Skyrmions and Fluctuations of Spin Spirals in Strongly Correlated Fe1–хCoхSi with Noncentrosymmetric Cubic Structure

Full Text

ВВЕДЕНИЕ

Моносилициды 3d-переходных металлов с нарушенной кубической структурой типа В20, такие как MnSi [1, 2], Fe_1–хCo_xSi [3, 4] и Fe_1–хMn_xSi [5], относятся к группе веществ, в которых наличие неоднородного обменного и хирального взаимодействия Дзялошинского–Мория (ДМ) [6, 7] приводит к возникновению геликоидальных ферромагнитных спиновых спиралей с периодами, которые примерно на два порядка превышают период кристаллической структуры, и с фиксированными по направлению волновыми векторами.

В области магнитных фазовых переходов в этих материалах в результате нейтронографических экспериментов можно наблюдать промежуточное (между геликоидальной и парамагнитной фазами) состояние с ближним порядком в спиновой системе, в котором происходят флуктуации спирали [8, 9]. При приложении внешних магнитных полей в этих материалах возникают скирмионы [10], природа формирования которых остается не выясненной.

В настоящей работе в рамках флуктуационной теории зонного магнетизма исследованы наблюдаемые при коротковолновом рассеянии поляризованных нейтронов ближний порядок в хиральной спиновой системе и скирмионы при температурных фазовых переходах первого рода в Fe_1–хCo_xSi (на примере составов с x = 0.2 и 0.3).

МОДЕЛЬ

Сильно коррелированную электронную систему хиральных магнетиков Fe_1–хСо_xSi будем описывать на основе модели Хаббарда, учитывающей зонное движение и внутриатомные кулоновские корреляции [11, 12]. При моделировании внутриатомных корреляций будем принимать во внимание различие внутриатомных кулоновских взаимодействий на узлах кристаллической решетки, занятых атомами Fe или Co, а энергетический спектр зонного движения электронов будем рассматривать на основе результатов первопринципных расчетов в рамках обобщенного градиентного приближения с учетом сильных кулоновских корреляций (GGA+U), учитывающих кристаллическую структуру. Из результатов первопринципных расчетов электронной структуры сплавов Fe_1–xCo_xSi, следует, что уровень Ферми сплавов находится в верхней энергетической зоне, сформированной преимущественно t₀-состояниями, в которой орбитальным вырождением и взаимодействием Хунда можно пренебречь. На этом основании для расчетов используем гамильтониан модели Хаббарда [12], включающий слагаемые, описывающие зонное движение сильно коррелированных d-электронов в t₀-орбитальном состоянии, энергетический спектр которых ${\epsilon }_k^{\left(GGA\right)}$ может быть рассчитан в приближении GGA+U. Кроме того, для описания ферромагнитного геликоидального упорядочения, включим в данный гамильтониан слагаемое, описывающее энергию ДМ-взаимодействия, записанное в приближении среднего поля (в силу релятивистской малости этого взаимодействия): $h_q^{\left(D\right)}=\left[M_q\times d_{–q}\right]$ — среднее поле Дзялошинского, $M_q\left(=〈S_q〉\right)$ — вектор неоднородной намагниченности на волновом векторе магнитной структуре q в единицах два магнетона Бора (2m_B), $d_q=idq$.

Используя для учета межэлектронных корреляций процедуру преобразований Стратоновича–Хаббарда [13], сведем исходную многочастичную задачу к описанию движения не взаимодействующих между собой d-электронов со спектром ${\epsilon }_k^{\left(\text{GGA}\right)}$ во флуктуирующих в пространстве и времени обменном (ξ) и зарядовом (η) полях. В результате статистическую сумму Z(x, h_q) сильно коррелированных d-электронов Fe_1–xCo_xSi запишем в виде интеграла от функционала Гинзбурга–Ландау–Бразовского [14, 15] по реальным и мнимым частям этих полей:

$\begin{array}{c}Z\left(x,h_q\right)=\int \left(d\xi d\eta \right)\left(d\Omega \right)\times \\ \times \exp \left\{-{\sum }_q{\left|{\xi }_q-\frac{h_q}{c}\right|}^2-{\sum }_q{\left|{\eta }_q\right|}^2+\Psi \left(x,\varsigma ,\rho \right)\right\}.\end{array}$ (1)

