О критерии прочности соединения пластин внахлест

1. Введение. Прогнозирование прочности адгезионных соединений внахлест (single-lap joints (SLJ)) связано с определенной моделью представления адгезионного слоя и его взаимодействия с сопрягаемыми материалами. Как правило адгезионные слои имеют реальные толщины при существенных различиях в механических свойствах с несущими слоями композита. В этом случае по границам сопряжения в рамках решения дву- и трехмерных задач линейной теории упругости возможны сингулярные напряжения [1-3]. Одним из подходов решения соответствующих задач, наряду с методами механики квазихрупкого разрушения [4-6], является метод конечных элементов [7], который может быть рассмотрен в совокупности с когезионными элементами [8, 9], использующими билинейный закон распределения взаимодействия в когезионной зоне. Отмечено, что различные законы когезионного взаимодействия существенно влияют на распределение напряженно-деформированного состояния [10].

Наряду с решениями дву- и трехмерных задач для оценки напряженного состояния в адгезионных слоях применяются аналитические решения, построенные на упрощающих гипотезах теории пластин. Аналитические решения нахождения напряженного состояния в адгезионном слое конечной толщины рассмотрены в работах [11-13]. Сравнение ряда моделей приведено в [14]. Отличительной особенностью данных решений является регулярное распределение поля напряжений по длине адгезива при его конечной толщине. Отмечено хорошее соответствие решения [12] конечно-элементному решению двумерной задачи [15], где в адгезионном слое наряду со сдвиговыми напряжениями присутствуют и отрывные напряжения.

В работе [16] для нахождения критического состояния упругого адгезионного слоя при смешанной моде нагружения I+II предложено учитывать влияние гидростатического давления и инвариантных составляющих упругой энергии в критическом состоянии. Отмечено, что влияние гидростатического давления на переход в пластическое состояние рассматривалось в рамках различных критериев [17-21], связанных со вторым инвариантом тензора напряжений или максимальными касательными напряжениями, и исследовалось экспериментально [22]. Критерий работы [16] основывался на представлении J-интеграла при хрупком разрушении слоя конечной толщины в виде произведения толщины слоя и накопленной упругой энергии [23] и включал в себя один параметр разупрочнения. При малой толщине адгезионного слоя, относительно толщин сопрягаемых несущих материалов, предполагалось совпадение критического значения J-интеграла в виде [23] экспериментально найденным значениям J-интегралов для мод нагружения I (G_IC) и II (G_IIC), по которым рассчитывался параметр разупрочнения для состояния нормального разрыва адгезива. В этом случае критические значения J-интегралов для смешанных мод нагружения I+II (G_I+IIC) лежат в диапазоне от G_IC до G_IIC. Однако для ряда случаев экспериментальные значения G_I+IIC могут быть меньше значения G_IC [24]. В данной работе предполагается рассмотреть двухпараметрические критерии разрушения тонкого адгезионного слоя при смешанной моде нагружения, где параметры определяются из анализа критического состояния нормального разрыва и смешанной моды нагружения адгезионного слоя, а также значений G_IC и G_IIC. Смешанная мода нагружения рассматривалась в рамках четырех SLJ соединений согласно экспериментальным данным работы [25]. При этом данные одного эксперимента использовались для нахождения параметров конкретного адгезива, а для других экспериментов проверялась корректность критериев. Для нахождения напряженного состоя ния в слое использовалось аналитическое решение [15], полученное в рамках теории изгиба пластин для сопрягаемых слоем материалов.

2. Постановка задачи. На рис. 1 две одинаковых пластины 1 и 2 сопрягаются адгезивом 3 на участке длиной l. Правый торец пластины 2 жестко закреплен от перемещений, а на левый действует горизонтальная сила F= -Fe₁.

Рис. 1. Схема нагружения SLJ соединения.

