Клетки и фигуры ная для атермических гемитропных, изотропных и ультраизотропных микрополярных упругих тел

1. Введение. Современный этап развития биоинженерии, трансплантологии, аддитивного производства биоматериалов ставит перед наукой, в частности перед механикой континуума, проблему построения адекватных математических моделей деформирования материалов со сложной внутренней микроструктурой $—$ зернистых, волокнистых, гранулированных, дипольных, полимерных, сотовых и т.д.

Одной из простейших и исторически первой математической моделью, в которой оказывается возможным введение нано/микромасштабной длины, является модель микрополярного упругого континуума, предложенная в работах Коссера [1]. В микрополярной теории упругости трансляционные перемещения каждого элемента континуума сопровождаются микроповоротами (спинорными перемещениями). Спинорные и трансляционные перемещения считаются независимыми [2$–$4].

Современные исследования [5] ясно указывают на то, что важной особенностью биоматериалов является чувствительность их определяющих постоянных и тензоров к преобразованиям, изменяющим ориентацию пространства, $—$ инверсиям и зеркальным отражениям. Как следствие, возникает необходимость классификации микрополярных упругих моделей с точки зрения изменения ориентации пространства.

Удобной, легко воспринимаемой формой представления тензоров четвертого и третьего рангов посредством блоков двумерных квадратных и прямо угольных матриц и связей между элементами указанных матриц являются обобщенные фигуры Ная [6, с. 113$–$115]. Метод построения фигур Ная описан в его классических работах по кристаллографии [6$–$10]. В цикле статей авторов [11$–$13] в матричной форме были построены определяющие уравнения для общего анизотропного, гемитропного и изотропного микрополярного упругого континуума. Показано, что определяющие тензоры для анизотропного случая содержат 171 независимую определяющую константу, гемитропного $—$ 9, изотропного $—$ 6. В представляемой работе подход, предложенный Наем, используется для получения определяющих уравнений ультраизотропного микрополярного упругого тела, т.е. такого тела, компоненты определяющих тензоров которого инвариантны относительно любых мыслимых преобразований пространства. Показано, что определяющие тензоры данного материала содержат лишь 4 независимые определяющие постоянные: модуль сдвига, коэффициент Пуассона, характерная нано/микродлина и еще одна, не имеющая физической размерности, постоянная.

2. Тензоры/псевдотензоры с постоянными компонентами. Ковариантно постоянные тензорные/псевдотензорные поля играют важную роль как при выводе определяющих уравнений, так и при преобразовании дифференциальных уравнений механики сплошных сред [14$–$18]. Важным типом ковариантно постоянных тензоров/псевдотензоров являются тензоры/псевдотензоры с постоянными компонентами [19, с. 164].

Тензором/псевдотензором с постоянными компонентами [19, с. 164] называется тензор/псевдотензор, сохраняющий неизменными все свои компоненты при любых линейных преобразованиях координатного репера: самые важные из них $—$ повороты, преобразования гомотетии, центральная инверсия, зеркальные отражения.

В монографии [19, с. 164$–$176] изложен общий алгоритм построения тензоров/псевдотензоров с постоянными компонентами для целых положительных/отрицательных алгебраических весов. Например, общий вид псевдотензора null с постоянными компонентами целого отрицательного веса представляется формулой:

null (2.1)

где r $—$ число ковариантных индексов, s $—$ число контравариантных индексов, N $—$ размерность пространства, g $—$ вес (целое отрицательное число), λ_P (P = 1, 2, ..., r !) $—$ произвольные постоянные (абсолютные инварианты), P $—$ перестановка в ряде индексов

$k_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{k}_s\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{k}_{s+N}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{k}_{r-N+1}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{k}_r\mathrm{.}$

В формуле (2.1) по ковариантным индексам, заключенным в фигурные скобки, производятся всевозможные перестановки. Число ковариантных, контравариантных индексов и вес псевдотензора должны удовлетворять ограничению

$r\mathrm{<mo>=</mo>}s+N\mathrm{<mo>|</mo>}\text{g}\mathrm{<mo>|</mo>,}$ (2.2)

откуда следует взаимное ограничение

$r\ge s\mathrm{.}$ (2.3)

Если условие (2.2) не выполняется, то псевдотензор null с постоянными компонентами сводится к нулевому.

