On the standard conjecture for projective compactifications of Neron models of $3$-dimensionalAbelian varieties
- Autores: Tankeev S.G.1
-
Afiliações:
- Vladimir State University
- Edição: Volume 85, Nº 1 (2021)
- Páginas: 154-186
- Seção: Articles
- URL: https://ogarev-online.ru/1607-0046/article/view/142284
- DOI: https://doi.org/10.4213/im9005
- ID: 142284
Citar
Acesso aberto
Acesso está concedido
Somente assinantes
Resumo
We prove that the Grothendieck standard conjecture of Lefschetz type holdsfor a smooth complex projective $4$-dimensional variety $X$fibred by Abelian varieties (possibly, with degeneracies)over a smooth projective curve if the endomorphism ring $\operatorname{End}_{\overline{\kappa(\eta)}} (X_\eta\otimes_{\kappa(\eta)}\overline{\kappa(\eta)})$ of the genericgeometric fibre is not an orderof an imaginary quadratic field. This conditionholds automatically in the cases when the reduction of the generic scheme fibre $X_\eta$ at someplace of the curve is semistable in the sense of Grothendieck and hasodd toric rank or the generic geometric fibre is not a simple Abelian variety.
Palavras-chave
Sobre autores
Sergey Tankeev
Vladimir State University
Email: tankeev@vlsu.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor
Bibliografia
- A. Grothendieck, “Standard conjectures on algebraic cycles”, Algebraic geometry, Internat. colloq. (Tata Inst. Fund. Res., Bombay, 1968), Oxford Univ. Press, London, 1969, 193–199
- S. L. Kleiman, “Algebraic cycles and the Weil conjectures”, Dix exposes sur la cohomologie des schemas, Adv. Stud. Pure Math., 3, North-Holland, Amsterdam, 1968, 359–386
- С. Г. Танкеев, “О стандартной гипотезе для комплексных абелевых схем над гладкими проективными кривыми”, Изв. РАН. Сер. матем., 67:3 (2003), 183–224
- С. Г. Танкеев, “О численной эквивалентности алгебраических циклов на потенциально простых абелевых схемах простой относительной размерности”, Изв. РАН. Сер. матем., 69:1 (2005), 145–164
- С. Г. Танкеев, “Моноидальные преобразования и гипотезы об алгебраических циклах”, Изв. РАН. Сер. матем., 71:3 (2007), 197–224
- D. I. Lieberman, “Numerical and homological equivalence of algebraic cycles on Hodge manifolds”, Amer. J. Math., 90:2 (1968), 366–374
- С. Г. Танкеев, “О стандартной гипотезе типа Лефшеца для комплексных проективных трехмерных многообразий. II”, Изв. РАН. Сер. матем., 75:5 (2011), 177–194
- D. Arapura, “Motivation for Hodge cycles”, Adv. Math., 207:2 (2006), 762–781
- F. Charles, E. Markman, “The standard conjectures for holomorphic symplectic varieties deformation equivalent to Hilbert schemes of $K3$ surfaces”, Compos. Math., 149:3 (2013), 481–494
- О. В. Никольская, “Об алгебраических циклах на расслоенном произведении семейств $K3$-поверхностей”, Изв. РАН. Сер. матем., 77:1 (2013), 145–164
- О. В. Никольская, “Об алгебраических циклах на расслоенных произведениях неизотривиальных семейств регулярных поверхностей с геометрическим родом 1”, Модел. и анализ информ. систем, 23:4 (2016), 440–465
- С. Г. Танкеев, “О стандартной гипотезе и существовании разложения Чжоу–Лефшеца для комплексных проективных многообразий”, Изв. РАН. Сер. матем., 79:1 (2015), 185–216
- С. Г. Танкеев, “Об индуктивном подходе к стандартной гипотезе для расслоенного комплексного многообразия с сильными полустабильными вырождениями”, Изв. РАН. Сер. матем., 81:6 (2017), 199–231
- С. Г. Танкеев, “О стандартной гипотезе для расслоенного произведения трех эллиптических поверхностей с попарно непересекающимися дискриминантными локусами”, Изв. РАН. Сер. матем., 83:3 (2019), 213–256
- С. Г. Танкеев, “О стандартной гипотезе для расслоенного на кривые $3$-мерного многообразия с неинъективным отображением Кодаиры–Спенсера”, Изв. РАН. Сер. матем., 84:5 (2020), 211–232
- A. Grothendieck, “Modèles de Neron et monodromie”, Groupes de monodromie en geometrie algebrique, Seminaire de geometrie algebrique du Bois-Marie 1967–1969 (SGA 7 I), Lecture Notes in Math., 288, Springer-Verlag, Berlin–New York, 1972, Exp. No. IX, 313–523
- K. Künnemann, “Height pairings for algebraic cycles on abelian varieties”, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. (4), 34:4 (2001), 503–523
- K. Künnemann, “Projective regular models for abelian varieties, semistable reduction, and the height pairing”, Duke Math. J., 95:1 (1998), 161–212
- П. Делинь, “Теория Ходжа. II”, Математика. Сб. пер., 17, № 5, Мир, М., 1973, 3–56
- B. B. Gordon, “A survey of the Hodge conjecture for Abelian varieties”, Appendix in:: J. D. Lewis, A survey of the Hodge conjecture, CRM Monogr. Ser., 10, 2nd ed., Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1999, 297–356
- Н. Бурбаки, Группы и алгебры Ли, гл. 1–3, Элементы математики, Мир, М., 1976, 496 с.