Решение [15] для средних по толщине слоя напряжений, предполагая слой изотропным, запишем в следующем виде:

${\overline{\sigma }}_{12}=-\frac{Q_1}{8c}\left[\frac{\beta c}{h}\left(1+3K\right)\frac{\cosh \left(\beta X/h\right)}{\sinh \left(\beta c/h\right)}+3\left(1-K\right)\right].$ (2.1)

$\begin{array}{c}{\overline{\sigma }}_{22}=\frac{Q_{1}h}{c^2\mathrm{\Delta }}\left[\left(R_2{\lambda }^2\frac{K}{2}+\lambda K\text{'}\cosh \lambda \cos \lambda \right)\cosh \frac{\lambda X}{c}\cos \frac{\lambda X}{c}+\right.\\ \left.+\left(R_1{\lambda }^2\frac{K}{2}+\lambda K\text{'}\sinh \lambda \sin \lambda \right)\sinh \frac{\lambda X}{c}\sin \frac{\lambda X}{c}\right],\end{array}$ (2.2)

где

$X\in [-0.5l;0.5l],$ $w=\sqrt{\frac{E_3{l}^2}{Eh{\delta }_0}},$ $c=0.5l.$

$K=\frac{\cosh (U_{2}c)\sinh (U_{1}a)}{\sinh (U_{1}a)\cosh (U_{2}c)+2\sqrt{2}\cosh (U_{1}a)\sinh (U_{2}c)},$

$U_1=\frac{2}{h}\sqrt{\left(1-{\nu }^2\right)\frac{3F}{EhB}},$ $U_2=\frac{\sqrt{2}{U}_1}{4},$ $K^{\prime }=Kc{U}_1,$ $\beta =2\sqrt{\frac{E_{3}h}{E{\delta }_0}},$ $\gamma ={\left(\frac{6E_{3}h}{E{\delta }_0}\right)}^{1/4},$

...,

$R_1=\cosh \lambda \sin \lambda +\sinh \lambda \cos \lambda ,$ $R_2=\sinh \lambda \cos \lambda -\cosh \lambda \sin \lambda ,$

$\mathrm{\Delta }=0.5\left(\sinh \left(2\lambda \right)+\sin \left(2\lambda \right)\right),$ $Q_{\text{1}}=F/B,$

где E, n - модуль упругости и коэффициент Пуассона пластин; E₃ - модуль упругости адгезионного слоя; B - ширина пластины в направлении, ортогональном плоскости х₁Ох₂.

Согласно работе [25], для материала пластин 1 и 2 использовался алюминиевый сплав Al6082-T651 со следующими механическими характеристиками E = 70 ГПа, n = 0.3. Для материала адгезива была выбрана смола Araldite AV138 с механическими свойствами из работы [26] E₃ = 4.89 ГПа. Критические значения для J-интегралов смолы рассматриваются согласно заявленным производителем и экспериментальным данным работы [24] G_IC = 200(140) Н/м до G_IIC = 380(352) Н/м, где значения в скобках брались из статьи [24]. Общая длина образца 2a + l бралась постоянной, равной 180 мм, B = 25 мм, длина сопрягаемого адгезивом участка изменялась от l = 12.5 мм до l = 50 мм с приращением Δl = 12.5 мм, толщина пластин h = 3 мм, толщина слоя d₀ = 0.2 мм. Значения внешней критической нагрузки при рассматриваемых длинах сопряжения равнялись соответственно: F₁ = 5900 H, F₂ = 7100 H, F₃ = 8500 H, F₄ = 9300 H, где индекс определяет порядковый номер эксперимента для определенной длины сопрягаемого адгезивом участка.

3. Формулировка двухпараметрического критерия. Предельное состояние адгезионного слоя рассмотрено в рамках следующих критериев:

$\left(1+\text{sign}\left(\overline{\sigma }\right)\beta \right){\hat{\widehat{\phi }}}^{\sigma }+{\hat{\widehat{\phi }}}^{\tau }+\gamma \text{sign}\left(\overline{\sigma }\right){\hat{\widehat{\phi }}}^{\sigma }{\hat{\widehat{\phi }}}^{\tau }=G_{\text{IIC}},$ (3.1)