Здесь: $\left(d\xi d\eta \right)=d{\xi }_{0}d{\eta }_0{\prod }_{q\ne \mathrm{0,}j=\mathrm{1,2}}d{\xi }_q^{\left(j\right)}d{\eta }_q^{\left(j\right)}$ индекс j нумерует реальную и мнимую части стохастических ξ- и η-полей; $\left(d\Omega \right)={\prod }_{\nu }d{\Omega }_{\nu }$, $d{\Omega }_{\nu }$ — элемент телесного угла в направлении вектора ${\xi }_{\nu }$; ν = (n, τ), n и — вектор узла кристаллической решетки, занятый Fe или Co, и мацубаровское время соответственно; $c={\left(UT\right)}^{1/2}$, $U=\left(1-x\right)U_{\text{Fe}}+x{U}_{\text{Co}}$, U_Fe и U_Co — кулоновские потенциалы, соответственно, железа и кобальта, а функционал Гинзбурга–Ландау имеет вид:

$\begin{array}{c}\Psi \left(x,\zeta ,\rho \right)={\sum }_q\left(Ug\left(x,\mu \right)+X_q\right)\left({\left|{\zeta }_q\right|}^2-{\left|{\rho }_q\text{/}2\right|}^2\right)+\\ +\kappa \left(x,\mu \right){\sum }_{\nu }\left[{\left({\zeta }_{\nu }^2-{\rho }_{\nu }^2/4\right)}^2\right],\end{array}$ (2)

где $g\left(x,\mu \right)$ — плотности состояний d-электронов Fe_1–xCo_xSi при энергии химического потенциала m, значение которого определяется условием электронейтральности (подробнее см. ниже); $\kappa =U^3\left(g^{\left(2\right)}\left(\mu \right)-\frac{g^{\left(1\right)2}\left(\mu \right)}{g\left(\mu \right)}\right)$ — параметр спин-спинового и спин-зарядового межмодовых взаимодействий, $g^{\left(n\right)}\left(\epsilon \right)$ – n-ая производная плотности состояний по энергии ($\epsilon$); среднее поле $h_q=h_q^{\left(D\right)}+h{\delta }_{q\mathrm{,0}}$ включает однородное внешнее магнитное поле h (в единицах 2m_B) и поле Дзялошинского. Величины

${\zeta }_{-q}=c\left({\xi }_{-q}+{\left(2U\right)}^{-1}\left(U_{\text{Co}}-U_{\text{Fe}}\right){\sum }_{\nu }\delta p_{\nu }^{\frac{1}{2}}{\xi }_{\nu }\exp \left(iq\nu \right)\right)$

и

$\begin{array}{c}{\rho }_{-q}=\\ =c\left({\eta }_{-q}-{\left(2U\right)}^{-1}\left(U_{\text{Co}}-U_{\text{Fe}}\right){\sum }_{\nu }\delta p_{\nu }\frac{{\displaystyle {\sum }_{\sigma }〈{n_{\sigma }}_0〉\exp \left(iq\nu \right)}}{4}\right)\end{array}$

— фурье-образы обменного и зарядового полей на узле n и в представлении мацубаровского , описывают как термодинамические эффекты, так и концентрационные флуктуации локальной спиновой и зарядовой плотностей соответственно; $〈{n_{\sigma }}_0〉$ — заполнение d-состояний электронами со спином σ(=±1) в приближении GGA+U; x — концентрация Co; δp_n = p_n – x, p_n — идемпотентный оператор, равный единице, если узел n кристаллической решетки Fe_1–xCo_xSi занят атомом Co, и нулю — если занят атомом Fe. Будем считать, что атомы Co и Fe распределены по узлам кристаллической решетки хаотически, то есть $\overline{\delta p_{\nu }\delta p_{\nu \text{'}}}={\delta }_{\nu , \nu \text{'}}x\left(1-x\right)$, где чертой над величинами обозначена операция усреднения по узлам кристаллической решетки.

