Когда поиск относительно максимальных подгрупп редуцируется к факторгруппам?
- Авторы: Го В.Б.1,2, Ревин Д.О.3,4,5
-
Учреждения:
- School of Science, Hainan University
- University of Science and Technology of China
- Институт математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук
- Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского Уральского отделения РАН
- Новосибирский государственный университет
- Выпуск: Том 86, № 6 (2022)
- Страницы: 79-100
- Раздел: Статьи
- URL: https://ogarev-online.ru/1607-0046/article/view/133890
- DOI: https://doi.org/10.4213/im9277
- ID: 133890
Цитировать
Открытый доступ
Доступ предоставлен
Только для подписчиков
Аннотация
Пусть $\mathfrak{X}$ – класс конечных групп, замкнутый относительно подгрупп, гомоморфных образов и расширений, и $\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(G)$ – число классов сопряженности $\mathfrak{X}$-максимальных подгрупп конечной группы $G$. Естественная задача – описать с точностью до сопряженности $\mathfrak{X}$-максимальные подгруппы данной конечной группы – не индуктивна. В частности, в образе гомоморфизма образ $\mathfrak{X}$-максимальной подгруппы, вообще говоря, не $\mathfrak{X}$-максимален. Существуют гомоморфизмы, сохраняющие число классов сопряженности максимальных $\mathfrak{X}$-подгрупп (например, гомоморфизмы, ядра которых – $\mathfrak{X}$-группы). Относительно таких гомоморфизмов образ $\mathfrak{X}$-максимальной подгруппы всегда $\mathfrak{X}$-максимален и существует естественная биекция между классами сопряженности $\mathfrak{X}$-максимальных подгрупп образа и прообраза. В работе такие гомоморфизмы полностью описаны. Доказано, что для гомоморфизма $\phi$ из группы $G$ равенство $\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(G)=\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(\operatorname{im} \phi)$ выполнено, если и только если $\mathrm{k}_{\mathfrak{X}}(\ker \phi)=1$, а это, в свою очередь, равносильно тому, что композиционные факторы ядра $\phi$ принадлежат известному списку.Библиография: 25 наименований.
Ключевые слова
Об авторах
Вэнь Бинь Го
School of Science, Hainan University; University of Science and Technology of China
Email: wguo@ustc.edu.cn
доктор физико-математических наук
Данила Олегович Ревин
Институт математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук; Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского Уральского отделения РАН; Новосибирский государственный университет
Email: revin@math.nsc.ru
доктор физико-математических наук, без звания
Список литературы
- H. Wielandt, “On the structure of composite groups”, Proceedings of the international conference on the theory of groups (Austral. Nat. Univ., Canberra, 1965), Gordon and Breach Science Publishers Inc., New York, 1967, 379–388
- H. Wielandt, “Zusammengesetzte Gruppen endlicher Ordnung”, Lecture notes, Math. Inst. Univ. Tübingen, 1963/64, Mathematische Werke {/} Mathematical works, v. 1, Group theory, Walter de Gruyter & Co., Berlin, 1994, 607–655
- H. Wielandt, “Zusammengesetzte Gruppen: Hölder Programm heute”, The Santa Cruz conference on finite groups (Univ. California, Santa Cruz, CA, 1979), Proc. Sympos. Pure Math., 37, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1980, 161–173
- Wenbin Guo, D. O. Revin, E. P. Vdovin, “The reduction theorem for relatively maximal subgroups”, Bull. Math. Sci., 12:1 (2022), 2150001, 47 pp.
- M. L. Sylow, “Theorèmes sur les groupes de substitutions”, Math. Ann., 5:4 (1872), 584–594
- P. Hall, “A note on soluble groups”, J. London Math. Soc., 3:2 (1928), 98–105
- С. А. Чунихин, “О $Pi$-отделимых группах”, Докл. АН СССР, 59:3 (1948), 443–445
- С. А. Чунихин, “О $Pi$-свойствах конечных групп”, Матем. сб., 25(67):3 (1949), 321–346
- С. А. Чунихин, “О существовании и сопряженности подгрупп у конечной группы”, Матем. сб., 33(75):1 (1953), 111–132
- С. А. Чунихин, “О некоторых направлениях в развитии теории конечных групп за последние годы”, УМН, 16:4(100) (1961), 31–50
- J. H. Conway, R. T. Curtis, S. P. Norton, R. A. Parker, R. A. Wilson, Atlas of finite groups. Maximal subgroups and ordinary characters for simple groups, With comput. assistance from J. G. Thackray, Oxford Univ. Press, Eynsham, 1985, xxxiv+252 pp.
- Wenbin Guo, D. O. Revin, “Pronormality and submaximal $mathfrak{X}$-subgroups in finite groups”, Commun. Math. Stat., 6:3 (2018), 289–317
- Е. П. Вдовин, Д. О. Ревин, “Теоремы силовского типа”, УМН, 66:5(401) (2011), 3–46
- В. Го, Д. О. Ревин, “О связи между сопряжeнностью максимальных и субмаксимальных $mathfrak X$-подгрупп”, Алгебра и логика, 57:3 (2018), 261–278
- K. Doerk, T. O. Hawkes, Finite soluble groups, De Gruyter Exp. Math., 4, Walter de Gruyter & Co., Berlin, 1992, xiv+891 pp.
- Е. П. Вдовин, Н. Ч. Манзаева, Д. О. Ревин, “О наследуемости $pi$-теоремы Силова подгруппами”, Матем. сб., 211:3 (2020), 3–31
- С. Ленг, Алгебра, Мир, М., 1968, 564 с.
- J. N. Bray, D. F. Holt, C. M. Roney-Dougal, The maximal subgroups of the low-dimensional finite classical groups, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 407, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2013, xiv+438 pp.
- M. Suzuki, Group theory I, Transl. from the Japan., Grundlehren Math. Wiss., 247, Springer-Verlag, Berlin–New York, 1982, xiv+434 pp.
- M. Suzuki, Group theory II, Transl. from the Japan., Grundlehren Math. Wiss., 248, Springer-Verlag, New York, 1986, x+621 pp.
- P. Hall, “Theorems like Sylow's”, Proc. London Math. Soc. (3), 6:2 (1956), 286–304
- B. Huppert, Endliche Gruppen I, Grundlehren Math. Wiss., 134, Springer-Verlag, Berlin–New York, 1967, xii+793 pp.
- D. O. Revin, E. P. Vdovin, “On the number of classes of conjugate Hall subgroups in finite simple groups”, J. Algebra, 324:12 (2010), 3614–3652
- В. А. Ведерников, “Конечные группы с холловыми $pi$-подгруппами”, Матем. сб., 203:3 (2012), 23–48
- A. A. Buturlakin, A. P. Khramova, “A criterion for the existence of a solvable $pi$-Hall subgroup in a finite group”, Comm. Algebra, 48:3 (2020), 1305–1313
Дополнительные файлы