$\left(1+\text{sign}\left(\overline{\sigma }\right){\beta }_1\right){\hat{\widehat{\phi }}}^{\sigma }+{\hat{\widehat{\phi }}}^{\tau }+{\gamma }_1\text{sign}\left(\overline{\sigma }\right){\text{(}{\hat{\widehat{\phi }}}^{\sigma })}^2=G_{\text{IIC}},$ (3.2)

где $\overline{\phi }={\overline{\phi }}^{\sigma }+{\overline{\phi }}^{\tau }=(3{\overline{\sigma }}^2+{\overline{\tau }}^2)/(2E_3)$ - представление средней по толщине адгезива плотности упругой энергии через инвариантные составляющие плотности энергии объема и формы при нулевом коэффициенте Пуассона; $\overline{\sigma }=({\overline{\sigma }}_{11}+{\overline{\sigma }}_{22}+{\overline{\sigma }}_{33})/3$ - гидростатическое давление; ${\overline{\tau }}^{\text{2}}=\tilde{s}\cdot \tilde{s}$ - свертка девиаторных составляющих тензора средних напряжений в слое;

${\hat{\widehat{\phi }}}^{\sigma }=\underset{{\delta }_0\to 0}{\lim }({\delta }_0{\overline{\phi }}^{\sigma })$, $^{\widehat{\phi }}^{\tau }=\underset{{\delta }_0\to 0}{\lim }({\delta }_0{\overline{\phi }}^{\tau })$ -

предельные значения энергетических произведений объема и формы, которые будем предполагать независимыми величинами от параметра d₀; b, b₁, g, g₁ - параметры, учитывающие “разрыхление” адгезива.

Критерий (3.1) является квазилинейным, а критерий (3.2) предполагает квадратичную зависимость относительно энергетического произведения объема.

В критическом состоянии моды II, когда ${\overline{\phi }}_{\text{IIC}}^{\sigma }=\mathrm{0,}$ из (3.1) и (3.2) приходим к тождеству: $^{\widehat{\phi }}_{\text{IIC}}^{\tau }=G_{\text{IIC}}.$ Для критического состояния моды I из (3.1) имеем:

$\left(1+\text{sign}(\overline{\sigma })\beta \right)^{\widehat{\phi }}_{\text{IC}}^{\sigma }+{\widehat{\phi }}_{\text{IC}}^{\tau }+\gamma \text{sign}(\overline{\sigma })^{\widehat{\phi }}_{\text{IC}}^{\sigma }^{\widehat{\phi }}_{\text{IC}}^{\tau }=G_{\text{IIC}},$ (3.3)

а для критического состояния смешанной моды I+II:

$\left(1+\text{sign}\left(\overline{\sigma }\right)\beta \right)^{\widehat{\phi }}_{\text{I+II}\text{,C}}^{\sigma }+^{\widehat{\phi }}_{\text{I+II}\text{,C}}^{\tau }+\gamma \text{sign}\left(\overline{\sigma }\right)^{\widehat{\phi }}_{\text{I+II}\text{,C}}^{\sigma }^{\widehat{\phi }}_{\text{I+II}\text{,C}}^{\tau }=G_{\text{IIC}}.$ (3.4)

Приняв во внимание, что при нагружении по моде I и смешанной моде I+II гидростатическое напряжение положительно, а $^{\widehat{\phi }}_{\text{IC}}^{\sigma }+^{\widehat{\phi }}_{\text{IC}}^{\tau }=G_{\text{IC}},$ $^{\widehat{\phi }}_{\text{I+II}\text{,C}}^{\sigma }+^{\widehat{\phi }}_{\text{I+II}\text{,C}}^{\tau }=G_{\text{I+IIC}}$ из (3.3) и (3.4) приходим к системе линейных уравнений относительно параметров “разрыхления”:

$\beta {\widehat{\phi }}_{\text{IC}}^{\sigma }+\gamma {\widehat{\phi }}_{\text{IC}}^{\sigma }{\widehat{\phi }}_{\text{IC}}^{\tau }=G_{\text{IIC}}-G_{\text{IC}},$ (3.5)