Отметим, что в рассматриваемой задаче о фазовых переходах в киральных магнетиках с аномально большими периодами магнитной структуры, квантово-статистическое вычисление выражения для функционала свободной энергии $\Psi \left(x,\zeta ,\rho \right)$ можно рассматривать в приближении, когда пространственно-временная неоднородность локальных полей [16, 17] возникает вследствие зависимости магнитной восприимчивости Паули ${\chi }_q^{\left(0\right)}$ от квазиимпульса и частоты. Поэтому функционал свободной энергии (2) следует дополнить слагаемым $X_q{\left|{\zeta }_q\right|}^2$, где $X_q=U\left({\chi }_0^{\left(0\right)}-{\chi }_q^{\left(0\right)}\right)$, с четырехмерным вектором q = (q, w_2n), в котором q — квазиимпульс, w_2n — мацубаровская Бозе-частота. Слагаемое $X_q{\left|{\zeta }_q\right|}^2$ дает поправку, учитывающую пространственно-временную неоднородность функции Линдхарда. Введение этого слагаемого позволяет учесть аномальное изменение фактора обменного усиления в области фазового перехода [16].

Поскольку в исследуемых квазибинарных сплавах зарядовое упорядочение является невозможным, и флуктуации зарядовой плотности ведут к большим флуктуациям энергии, постольку они являются маловероятными. Поэтому, при расчете статистической суммы (1), слагаемыми, пропорциональными с q ≠ 0, можно пренебречь.

Вычисление функциональных интегралов в (1) осуществляли в приближении седловой точки, отвечающем условию максимума подынтегрального выражения в (1) по переменным: ${\eta }_0\equiv \mathrm{Re}{\eta }_0$ ($\text{Im}{\eta }_0=0$), $\text{Re}{\eta }_q$ и $\text{Im}{\eta }_q$ с q ≠ 0, ${\xi }_0^{\left(\gamma \right)}\equiv \mathrm{Re}{\xi }_0^{\left(\gamma \right)}$ $(\mathrm{Im}{\xi }_0^{\left(\gamma \right)}=0),$ $\mathrm{Re}{\xi }_q^{\left(\gamma \right)}$ и $\mathrm{Im}{\xi }_q^{\left(\gamma \right)}$ с q ≠ 0 и w_2n= 0, $\left|{\xi }_q^{\left(\gamma \right)}\right|$ c q = (q, w_2n) при w_2n≠0. Можно показать [12], что получаемые перевальные значения обменных полей связаны с фурье-образами локальной намагниченности и спиновыми корреляторами соотношениями: ${\xi }_q^{\left(\gamma \right)}=T{M}_q^{\left(\gamma \right)}\text{/}c+h_q^{\left(\gamma \right)}/U$ и ${\left|{\xi }_q^{\left(\gamma \right)}\right|}^2=\left(〈T_{\tau }{\left|S_q^{\left(\gamma \right)}\right|}^2〉+1\right)/\mathrm{2,}$ y = (x, y, z).

Из условий перевала для обменных полей получаем уравнения магнитного состояния

$\begin{array}{c}{M}_0^{\left(z\right)}\left(D^{-1}+2\kappa {\sum }_{q_0}{\left|M_{q_0}^{\left(z\right)}\right|}^2\right)+2\kappa {\sum }_{q_0^{\left(1\right)},q_0^{\left(2\right)},q_0^{\left(3\right)}}\times \\ \times M_{q_0^{\left(1\right)}}^{\left(z\right)}\left(M_{q_0^{\left(2\right)}}{M}_{q_0^{\left(3\right)}}\right){\delta }_{{\sum }_1^3{q}_0^{\left(i\right)}=0}=\frac{h}{U},\end{array}$ (3а)

$\begin{array}{c}{M}_q^{\left(\gamma \right)}\left(D^{-1}+2\kappa M_0^{\left(z\right)}+\kappa {\sum }_{q\text{'}\ne 0}{\left|M_q\right|}^2+A{q}_0^2\right)+\\ +2\kappa {\sum }_{q\text{'}\ne 0}\left(M_q{M}_{-q\text{'}}\right)M_{q\text{'}}^{\left(\gamma \right)}+\kappa \left(M_q{M}_q\right)M_{-q}^{\left(\gamma \right)}+\\ +\kappa {\sum }_{q\text{'},q\text{'}\text{'}\ne 0}\left(M_{q^{\text{'}}}^{\left(z\right)}{M}_0^{\left(z\right)}\right)M_{q^{\text{'}\text{'}}}^{\left(\gamma \right)}{\delta }_{q\text{'}+q\text{'}\text{'};q}+\\ +\kappa {\sum }_{q,q_0^{\left(2\right)}\ne 0}\left(M_{q\text{'}}{M}_{q\text{'}\text{'}}\right)M_0^{\left(z\right)}{\delta }_{q\text{'}+q\text{'}\text{'};q}=\frac{h_{q,\gamma }^{\left(D\right)}}{U},\end{array}$ (3б)