Отметим, что псевдотензорное поле null с постоянными компонентами является ковариантно постоянным и удовлетворяет псевдотензорному уравнению

null (2.4)

при условии, что

${\nabla }_s{\lambda }_P\mathrm{<mo>=</mo>0}\mathrm{.}$ (2.5)

Обратим внимание, что псевдотензоры вида (2.1) не составляют полного набора ковариантно постоянных абсолютных тензоров. Примеры ковариантно постоянных тензоров и псевдотензоров подробно обсуждались в работах [17$–$21]. Среди них фундаментальный ориентирующий псевдоскаляр e и его алгебраические степени, псевдотензорные единицы $\stackrel{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\text{g}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}{1},$ обобщенные d-символы, ò-символы, e-тензоры, метрические тензоры g ^kh, g _hk, которые часто используются в микрополярных теориях механики сплошных сред [22$–$26].

Рассмотрим важный для дальнейшего изложения пример. Абсолютный тензор четвертого ранга C_sm^il с постоянными компонентами согласно (2.1) можно представить в виде:

$C_{sm}^{il}\mathrm{<mo>=</mo>}a{\delta }_s^i{\delta }_m^l+c{\delta }_s^l{\delta }_m^i\mathrm{,}$ (2.6)

где a = C₁₂¹² и c = C₂₁¹² $—$ абсолютные инварианты (абсолютные скаляры).

Уравнение (2.6), справедливое в любой системе координат, в декартовых координатах можно представить следующим образом:

$C_{ilsm}\mathrm{<mo>=</mo>}a{\delta }_{is}{\delta }_{lm}+c{\delta }_{ls}{\delta }_{im}\mathrm{.}$ (2.7)

Рассмотрим ограничение (2.2). Тогда для тензора четвертого ранга, заданного в N-мерном пространстве, можно получить систему уравнений для определения числa ковариантных r и контравариантных s индексов в виде:

$\begin{array}{l}r-s\mathrm{<mo>=</mo>}N\mathrm{<mo>|</mo>}\text{g}\mathrm{<mo>|</mo>,}\\ r+s\mathrm{<mo>=</mo>4.}\end{array}$ (2.8)

Выражая r и s, получим:

$\begin{array}{l}0\le 2r\mathrm{<mo>=</mo>4}+N\mathrm{<mo>|</mo>}\text{g}\mathrm{<mo>|</mo>,}\\ 0\le 2s\mathrm{<mo>=</mo>4}-N\mathrm{<mo>|</mo>}\text{g}\mathrm{<mo>|</mo>}\mathrm{.}\end{array}$ (2.9)

Решениями системы (2.9) должны быть целые неотрицательные числа, откуда немедленно заключаем, что произведение N | g | должно быть четным неотрицательным целым числом, удовлетворяющим неравенству

$N\mathrm{<mo>|</mo>}\text{g}|\le 4.$ (2.10)

Анализируя неравенство (2.10), заинтересованный читатель может заключить, что в трехмерном пространстве и в пространствах с размерностью выше пятой невозможно построить псевдотензор четвертого ранга с постоянными компонентами ненулевого алгебраического веса. Однако в пространствах размерности 2 и 4 такая возможность существует. Все сказанное имеет место только когда $\text{g}\mathrm{<mo>=</mo>}\text{Ent}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\text{g}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$^[1]

3. Анизотропное микрополярное упругое тело. В дальнейшем все рассуж дения будем проводить в декартовой прямоугольной системе координат. Рассмотрим микрополярный упругий потенциал напряжений $\mathcal{U}$ в расчете на единицу инвариантного элемента объема $d\tau$ [27$–$32], с естественными асимметричными тензорными аргументами (не разделяя пока на симметричную и антисимметричную конституэнты:

$\mathcal{U}\mathrm{<mo>=</mo>}\mathcal{U}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ϵ}_{ij}\mathrm{,}{\kappa }_{ij}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ (3.1)

где ${ϵ}_{ij}$ $—$ асимметричный тензор деформации; ${\kappa }_{ij}$ - тензор изгиба$–$кручения.