$\beta {\widehat{\phi }}_{\text{I+II}\text{,C}}^{\sigma }+\gamma {\widehat{\phi }}_{\text{I+II}\text{,C}}^{\sigma }{\widehat{\phi }}_{\text{I+II}\text{,C}}^{\tau }=G_{\text{IIC}}-G_{\text{I+II}\text{,C}}.$ (3.6)

Решение системы (3.5) и (3.6) запишем в виде:

$\beta =\frac{{\widehat{\phi }}_{\text{I+II}\text{,C}}^{\sigma }{\widehat{\phi }}_{\text{I+II}\text{,C}}^{\tau }(G_{\text{IIC}}-G_{\text{IC}})-{\widehat{\phi }}_{\text{IC}}^{\sigma }{\widehat{\phi }}_{\text{IC}}^{\tau }(G_{\text{IIC}}-G_{\text{I+II}\text{,C}})}{{\widehat{\phi }}_{\text{IC}}^{\sigma }{\widehat{\phi }}_{\text{I+II}\text{,C}}^{\sigma }({\widehat{\phi }}_{\text{I+II}\text{,C}}^{\tau }-{\widehat{\phi }}_{\text{IC}}^{\tau })},$ (3.7)

$\gamma =\frac{{\widehat{\phi }}_{\text{IC}}^{\sigma }(G_{\text{IIC}}-G_{\text{I+II}\text{,C}})-{\widehat{\phi }}_{\text{I+II}\text{,C}}^{\sigma }(G_{\text{IIC}}-G_{\text{IC}})}{{\widehat{\phi }}_{\text{IC}}^{\sigma }{\widehat{\phi }}_{\text{I+II}\text{,C}}^{\sigma }({\widehat{\phi }}_{\text{I+II}\text{,C}}^{\tau }-{\widehat{\phi }}_{\text{IC}}^{\tau })}.$ (3.8)

Аналогичным образом определяем постоянные в критерии (3.2):

${\beta }_1=\frac{{\widehat{\phi }}_{\text{I+II}\text{,C}}^{\sigma }{\widehat{\phi }}_{\text{I+II}\text{,C}}^{\sigma }(G_{\text{IIC}}-G_{\text{IC}})-{\widehat{\phi }}_{\text{IC}}^{\sigma }{\widehat{\phi }}_{\text{IC}}^{\tau }(G_{\text{IIC}}-G_{\text{I+II}\text{,C}})}{{\widehat{\phi }}_{\text{IC}}^{\sigma }{\widehat{\phi }}_{\text{I+II}\text{,C}}^{\sigma }({\widehat{\phi }}_{\text{I+II}\text{,C}}^{\sigma }-{\widehat{\phi }}_{\text{IC}}^{\tau })},$ (3.9)

${\gamma }_1=\frac{{\widehat{\phi }}_{\text{IC}}^{\sigma }(G_{\text{IIC}}-G_{\text{I+II}\text{,C}})-{\widehat{\phi }}_{\text{I+II}\text{,C}}^{\sigma }(G_{\text{IIC}}-G_{\text{IC}})}{{\widehat{\phi }}_{\text{IC}}^{\sigma }{\widehat{\phi }}_{\text{I+II}\text{,C}}^{\sigma }({\widehat{\phi }}_{\text{I+II}\text{,C}}^{\sigma }-{\widehat{\phi }}_{\text{IC}}^{\tau })}.$ (3.10)

Наряду с критериями (3.1) и (3.2) из работы [16] приведен однопараметрический критерий разрушения адгезионного слоя:

$\left(1+\text{sign}\left(\overline{\sigma }\right){\beta }^{\prime }\right){\widehat{\phi }}^{\sigma }+{\widehat{\phi }}^{\tau }=G_{\text{IIC}},$ (3.11)

где ${\beta }^{\prime }=(G_{\text{IIC}}-G_{\text{IC}})/{\widehat{\phi }}_{\text{IC}}^{\sigma }$ - параметр, характеризующий “разрыхление” адгезива.