где $D^{-1}=1-Ug\left(x,\mu \right)+\tilde{\kappa }\frac{5〈m^2〉}{3}$ — парамагнитный фактор обменного усиления, $〈m^2〉$ – средний квадрат термодинамических флуктуаций спиновой плотности; $M_q$ — Фурье-образ локальной намагниченности на узле, $\tilde{\kappa }=\kappa +x\left(1-x\right)\frac{\left(U_{Fe}-U_{Co}\right)}{U}$ — перенормированный концентрационными флуктуациями параметр межмодового взаимодействия.

Достаточное условие существования максимума подынтегральной функции (1), а значит устойчивости найденных решений уравнений (3а, 3б), сводится к следующим неравенствам:

$2r_{q\gamma }^2-1>0$; $D_{\gamma }^{-1}+\kappa {\left(c{\xi }_0^{\left(\gamma \right)}\right)}^2>0$.

Это условие соответствует стандартному термодинамическому условию положительности магнитной восприимчивости [12].

Химический потенциал системы (m) удовлетворяет условию перевала по , которое оказывается эквивалентным условию электронейтральности и в первом неисчезающем приближении по зарядовым и обменным полям имеет вид:

$\begin{array}{c}\left(N/N_0\right)=\partial F/\partial \mu \cong 2\int d\epsilon g\left(\epsilon \right)f\left(\epsilon -\mu \right)+\\ +2U^2{g}^{\left(1\right)}\left(\mu \right)\left[〈m^2〉+{\sum }_q{\left|M_q\right|}^2-{\eta }^2/4\right].\end{array}$ (4)

Для параметра пространственно-временной неоднородности будем использовать модель функции Линдхарда [18, 19], и после аналитического продолжения на ось действительных частот будем записывать в виде:

$\begin{array}{c}X\left(q,\omega \right)=U\left({\chi }^{\left(0\right)}\left(\mathrm{0,0}\right)-{\chi }^{\left(0\right)}\left(q,\omega \right)\right)=\\ =\left(A{q}^2-iC\frac{\omega \theta \left({\omega }_0-\omega \right)}{\left|q\right|}\right),\end{array}$ (5)

где $\left|q\right|$ — в единицах 2k_F, параметры A и С выражаются через значения плотности состояний и ее производных на энергии Ферми при нормальном давлении, ${\omega }_0=2v_{\text{F}}{k}_{\text{F}}$, $v_{\text{F}}$ — скорость на поверхности Ферми, $k_{\text{F}}$ — модуль волнового вектора Ферми.

Тогда из условия максимума подынтегрального выражения статистической суммы (1) по компонентам волнового вектора q для модуля волнового вектора геликоидальной магнитной структуры q₀ направленного перпендикулярно плоскости, в которой лежат вектора $M_{q_0}^{}$ и $M_{-q_0}^{}$, имеем: $q_0^{}=d\left(1-D_{}^{-1}\right)/2UA\approx d/2UA$.

При анализе фазовых переходов первого рода в модели Гинзбурга–Ландау в соответствии с уравнениями магнитного состояния (3а, 3б) получаем, что хиральный ферромагнитный дальний порядок реализуется, когда фактор обменного усиления (D^–1) и параметр межмодового взаимодействия (κ) положительны. В этих условиях дальний порядок можно описать как “левый” хиральный, с фурье-образами намагниченности $M_{q_0}^{\left(x\right)}=M_S$, $M_{q_0}^{\left(y\right)}=\mathrm{sgn}\left(q_0\right)i{M}_S$, $M_{\pm q_0}^{\left(z\right)}=0$ и $M_0=\chi h,$ где магнитная восприимчивость

$\chi =2U^{-1}\left[{\left(X\left(q_0\mathrm{,0}\right)+\kappa \left({\left|M_{q_0}\right|}^2+〈m^2〉\right)\right)}^{-1}-1\right]$. (6)

Для значений внешнего однородного магнитного поля, определяемых неравенством: $h^{\left(z\right)}\left(1+M_S\right)>d\left|q_0\right|M_S/\left(4\left|\kappa \right|\right)$, решения уравнений (3а, 3б) описывают скирмионную систему, в которой

