ON THE ELASTIC-PLASTIC DEFORMATION OF A CIRCULAR PLATE UNDER CENTRALLY SYMMETRIC NORMAL LOADING

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

In the approximation of the Föppl—von Kármán model, which takes into account the presence of plastic deformations, the solution of the problem of elastoplastic bending of a thin plate was obtained, under the boundary conditions of the type of rigid, or generalized elastic embedment type. The model of ideal plasticity with the Tresca—Saint-Venant yield surface was used. The use of the standard Kirchhoff—Love hypotheses allowed to reduce the problem to a system of ordinary differential equations. The numerical solution of this system for the boundary conditions of the generalized elastic embedment was obtained. The solution for the boundary conditions of rigid clamping is obtained as a particular case.

About the authors

K. B. Ustinov

Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics RAS

Email: ustinov@ipmnet.ru
Moscow, Russia

D. V. Gandilyan

Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics RAS

Email: david.ghandilyan@mail.ru
Moscow, Russia

References

  1. Engesser F. Über Knickfragen // Schweiz. Bauzeitung. 1895. Bd 26, h. 24.
  2. Jasinski F. Zu den Knickfragen // Schweiz. Bauzeitung. 1895. Bd 26, h. 24.
  3. Engesser F. Uber Knickfestigkeit gerader Stäbe // Z. Arhitekt und Ingenieur vom Verein zu Hannover. 1889. Bd 35. S. 455.
  4. Jezek K. Die Festigkeit von Druckstaben aus Stahl. Wien, 1937. 252 p.
  5. Shanley F. The column paradox // J. Aeronaut. Sci. 1946. V. 13. № 12. 676 p.
  6. Shanley F. Inelastic column theory // J. Aeronaut. Sci. 1947. V. 14. № 5. P. 261–267.
  7. Работнов Ю.Н. О равновесии сжатых стержней за пределом пропорциональности // Инж. сб. 1952. № 11. С. 123–126.
  8. Пановко Я.Г. О критической силе сжатого стержня за пределом пропорциональности // Инж. сб. 1954. № 20. С. 160–163.
  9. Th. von Kármán. Untersuchungen über Knickfestigkeit // Collekted works of Th. von Kármán. L.: Butterworths Sci. Publ., 1956. V. 1. P. 1902–1913.
  10. Лепик Ю.Р. Изучение послекритической стадии сжатого упругопластического стержня с учетом вторичных пластических деформаций // Учен. зап. Тарт. гос. ун-та. Тр. по математике и механике. 1959. Вып. 73. С. 168–178.
  11. Ильюшин А.А. Об упругопластической устойчивости конструкции, включающей стержневые элементы // Инж. сб. 1960. Т. 27. С. 87–90.
  12. Зубчанинов В.Г. Устойчивость стержней как элементов конструкций // Инж. сб. 1960. Т. 27. С. 101–113.
  13. Вольмир А.С. Устойчивость упругих систем. М.: Физматгиз, 1961.
  14. Ванько В.И., Шестериков С.А. Продольный изгиб и выпучивание // Инж. журн. Механика твердого тела. 1967. № 2. С. 157–163.
  15. Ванько В.И. О критериях выпучивания в условиях ползучести // ПМТФ. 1965. № 1. С. 127–130.
  16. Ванько В.И. Продольный изгиб упругопластического стержня // Инж. журн. Механика твердого тела. 1968. № 4. С. 157–162.
  17. Ванько В.И., Перелыгина Е.С. О продольном изгибе упругопластического стержня // Прикладная Механика И Техническая Физика. 2014. Т. 5 5. № 1 . С. 66–75.
  18. Салащенко Н.Н., Чхало Н.И., Дюжев Н.А. Безмасочная рентгеновская литография на основе МОЭМС и микрофокусных рентгеновских трубок // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования. 2018. № 1 0. С. 10–20. https://doi.org/10.1134/S0207352818100165
  19. Silverman J.P. Challenges and progress in X-ray lithography // J. Vac. Sci. Technol. B. 1998. V. 16. № 6. P. 31–37. https://doi.org/10.1116/1.590452
  20. Vladimirsky Y., Bourdillon A., et al. Demagnication in proximity X-ray lithography and extensibility to 25 nm by optimizing Fresnel diraction // J. Phys. D: Appl. Phys. 1999. V. 32. № 22. P. 114–118. https://doi.org/10.1088/0022-3727/32/22/102
  21. Cheng Y.L., Li M.L., Lin J.H., Lai J.H, Ke C.T., and Huang Y.C. Development of dynamic mask photolithography system // Proceedings of the IEEE International Conference on Mechatronics (ICM’05). 2005. P. 467–471. https://doi.org/10.1109/ICMECH.2005.1529302
  22. Устинов К.Б., Гандилян Д.В. Об упругопластическом деформировании прямоугольной пластины по цилиндрической поверхности при нормальном нагружении // Изв. РАН МТТ. 2025. № 5. С. 185–205. https://doi.org/10.31857/S1026351925050108
  23. deWit R. Theory of disclinations: II. Continuous and discrete disclinations in anisotropic elasticity // J. Res. Nat. Bur. Stand. Section A. 7. 1973. 7A (1). P. 49–100. https://doi.org/10.6028/jres.077A.003