В случае линейного анизотропного микрополярного упругого тела квадратичная энергетическая форма упругого потенциала напряжений $\mathcal{U}$ записывается в виде [33$–$35]:

null (3.2)

где null (c = 1, 2, 3) $—$ определяющие тензоры анизотропного микрополярного упругого тела. Для определяющих тензоров выполняются следующие условия:

1. null и null $—$ симметричны при перестановке пар индексов ( $is\rightleftarrows lm$ ).

2. null $—$ не симметричен при перестановке пар индексов ( $is\rightleftarrows lm$ ).

Выделим симметричные и антисимметричные составляющие асимметричных тензоров деформаций и изгиба$–$кручения в виде суммы, имеем:

${ϵ}_{is}\mathrm{<mo>=</mo>}{ϵ}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}is\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}+{ϵ}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}is\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}\mathrm{,}{\kappa }_{is}\mathrm{<mo>=</mo>}{\kappa }_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}is\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}+{\kappa }_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}is\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}\mathrm{.}$ (3.3)

Определим векторы, ассоциированные с антисимметричными составляющими асимметричных тензоров деформаций и изгиба$–$кручения согласно

${\phi }_k\mathrm{<mo>=</mo>}-\frac{1}{2}{e}_{kis}{ϵ}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}is\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}\mathrm{,}{\kappa }_k\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{2}{e}_{kis}{\kappa }_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}is\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}\mathrm{.}$ (3.4)

Формулы, обратные к (1.4), записываются в виде:

${ϵ}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}is\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}-e_{isk}{\phi }_k\mathrm{,}{\kappa }_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}is\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}{e}_{kis}{\kappa }_k\mathrm{.}$ (3.5)

Определяющие тензоры четвертого ранга в представлении (3.2) запишем в виде:

null (3.6)

Подстановка соотношений (3.3) с учетом (3.6) в энергетическую форму упругого потенциала (3.2) приводит к формуле:

null (3.7)

Раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые в (3.7), имеем десятичленную форму:

$\begin{array}{c}2\mathcal{U}\mathrm{<mo>=</mo>}{\underset{1}{\text{H}}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}is\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}lm\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{ϵ}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}is\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{ϵ}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}lm\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}+2{\underset{1}{\text{H}}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}is\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}lm\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}{ϵ}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}is\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{ϵ}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}lm\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}+{\underset{1}{\text{H}}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}is\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}lm\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}{ϵ}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}is\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}{ϵ}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}lm\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}+\\ +{\underset{2}{\text{H}}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}is\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}lm\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\kappa }_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}is\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\kappa }_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}lm\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}+2{\underset{2}{\text{H}}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}is\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}lm\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}{\kappa }_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}is\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\kappa }_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}lm\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}+{\underset{2}{\text{H}}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}is\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}lm\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}{\kappa }_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}is\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}{\kappa }_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}lm\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}+\\ +{\underset{3}{\text{H}}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}is\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}lm\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{ϵ}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}is\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\kappa }_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}lm\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}+{\underset{3}{\text{H}}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}is\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}lm\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{ϵ}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}is\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}{\kappa }_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}lm\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}+{\underset{3}{\text{H}}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}is\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}lm\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}{ϵ}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}is\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\kappa }_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}lm\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}+{\underset{3}{\text{H}}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}is\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}lm\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}{ϵ}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}is\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}{ϵ}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}is\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}\mathrm{.}\end{array}$ (3.8)

Откуда, учитывая (1.5) и принимая во внимание

null (3.9)

после ряда преобразований получим:

$\begin{array}{c}2\mathcal{U}\mathrm{<mo>=</mo>}{\underset{1}{\text{H}}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}is\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}lm\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{ϵ}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}is\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{ϵ}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}lm\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}+{\underset{2}{\text{H}}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}is\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}lm\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\kappa }_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}is\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\kappa }_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}lm\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}+{\underset{3}{\text{H}}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}is\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}lm\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{ϵ}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}is\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\kappa }_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}lm\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}+\\ +{\underset{1}{\text{H}}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}is\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}lm\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}{e}_{isk}{e}_{lmj}{\phi }_k{\phi }_j+{\underset{2}{\text{H}}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}is\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}lm\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}{e}_{isj}{e}_{lmk}{\kappa }_j{\kappa }_k-{\underset{3}{\text{H}}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}is\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}lm\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}{e}_{isk}{e}_{lmj}{\phi }_k{\kappa }_j-\\ -2{\underset{1}{\text{H}}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}is\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}lm\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}{e}_{lmk}{ϵ}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}is\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\phi }_k+2{\underset{2}{\text{H}}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}is\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}lm\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}{e}_{lmk}{\kappa }_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}is\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\kappa }_k-{\underset{3}{\text{H}}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}is\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}lm\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{e}_{isk}{\kappa }_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}lm\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\phi }_k+\\ +{\underset{3}{\text{H}}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}is\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}lm\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}{e}_{lmj}{ϵ}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}is\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\kappa }_j\mathrm{.}\end{array}$ (3.10)

Для упрощения дальнейшего изложения материала настоящей статьи введем в рассмотрение следующие обозначения:

null (3.11)

В новых обозначениях (3.11) энергетическая форма упругого потенциала (3.10) примет вид:

$\begin{array}{c}2\mathcal{U}\mathrm{<mo>=</mo>}{\underset{\text{I}}{\text{E}}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}is\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}lm\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{ϵ}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}is\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{ϵ}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}lm\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}+{\underset{\text{II}}{\text{E}}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}is\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}lm\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\kappa }_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}is\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\kappa }_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}lm\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}+{\underset{\text{III}}{\text{E}}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}is\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}lm\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{ϵ}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}is\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\kappa }_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}lm\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}+\\ +{\underset{\text{IV}}{\text{E}}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}is\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\varphi }_i{\varphi }_s+{\underset{\text{V}}{\text{E}}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}is\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\kappa }_i{\kappa }_s+{\underset{\text{VI}}{\text{E}}}_{is}{\varphi }_i{\kappa }_s+{\underset{\text{VII}}{\text{E}}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}is\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}k}{ϵ}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}is\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\phi }_k+\\ +{\underset{\text{VIII}}{\text{E}}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}is\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}k}{\kappa }_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}is\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\kappa }_k+{\underset{\text{IX}}{\text{E}}}_{k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}lm\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\kappa }_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}lm\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\phi }_k+{\underset{\text{X}}{\text{E}}}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}is\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}j}{ϵ}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}is\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\kappa }_j\mathrm{.}\end{array}$ (3.12)

4. Гемитропное микрополярное упругое тело. Микрополярное тело называется гемитропным, если компоненты трех его определяющих тензоров четвертого ранга не изменяются при поворотах координатного репера, но, вообще говоря, изменяются при зеркальных отражениях и инверсиях трехмерного Евклидова пространства, т.е. полуизотропны.

В этом случае определяющие тензоры гемитропного микрополярного упругого тела могут быть представлены в виде [36, с. 70]:

null (4.1)

или

null (4.2)

где $\underset{c}{a},\underset{c}{b},\underset{c}{c}$ (c  = 1, 2, 3) $—$ определяющие постоянные.

С учетом представлений (4.2) соотношения (3.11) запишутся в форме:

null (4.3)

5. Изотропное микрополярное упругое тело. Микрополярное тело называется изотропным, если компоненты его определяющих тензоров не изменяются не только при поворотах координатного репера, но и при зеркальных отражениях и инверсиях трехмерного Евклидова пространства. Последнее означает, что

null (5.1)

Тогда для определяющих тензоров (3.11) получим:

null (5.2)

6. Ультраизотропное микрополярное упругое тело. Изотропное микрополярное упругое тело назовем ультраизотропным, если компоненты двух его определяющих тензоров вообще не изменяются ни при каких преобразованиях трехмерного Евклидова пространства, т.е. являются тензорами с постоянными компонентами.