$M_{\nu }^{\left(x\right)}=M_S\cos \left(q_{\mathrm{0,}i}\nu +\varphi \right)$, $M_{\nu }^{\left(y\right)}=M_S\sin \left(q_{\mathrm{0,}i}\nu +\varphi \right)$, $M_{\nu }^{\left(z\right)}=\left|M_{q_0}^{\left(z\right)}\right|\cos \left(q_{\mathrm{0,}i}\nu +\varphi \right)+M_0^{\left(z\right)}$. (7)

Вследствие стохастических флуктуаций фазы φ оси квантования внутри скирмионных областей могут быть направлены в одном из трех направлений системы координат. Поэтому уравнения (7) в случае скирмионной решетки следует отнести к локальной системе координат и в согласии с экспериментом [10] скирмионная фаза характеризуется шестью векторами одинаковых по модулю q_0i.

В полях, удовлетворяющих неравенству $h^{\left(z\right)}\left(1+M_S\right)<d\left|q_0\right|M_S/\left(4\left|\kappa \right|\right)$, происходит смена знака параметра межмодового взаимодействия и с увеличением температуры реализуется фазовый переход первого рода. Выше температуры Т_C, которая определяется из условия κ(T_C) = 0 при D^–1 < 0 возникает термодинамически неустойчивая фаза флуктуаций магнитного момента спиралей.

В этой температурно-концентрационной области (T_C T Т_DM) сохраняется “левый” хиральный ближний магнитный порядок в виде фрагментов спиновой спирали:

$M_{\nu }^{\left(x\right)}=M_S\cos \left(q_0\nu -\varphi \right)$

и $M_{\nu }^{\left(y\right)}=-M_S\sin \left(q_0\nu -\varphi \right)$, (8)

с изменяющимися хаотически фазами φ, которые, как мы предполагаем, являются разностью электронных фаз Берри [20], поскольку известно, что в соединениях семейства со структурой типа В20 на поверхности Ферми имеется пересечение ветвей спектра, которое приводит к кривизне Берри [21, 22], причем $M_{\pm q_0}^{\left(z\right)}=0$, $M_0=\chi h$.

Вследствие ферромагнитных спиновых корреляций значение φ оказывается фиксированным в пределах радиуса корреляций R_С~÷^1/2, который при D^–1 < 0 определяется выражением:

$R_C=k_F^{-1}{A}^{1/2}{\left(\left|\kappa \right|\left({\left|M_{q_0}\right|}^2+〈m^2〉\right)\right)}^{-1/2}$.

Далее с изменением температуры и внешнего магнитного поля формируется изменение знака фактора обменного усиления, что приводит к возникновению при Т_DM(Н) (определяется условием D^–1(Т_DM) = 0) парамагнитного состояния с положительным значением параметра межмодового взаимодействия. Области спиновых корреляций характеризуются фиксированным значением фазы φ. Если φ исчезает, то исчезают и решения (8), описывающие спиновые корреляции.

МАГНИТНАЯ (h–Т)-ДИАГРАММА В МОДЕЛИ ЭЛЕКТРОННОЙ СТРУКТУРЫ MnSi

Для численного анализа полученных выражений были использованы плотности электронных состояний, рассчитанные в рамках приближения GGA+U для составов Fe_1–xCo_xSi с х = 0.2 и 0.3. Соответствующие результаты представлены на рис. 1. Кроме того, согласно полученным результатам для сплавов Fe_1–xCo_xSi, плотность электронных состояний состоит из двух зон, разделенных энергетической щелью, а зона, в которой находится уровень Ферми, формируется синглетными t₀-электронными состояниями. Можно отметить, что в рассматриваемых составах уровень Ферми расположен вблизи области локального минимума плотности состояний (рис. 1).

 

Рис. 1. Плотность электронных состояний sp (1) и d (2) сплавов Fe1–xCoxSi x = 0.2 (сверху) и 0.3 (снизу). Положение уровня Ферми совпадает с началом отсчета энергии. Параметры хаббардовского взаимодействия задавали в приближении виртуального кристалла: , UCo = 2.4 эВ, UFe = 1.2 эВ, x — концентрация кобальта.