  24. Зубов Л.М. Уравнения Кармана для упругой пластинки с дислокациями и дисклинациями // Докл. РАН. 2007. Т. 412. № 3. С. 343–346.
  25. Зубов Л.М., Столповский А.В. Теория дислокаций и дисклинаций в упругих пластинках // ПММ. 2008. Т. 72. Вып. 6. С. 989–1006.
  26. Лычев С.А. Несовместные деформации гибких пластин // Ученые записки казанского университета. Серия физико-математические науки. 2023. Т. 1 65. № 4. С. 361–388. https://doi.org/10.26907/2541-7746.2023.4.361-388
  27. Cotterell B., Chen Z. Buckling and cracking of thin film on compliant substrates under compression // Int. J. Fract. 2000. V. 104. № 2. P. 169–179. https://doi.org/10.1023/A:1007628800620
  28. Yu H.-H., Hutchinson J.W. Influence of substrate compliance on buckling delamination of thin films // Int. J. Fract. 2002. V. 113. P. 39–55. https://doi.org/10.1023/A:1013790232359
  29. Li S., Wang J., Thouless M.D. The effects of shear on delamination in layered materials // J. Mech. Phys. Solids. 2004. V. 52. № 1. P. 193–214. https://doi.org/10.1016/S0022-5096(03)00070-X
  30. Andrews M., Massabo R., Cox B. Elastic interaction of multiple delaminations in plates subject to cylindrical bending // Int. J. Solids Struct. 2006. V. 43. № 5. P. 855–886. https://doi.org/10.1016/j.ijsolstr.2005.04.025
  31. Andrews M., Massabo R. The effects of shear and near tip deformations on energy release rate and mode mixity of edge-cracked orthotropic layers // Eng. Fract. Mech. 2007. V. 74. № 17. P. 2700–2720. https://doi.org/10.1016/j.engfracmech.2007.01.013
  32. Ustinov K.B. On separation of a layer from the half-plane: elastic fixation conditions for a plate equivalent to the layer // Mechanics of Solids. 2015. V. 50. № 1. P. 62–80. https://doi.org/10.3103/S0025654415010070
  33. Begley M.R., Hutchinson J.W. The Mechanics and Reliability of Films, Multilayers and Coatings. Cambridge: Cambridge University Press, 2017. 288 p. https://doi.org/10.1017/9781316443606
  34. Thouless M.D. Shear forces, root rotations, phase angles and delamination of layered materials // Eng. Fract. Mech. 2018. V. 191. P. 153–167. https://doi.org/10.1016/j.engfracmech.2018.01.033
  35. Barbieri L., Massabo R., Berggreen C. The effects of shear and near tip deformations on interface fracture of symmetric sandwich beams // Eng. Fract. Mech. 2018. V. 201. P. 298–321. https://doi.org/10.1016/j.engfracmech.2018.06.039
  36. Massabo R., Ustinov K.B., Barbieri L., Berggreen C. Fracture mechanics solutions for interfacial cracks between compressible thin layers and substrates // Coatings. 2019. V. 9. № 3. P. 152. https://doi.org/10.3390/coatings9030152
  37. Ustinov K.B. On semi-infinite interface crack in bi-material elastic layer // European Journal of Mechanics – A/Solids. 2019. V. 75. P. 56–69. https://doi.org/10.1016/j.euromechsol.2019.01.013
  38. Monetto I., Massabo R. An analytical beam model for the evaluation of crack tip root rotations and displacements in orthotropic specimens // Frattura ed Integrita Strutturale. 2020. V. 14. № 53. P. 372–393. https://doi.org/10.3221/IGF-ESIS.53.29
  39. Ustinov K., Massabo R. On elastic clamping boundary conditions in plate models describing detaching bilayers // Int. J. Solids Structures. 2022. V. 248. P. 111600. http://doi.org/10.1016/j.ijsolstr.2022.111600
  40. Ustinov K.B. On influence of substrate compliance on delamination and buckling of coatings // Eng. Fail. Anal. 2015. V. 47. P. 338–344. https://doi.org/10.1016/j.engfailanal.2013.09.022
  41. Малинин Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. Учебник для студентов вузов. М.: “Машиностроение”, 1975. 400 с.
  42. Гандилян Д.В., Устинов К.Б. Деформирование тонкой круговой пластины, сопряженной по контуру с основанием // Прикладная математика и механика. 2025. Т. 89. № 1. С. 106–127. https://doi.org/10.31857/S0032823525010089
  43. Галанин М.П., Савенков Е.Б. Методы численного анализа математических моделей / Галанин М.П., Савенков Е.Б. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010. 590 с.
  44. Устинов К.Б., Гандилян Д.В. О граничных условиях для тонкой круглой пластины, сопряженной с массивным телом // Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2024. Т. 30. № 1. С. 50–63. https://doi.org/10.18287/2541-7525-2024-30-1-50-63

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2025 Russian Academy of Sciences

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».