- Н. Бурбаки, Алгебра: модули, кольца, формы, Наука, М., 1966, 555 с.
- P. Deligne, “Theorie de Hodge. III”, Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math., 44 (1974), 5–77
- S. Zucker, “Hodge theory with degenerating coefficients: $L_2$ cohomology in the Poincare metric”, Ann. of Math. (2), 109:3 (1979), 415–476
- C. H. Clemens, “Degeneration of Kähler manifolds”, Duke Math. J., 44:2 (1977), 215–290
- Ю. Г. Зархин, “Веса простых алгебр Ли в когомологиях алгебраических многообразий”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 48:2 (1984), 264–304
- D. Mumford, “A note on Shimura's paper “Discontinuous groups and Abelian varieties””, Math. Ann., 181:4 (1969), 345–351
- B. J. J. Moonen, Yu. G. Zarhin, “Hodge classes on abelian varieties of low dimension”, Math. Ann., 315:4 (1999), 711–733
- O. V. Oreshkina, On the Hodge group and invariant cycles of a simple Abelian variety with a stable reduction of odd toric rank, 2018
- Р. Годеман, Алгебраическая топология и теория пучков, ИЛ, М., 1961, 319 с.
- Э. Спеньер, Алгебраическая топология, Мир, М., 1971, 680 с.
- Вик. С. Куликов, П. Ф. Курчанов, “Комплексные алгебраические многообразия: периоды интегралов, структуры Ходжа”, Алгебраическая геометрия – 3, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 36, ВИНИТИ, М., 1989, 5–231
- Дж. Милн, Этальные когомологии, Мир, М., 1983, 392 с.
- C. Voisin, Hodge theory and complex algebraic geometry, Transl. from the French, v. I, Cambridge Stud. Adv. Math., 76, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2002, x+322 pp.
- S. Lang, Abelian varieties, Reprint of the 1959 original, v. I, II, Springer-Verlag, New York–Berlin, 1983, xii+256 pp.
- Ф. Гриффитс, Дж. Харрис, Принципы алгебраической геометрии, Мир, М., 1982, 864 с.
- J. D. Lewis, A survey of the Hodge conjecture, CRM Monogr. Ser., 10, 2nd ed., Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1999, xvi+368 pp.
- D. Abramovich, K. Karu, K. Matsuki, J. Wlodarczyk, “Torification and factorization of birational maps”, J. Amer. Math. Soc., 15:3 (2002), 531–572
- Н. Бурбаки, Алгебра. Гл. X. Гомологическая алгебра, Элементы математики, Наука, М., 1987, 183 с.
- W. Fulton, Equivariant cohomology in algebraic geometry. Appendix A. Algebraic topology, Eilenberg lectures, notes by D. Anderson (Columbia Univ., 2007), 2007, 13 pp.
- Bong H. Lian, A. Todorov, Shing-Tung Yau, “Maximal unipotent monodromy for complete intersection CY manifolds”, Amer. J. Math., 127:1 (2005), 1–50
- Д. Мамфорд, Лекции о кривых на алгебраической поверхности, Мир, М., 1968, 236 с.
- Ю. И. Манин, Кубические формы, Наука, М., 1972, 304 с.
Arquivos suplementares