 

Используя выражения (3), (4) и результаты расчетов в рамках GGA+U можно показать, что в сплавах Fe_0.8Co_0.2Si и Fe_0.7Co_0.3Si возникает смена знака κ, что ведет к резкому возрастанию тепловых флуктуаций. Значения параметров функции Линдхарда А и C определяли из сопоставления результатов расчетов магнитной восприимчивости (6) с экспериментальными данными при h = 0, а значения параметров Дзялошинского–Мория, использованные при расчетах, были заимствованы из работы [3].

Поскольку смена знака κ при температуре равной Т_С не сопровождается исчезновением локального магнитного момента, так как магнитные фазовые переходы в исследуемых сплавах оказываются “растянутыми” по температуре. В интервале температур выше T_C(х) и ниже Т_DM(x) возникает область геликоидального ближнего порядка с флуктуациями магнитного момента “левых” киральных спиновых спиралей. Рассчитанные (h–T)-диаграммы для соединений с x = 0.2 и 0.3 приведены на рис. 2 и 3.

 

Рис. 2. Фазовая диаграмма сплава Fe0.8Co0.2Si: точки — экспериментальные данные [8]; линии — результат расчетов.

 

Рис. 3. Фазовая диаграмма сплава Fe0.7Co0.3Si: точки — экспериментальные данные [10]; линии — результат расчетов.

 

Кроме того, мы получаем, что на фазовых (h–T)-диаграммах формируются скирмионные “карманы” (область 2 на рис. 2 и 3).

Границы (h₁ и h₂) этого интервала полей определяются уравнением: $h\left(1+M_S\left(h\right)\right)=d\left|q_0\right|\frac{M_S\left(h\right)}{\left(4\left|\kappa \left(h\right)\right|\right)},$ и отвечают возникновению спиновых конических структур (область 1 на рис. 2 и 3). Кроме того, численный анализ показывает, что за температурно-полевыми границами области существования скирмионной фазы и области с геликоидальным дальним порядком (область 1 на рис. 2 и 3) реализуется фаза флуктуации магнитного момента спиралей (область 3 на рис. 2 и 3), которые наблюдаются при исследованиях коротковолнового рассеяния поляризованных нейтронов [4, 23].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей работе с учетом результатов моделирования электронной структуры в рамках приближения GGA+U показано, что в киральных ферромагнетиках на основе квазибинарных сплавов переходных металлов (на примере Fe_0.8Co_0.2Si и Fe_0.7Co_0.3Si), термодинамические и концентрационные флуктуации магнитных моментов, приводят к концентрационным превращениям, при которых возможна смена знака параметра межмодового взаимодействия. Показано, что в рассматриваемых составах реализуется “размытый” по температуре магнитный фазовый переход первого рода, при котором имеет место изменение знака параметра межмодовой связи в функционале Гинзбурга–Ландау. В этом случае возникает промежуточная область между фазами с дальним порядком в магнитной системе и парамагнитной фазой с ближним порядком в спиновой системе, характеризуемым пространственными флуктуациями магнитного момента. Получены интервалы внешних магнитных полей, при которых в рассматриваемой области “размытого” фазового перехода возникают скирмионы.

Показано, что причиной возникновения наблюдаемых особенностей спиновых корреляций в геликоидальных ферромагнетиках Fe_1–хCo_xSi с ДМ-взаимодействием являются “размытые” по температуре фазовые переходы первого рода, которые, в соответствии с моделью Гинзбурга–Ландау, приводят к термодинамически неравновесному хиральному ферромагнетизму с отрицательной межмодовой связью.

ФИНАНСИРОВАНИЕ РАБОТЫ

Результаты были получены в рамках задания Министерства образования и науки Российской Федерации № FEUZ-2023-0015.

КОНФЛИКТ ИНТЕРЕСОВ

Авторы данной работы заявляют, что у них нет конфликта интересов.

About the authors

А. А. Povzner

Ural Federal University Named After the First President of Russia B. N. Yeltsin

Author for correspondence.
Email: a.a.povzner@urfu.ru
Russian Federation, Yekaterinburg, 620002

А. G. Volkov

Ural Federal University Named After the First President of Russia B. N. Yeltsin

Email: a.a.povzner@urfu.ru
Russian Federation, Yekaterinburg, 620002

Т. А. Nogovitsyna

Ural Federal University Named After the First President of Russia B. N. Yeltsin

Email: a.a.povzner@urfu.ru
Russian Federation, Yekaterinburg, 620002

References

Supplementary files