Учитывая представление (2.7) для тензоров четвертого ранга с постоянными компонентами, определяющие тензоры (5.1) можно представить в виде:

null (6.1)

или

null (6.2)

В обозначениях (3.11) имеем:

null (6.3)

7. Матричное представление определяющих тензоров микрополярного упругого тела. Удобной, легко воспринимаемой формой представления тензоров четвертого, третьего и второго рангов посредством блоков двумерных квадратных и прямоугольных матриц и связей между элементами указанных матриц являются обобщенные фигуры Ная [6, с. 113$–$115]. Метод построения фигур Ная подробно описан в классических монографиях и физических стандартах по кристаллографии [6$–$10]. Указанный метод позволяет без труда установить количество независимых определяющих постоянных, характеризующих мик рополярный континуум, и возможных наличия/отсутствия алгебраических связей между ними.

Преобразование определяющих тензоров четвертого, третьего и второго рангов, участвующих в записи микрополярного упругого потенциала (3.12), к виду двумерных матриц можно произвести при помощи соответствующей замены индексов согласно правилу (см. табл. 1), предложенному в монографии [6, с. 113$–$115], т.е. каждой паре тензорных индексов соответствует матричный индекс, обозначенный прописной латинской буквой:

$\begin{array}{c}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}is\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\leftrightarrow K\mathrm{,}\\ \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}lm\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\leftrightarrow N\mathrm{,}\\ \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}is\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}lm\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\leftrightarrow KN\mathrm{.}\end{array}$ (7.1)

Следует помнить, что метаиндексы a и b не являются тензорными индексами, а нумеруют определяющие тензоры.

Таблица 1. Соответствие пар тензорных и матричных индексов.

Ансамбль двумерных матричных блоков Ная для определяющих тензоров линейного анизотропного микрополярного упругого тела представлен на рис. 1.

Рис. 1. Ансамбль блоков Ная для общих анизотропных микрополярных упругих определяющих тензоров

Фигуры Ная для определяющих тензоров анизотропного, гемитропного и изотропного микрополярных упругих тел приведены в работе [11].

Рассмотрим преобразование определяющих тензоров ультраизотропного микрополярного тела к виду двумерных матриц. В этом случае ненулевыми оказываются два тензора четвертого ранга E_I(is)(lm), E_II(is)(lm) и два тензора второго ранга E_IV(is), E_V(is). Заменяя пары индексов у тензоров E_a(is)(lm) (a = I,II) согласно табл. 1, получим:

null (7.2)

Матрицы ненулевых определяющих тензоров второго ранга E_b(is) (b = IV,V) для ультраизотропного микрополярного упругого тела примут вид:

null (7.3)

Метаиндексы a и b в (7.3) связаны соотношением a = b $–$ III.

Двумерные клетки Ная определяющих тензоров ультраизотропного мик рополярного упругого тела:

1. null представлены на рис. 2.

2. null представлены на рис. 3.

Рис. 2. Клетки Ная определяющих тензоров ультраизотропного микрополярного упругого континуума: a) null, b) null

Фигура Ная для ультраизотропного микрополярного упругого тела составляется из клеток (см. рис. 2 и 3). В результате несложных геометрических преобразований получим фигуру Ная (см. рис. 4).

Обозначения на фигурах Ная: жирными отрезками соединены равные компоненты, Z означает симметрию числовых значений элементов фигуры относительно главной диагонали, ● $—$ отличные от нуля компоненты, $\otimes$ $—$ компоненты, вычисляемые по следующему правилу null $\odot$ " $—$ компоненты, вычисляемые по следующему правилу null $○$ $—$ нулевые компоненты.

Заключение. В работе выполнено обобщение метода построения двумерных фигур Ная для микрополярных упругих тел. Указанный подход позволяет наиболее простым образом выяснить количество независимых определяющих констант для микрополярных упругих тел и установить возможные связи между ними. В рамках настоящего исследования построены двумерные фигуры Ная для ультраизотропного микрополярного упругого тела. Показано, что определяющие тензоры данного материала содержат лишь 4 независимые определяющие постоянные: модуль сдвига, коэффициент Пуассона, характерная нано/микродлина и еще одна, не имеющая физической размерности, постоянная.

Финансирование. Работа выполнена по теме государственного задания ($№$ госрегистрации 124012500437-9).