффициентами”, Вестн. ЛГУ. Сер. 1. Матем., мех., астроном., 1985, № 15(3), 16–22
  35. С. А. Назаров, “Обоснование асимптотической теории тонких стержней. Интегральные и поточечные оценки”, Проблемы матем. анализа, 17, Изд-во СПбГУ, СПб., 1997, 101–152
  36. С. А. Назаров, “Оценки вторых производных собственных векторов для тонких анизотропных пластин с переменой толщиной”, Математические вопросы теории распространения волн. 33, Зап. науч. сем. ПОМИ, 308, ПОМИ, СПб., 2004, 161–181
  37. С. А. Назаров, “Асимптотика прогиба крестообразного сочленения двух узких пластин Кирхгофа”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 58:7 (2018), 1197–1218
  38. М. Ван Дайк, Методы возмущений в механике жидкостей, Мир, М., 1967, 310 с.
  39. А. М. Ильин, Согласование асимптотических разложений решений краевых задач, Наука, М., 1989, 336 с.
  40. М. И. Вишик, Л. А. Люстерник, “Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром”, УМН, 12:5(77) (1957), 3–122
  41. A. Gaudiello, G. Panasenko, A. Piatnitski, “Asymptotic analysis and domain decomposition for a biharmonic problem in a thin multi-structure”, Commun. Contemp. Math., 18:5 (2016), 1550057, 27 pp.
  42. Ж.-Л. Лионс, Э. Мадженес, Неоднородные граничные задачи и их приложения, Мир, М., 1971, 371 с.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2020 Назаров С.A.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».