Uniqueness sets of positive measure for the trigonometric system

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

There exists a family $\mathcal{B}$ of one-to-one mappings $B \colon \mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ satisfying the condition $B(-n) \equiv -B(n)$ such that for each $B \in \mathcal{B}$ there exists a perfect uniqueness set of positive measure for the $B$-rearranged trigonometric system$\{\exp(iB(n)x)\}$. For a certain wider class of rearrangements of thetrigonometric system, the strengthened assertion holds from the Stechkin–Ul'yanovconjecture.

About the authors

Mikhail Gennadevich Plotnikov

Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics; Moscow Center for Fundamental and Applied Mathematics

Email: mgplotnikov@gmail.com
Doctor of physico-mathematical sciences, no status

References

  1. Г. Кантор, Труды по теории множеств, пер. с нем., Классики науки, Наука, М., 1985, 431 с.
  2. A. S. Kechris, A. Louveau, Descriptive set theory and the structure of sets of uniqueness, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 128, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1987, viii+367 pp.
  3. R. Cooke, “Uniqueness of trigonometric series and descriptive set theory, 1870–1985”, Arch. Hist. Exact Sci., 45:4 (1993), 281–334
  4. А. Зигмунд, Тригонометрические ряды, т. I, Мир, М., 1965, 615 с.
  5. Н. К. Бари, Тригонометрические ряды, Физматгиз, М., 1961, 936 с.
  6. Н. Н. Холщевникова, “К теореме Валле-Пуссена о единственности представления функции тригонометрическим рядом”, Матем. сб., 187:5 (1996), 143–160
  7. J.-P. Kahane, Y. Katznelson, “Sur les ensembles d'unicite $U(varepsilon)$ de Zygmund”, C. R. Acad. Sci. Paris Ser. A-B, 277 (1973), A893–A895
  8. М. Г. Плотников, “Задачи восстановления интегрируемых функций и тригонометрических рядов”, Матем. сб., 212:6 (2021), 109–125
  9. С. Б. Стечкин, П. Л. Ульянов, “О множествах единственности”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 26:2 (1962), 211–222
  10. J. E. Coury, “Some results on lacunary Walsh series”, Pacific J. Math., 45:2 (1973), 419–425
  11. С. Ф. Лукомский, “Необходимые условия для множеств единственности рядов Уолша с лакунами”, Матем. сб., 133(175):4(8) (1987), 469–480
  12. С. В. Асташкин, Р. С. Суханов, “О некоторых свойствах хаоса Радемахера”, Матем. заметки, 91:5 (2012), 654–666
  13. M. Plotnikov, “On the Vilenkin–Chrestenson systems and their rearrangements”, J. Math. Anal. Appl., 492:1 (2020), 124391, 13 pp.
  14. G. Kozma, A. M. Olevskiĭ, “Cantor uniqueness and multiplicity along subsequences”, Алгебра и анализ, 32:2 (2021), 85–106
  15. П. Л. Ульянов, “Решенные и нерешенные проблемы теории тригонометрических и ортогональных рядов”, УМН, 19:1(115) (1964), 3–69
  16. Г. Г. Геворкян, “Теоремы единственности для простых тригонометрических рядов и их применение к кратным рядам”, Матем. сб., 212:12 (2021), 20–39
  17. N. Kholshchevnikova, V. Skvortsov, “On $U$- and $M$-sets for series with respect to characters of compact zero-dimensional groups”, J. Math. Anal. Appl., 446:1 (2017), 383–394
  18. N. Kholshchevnikova, “The union problem and the category problem of sets of uniqueness in the theory of orthogonal series”, Real Anal. Exchange, 44:1 (2019), 65–76
  19. С. Ф. Лукомский, “О множествах единственности кратных рядов Уолша для сходимости по кубам”, Матем. заметки, 109:3 (2021), 397–406
