On improved bounds and conditions for the convergence of Markov chains

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

We continue the work of improving the rate of convergence of ergodic homogeneousMarkov chains. The setting is more general than in previous papers: we are able to get ridof the assumption about a common dominating measure and consider the case of inhomogeneousMarkov chains as well as more general state spaces. We give examples where the new boundfor the rate of convergence is the same as (resp. better than) the classical Markov–Dobrushininequality.

About the authors

Alexander Yurevich Veretennikov

Institute for Information Transmission Problems of the Russian Academy of Sciences (Kharkevich Institute); HSE University

Email: ayv@iitp.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

Mariya Aleksandrovna Veretennikova

University of Warwick, Mathematics Institute

References

  1. Б. В. Гнеденко, Курс теории вероятностей, 10-е изд., доп., Либроком, М., 2011, 488 с.
  2. А. Н. Колмогоров, “Об аналитических методах в теории вероятностей”, УМН, 1938, № 5, 5–41
  3. A. Veretennikov, “Ergodic Markov processes and Poisson equations (lecture notes)”, Modern problems of stochastic analysis and statistics, Selected contributions in honor of V. Konakov's 70th birthday (Moscow, 2016), Springer Proc. Math. Stat., 208, Springer, Cham, 2017, 457–511
  4. W. Doeblin, “Expose de la theorie des chaînes simples constantes de Markoff à un nombre fini d'etats”, Rev. Math. Union Interbalkan., 2 (1938), 77–105
  5. Дж. Л. Дуб, Вероятностные процессы, ИЛ, M., 1956, 605 с.
  6. А. А. Марков, “Распространение закона больших чисел на величины, зависящие друг от друга”, Изв. физ.-матем. о-ва при Казан. ун-те. Сер. 2, 15:4 (1906), 135–156
  7. А. А. Марков, “Распространение закона больших чисел на величины, зависящие друг от друга”, Избранные труды по теории чисел и теории вероятностей, Изд-во АН СССР, Л., 1951, 339–362
  8. E. Seneta, Non-negative matrices and Markov chains, Springer Ser. Statist., 2nd ed., Springer-Verlag, New York, 1981, xiii+279 pp.
  9. E. Seneta, “Markov and the creation of Markov chains”, MAM 2006: Markov anniversary meeting, Boson Books, Raleigh, NC, 2006, 1–20
  10. Ф. Р. Гантмахер, Теория матриц, 5-е изд., Физматлит, М., 2004, 560 с.
  11. P. Diaconis, D. Stroock, “Geometric bounds for eigenvalues of Markov chains”, Ann. Appl. Probab., 1:1 (1991), 36–61
  12. O. A. Butkovsky, A. Yu. Veretennikov, “On asymptotics for Vaserstein coupling of Markov chains”, Stochastic Process. Appl., 123:9 (2013)
  13. D. Griffeath, “A maximal coupling for Markov chains”, Z. Wahrscheinlichkeitstheorie und Verw. Gebiete, 31 (1975), 95–106
  14. T. Lindvall, Lectures on the coupling method, Corr. reprint of the 1992 ed., Dover Publications, Inc., Mineola, NY, 2002, xiv+257 pp.
  15. H. Thorisson, Coupling, stationarity, and regeneration, Probab. Appl. (N. Y.), Springer-Verlag, New York, 2000, xiv+517 pp.
  16. Л. Н. Васерштейн, “Марковские процессы на счетном произведении пространства, описывающие большие системы автоматов”, Пробл. передачи информ., 5:3 (1969), 64–72
  17. А. Ю. Веретенников, М. А. Веретенникова, “О скорости сходимости для однородных цепей Маркова”, Докл. РАН. Мат. информ. проц. упр., 490:1 (2020), 16–19
  18. Е. Б. Дынкин, Марковские процессы, Физматгиз, М., 1963, 859 с.
  19. Р. Л. Добрушин, “Центральная предельная теорема для неоднородных цепей Маркова. I”, Теория вероятн. и ее примен., 1:1 (1956), 72–89
  20. В. В. Калашников, “Метод склеивания, его развитие и применения”, Общие неприводимые цепи Маркова и неотрицательные операторы, Мир, М., 1989, 176–190
  21. Э. Нуммелин, Общие неприводимые цепи Маркова и неотрицательные операторы, Мир, М., 1989, 208 с.
  22. М. А. Красносельский, Е. А. Лифшиц, А. В. Соболев, Позитивные линейные системы. Метод положительных операторов, Наука, M., 1985, 256 с.
  23. А. Д. Вентцель, М. И. Фрейдлин, Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений, Наука, M., 1979, 424 с.
  24. В. С. Козякин, “О вычислительных аспектах теории совместного спектрального радиуса”, Докл. РАН, 427:2 (2009), 160–164
  25. S. Karlin, H. M. Taylor, A first course in stochastic processes, 2nd ed., Academic Press, New York–London, 1975, xvii+557 pp.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2022 Веретенников А.Y., Веретенникова М.A.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».