On the rate of approximation in the unit disc of $H^1$-functions by logarithmic derivatives of polynomials with zeros on the boundary

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

We study uniform approximation in the open unit disc $D=ż\colon |z|<1\}$ by logarithmic derivatives of $C$-polynomials, that is, polynomials whose zeros lie on the unit circle $C=ż\colon |z| {=} 1\}$. We find bounds for the rate of approximation for functions in Hardy class $H^1(D)$ and certain subclasses. We prove bounds for the rate of uniform approximation (either in $D$ or its closure) by $h$-sums $\sum_k \lambda_k h(\lambda_k z)$ with parameters $\lambda_k\in C$.

About the authors

Mikhail Anatol'evich Komarov

Vladimir State University

Email: kami9@yandex.ru
Candidate of physico-mathematical sciences, Associate professor

References

  1. В. И. Данченко, Д. Я. Данченко, “О приближении наипростейшими дробями”, Матем. заметки, 70:4 (2001), 553–559
  2. О. Н. Косухин, “Об аппроксимационных свойствах наипростейших дробей”, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., 2001, № 4, 54–59
  3. О. Н. Косухин, О некоторых нетрадиционных методах приближения, связанных с комплексными полиномами, Дисс. … канд. физ.-матем. наук, Моск. гос. ун-т, М., 2005
  4. В. Ю. Протасов, “Приближения наипростейшими дробями и преобразование Гильберта”, Изв. РАН. Сер. матем., 73:2 (2009), 123–140
  5. В. И. Данченко, “Об аппроксимативных свойствах сумм вида $sum_k lambda_k h(lambda_k z)$”, Матем. заметки, 83:5 (2008), 643–649
  6. P. Chunaev, V. Danchenko, “Approximation by amplitude and frequency operators”, J. Approx. Theory, 207 (2016), 1–31
  7. М. А. Комаров, “Критерий наилучшего равномерного приближения наипростейшими дробями в терминах альтернанса”, Изв. РАН. Сер. матем., 79:3 (2015), 3–22
  8. В. И. Данченко, М. А. Комаров, П. В. Чунаев, “Экстремальные и аппроксимативные свойства наипростейших дробей”, Изв. вузов. Матем., 2018, № 12, 9–49
  9. J. Korevaar, “Asymptotically neutral distributions of electrons and polynomial approximation”, Ann. of Math. (2), 80:3 (1964), 403–410
  10. M. Thompson, “Approximation of bounded analytic functions on the disc”, Nieuw Arch. Wisk. (3), 15 (1967), 49–54
  11. Z. Rubinstein, E. B. Saff, “Bounded approximation by polynomials whose zeros lie on a circle”, Proc. Amer. Math. Soc., 29:3 (1971), 482–486
  12. C. K. Chui, Xie-Chang Shen, “Order of approximation by electrostatic fields due to electrons”, Constr. Approx., 1:1 (1985), 121–135
  13. П. А. Бородин, “Приближение наипростейшими дробями с ограничением на полюсы. II”, Матем. сб., 207:3 (2016), 19–30
  14. N. K. Govil, “On the derivative of a polynomial”, Proc. Amer. Math. Soc., 41:2 (1973), 543–546
  15. А. Зигмунд, Тригонометрические ряды, т. 1, Мир, М., 1965, 615 с.
  16. Z. Rubinstein, “On the approximation by $C$-polynomials”, Bull. Amer. Math. Soc., 74:6 (1968), 1091–1093
  17. Г. М. Голузин, Геометрическая теория функций комплексного переменного, 2-е изд., Наука, М., 1966, 628 с.
  18. П. В. Чунаев, “Об одном нетрадиционном методе аппроксимации”, Дифференциальные уравнения и динамические системы, Сборник статей, Тр. МИАН, 270, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2010, 281–287
  19. П. А. Бородин, “Приближение суммами вида $sum_k lambda_k h(lambda_k z)$ в круге”, Матем. заметки, 104:1 (2018), 3–10
  20. П. А. Бородин, “Приближение суммами сдвигов одной функции на окружности”, Изв. РАН. Сер. матем., 81:6 (2017), 23–37

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML

Copyright (c) 2020 Komarov M.A.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».