  20. Г. Г. Геворкян, “Теоремы единственности для одномерных и двойных рядов Франклина”, Изв. РАН. Сер. матем., 84:5 (2020), 3–19
  21. Г. Г. Геворкян, Л. А. Акопян, “Теоремы единственности кратных рядов Франклина, сходящихся по прямоугольникам”, Матем. заметки, 109:2 (2021), 206–218
  22. Г. Г. Геворкян, “Теоремы единственности рядов Франклина, сходящихся к интегрируемым функциям”, Матем. сб., 209:6 (2018), 25–46
  23. V. Skvortsov, “Recovering Banach-valued coefficients of series with respect to characters of zero-dimensional groups”, Ann. Univ. Sci. Budapest. Sect. Comput., 49 (2019), 379–397
  24. M. Plotnikov, “$mathcal V$-sets in the products of zero-dimensional compact abelian groups”, Eur. J. Math., 5:1 (2019), 223–240
  25. В. А. Скворцов, “Восстановление обобщенного ряда Фурье по его сумме на компактной нульмерной группе в неабелевом случае”, Матем. заметки, 109:4 (2021), 616–624
  26. J. M. Ash, Gang Wang, “Uniqueness questions for multiple trigonometric series”, Topics in harmonic analysis and ergodic theory, Contemp. Math., 444, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2007, 129–165
  27. J. O. Smith III, Mathematics of the Discrete Fourier Transform (DFT), with audio applications, 2 ed., W3K Publishing, 2007, 306 pp.
  28. I. W. Selesnick, G. Schuller, “The discrete Fourier transform”, The transform and data compression textbook, Ch. 2, CRC Press LLC, Boca Raton, FL, 2001, 37–79
  29. Н. М. Коробов, Тригонометрические суммы и их приложения, Наука, М., 1989, 240 с.
  30. L. Carleson, “On convergence and growth of partial sums of Fourier series”, Acta. Math., 116 (1966), 135–157
  31. R. A. Hunt, “On the convergence of Fourier series”, Orthogonal expansions and their continuous analogues (Edwardsville, IL, 1967), Southern Illinois Univ. Press, Carbondale, IL, 1968, 235–255
  32. P. Sjölin, “An inequality of Paley and convergence a.e. of Walsh–Fourier series”, Ark. Mat., 7:6 (1969), 551–570
  33. N. Yu. Antonov, “Convergence of Fourier series”, East J. Approx., 2:2 (1996), 187–196
  34. П. Л. Ульянов, “О рядах по переставленной тригонометрической системе”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 22:4 (1958), 515–542
  35. J. M. Ash, Sh. T. Tetunashvili, “Uniqueness for multiple trigonometric and Walsh series with convergent rearranged square partial sums”, Proc. Amer. Math. Soc., 134:6 (2006), 1681–1686
  36. J. M. Ash, C. Freiling, D. Rinne, “Uniqueness of rectangularly convergent trigonometric series”, Ann. of Math. (2), 137:1 (1993), 145–166
  37. Н. Н. Холщевникова, “Объединение множеств единственности кратных рядов – Уолша и тригонометрических”, Матем. сб., 193:4 (2002), 135–160
  38. Ш. Т. Тетунашвили, “О некоторых кратных функциональных рядах и решение проблемы единственности кратных тригонометрических рядов для сходимости по Прингсхейму”, Матем. сб., 182:8 (1991), 1158–1176
  39. Л. Д. Гоголадзе, “К вопросу о восстановлении коэффициентов сходящихся кратных функциональных рядов”, Изв. РАН. Сер. матем., 72:2 (2008), 83–90
  40. Т. А. Жеребьeва, “Об одном классе множеств единственности для двойных тригонометрических рядов”, Матем. заметки, 87:6 (2010), 830–839
  41. J. Bourgain, “Spherical summation and uniqueness of multiple trigonometric series”, Internat. Math. Res. Notices, 1996:3 (1996), 93–107

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2022 Plotnikov M.G.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».