Для нахождения постоянных $\beta ,{\beta }_1,\gamma ,{\gamma }_1,\beta \text{'}$ необходимы данные критических значений J-интегралов для мод нагружения I, II. Кроме того, при нахождении $\beta ,{\beta }_1,\gamma ,{\gamma }_1$ необходимы значения предельных энергетических произведений энергий объема и формы для критической внешней нагрузки при нагружении по моде I и смешанной моды I+II. Для постоянной b¢ наряду с характеристиками G_IC и G_IIC достаточно знание предельного значения энергетического произведения энергии объема для критической внешней нагрузки при нагружении адгезива по моде I.

4. Нахождение критических состояний. Для нахождения напряженного состояния в тонком адгезионном слое при его смешанной моде нагружения воспользуемся решением [12] (2.1), (2.2). При определении энергетических произведений при нормальном разрыве адгезива принимаем решение в рамках теории пластин, полученное в работе [27] на основе деформирования ДКБ-образца, консоли которого сопрягаются адгезивом толщиной d₀. В силу того, что в решении [12] отсутствуют напряжения вдоль оси Ox₁, напряженное состояние в адгезиве при нормальном разрыве будет определяться одной компонентой тензора напряжений. Значение напряжения в вершине адгезионного слоя будет равно:

${\overline{\sigma }}_{22}=\frac{2\left(Q_2\right)\sqrt{6\left(1+\nu \right)}}{\sqrt{{\delta }_{0}h}}\sqrt{\frac{E_3}{E}}\left(\frac{a_1}{h}\sqrt{\left(1-\nu \right)}+\frac{1}{\sqrt{5}}\right),$ (4.1)

где a₁, h - длина свободной консоли и ее толщина в ДКБ-образце.

Решение (4.1) получено при допущении d₀/h << 1 и приводит к следующему значению для J-интеграла:

$G_I=\frac{{\overline{\sigma }}_{22}^2}{2E_3}{\delta }_0=\frac{12Q_2^2(1-{\nu }_1^2)}{h{E}_1}{\left(\frac{a}{h}\right)}^2{\left(1+\frac{1}{\sqrt{5(1-{\nu }_1)}}\left(\frac{h}{a}\right)\right)}^2\text{},$ (4.2)

которое совпадает с выражением, полученным в работах [28, 29], и предполагает существование относительно малого значения толщины слоя, при котором значения энергетических произведений не зависят от толщины слоя. Для случая рассматриваемого диапазона малых значений относительных толщин слоя напряжение на его торце в критическом состоянии при нормальном разрыве может быть найдено в виде:

${\overline{\sigma }}_{22}=\sqrt{\frac{2G_{\text{IÑ}}{E}_3}{{\delta }_0}}.$ (4.3)

Из (4.3) приходим к выражениям для энергетических произведений при нормальном разрыве слоя: ${\widehat{\phi }}_{\text{IC}}^{\sigma }=G_{\text{IC}}/3,$ ${\widehat{\phi }}_{IC}^{\tau }=2G_{\text{IC}}/3.$ В этом случае параметр разупрочнения в (3.11) будет равен ${\beta }^{\prime }=3(G_{\text{IIC}}/G_{\text{IC}}-1).$

Для нахождения значений (3.7)-(3.10) воспользуемся решениями (2.1), (2.2) для нахождения величин ${\widehat{\phi }}_{\text{I+II}\text{,C}}^{\sigma },{\widehat{\phi }}_{\text{I+II}\text{,C}}^{\tau }$ с учетом критической нагрузки F¹. При этом будем использовать как толщину адгезива, заданную в экспериментальном образце, так и толщину на два порядка меньшую при значениях G_IC и G_IIC согласно заявленным производителем и работы [24]. Рассмотрим погрешности ${△}_1,{△}_2,{△}_3$ выполнения критериев (3.1), (3.2), (3.11) в виде отношения расчетного значения правой части соответствующего критерия к величине G_IIC. Результаты расчетов при значении линейного параметра d₀, равном 200 мкм, поместим в табл. 1, а для величины, равной 2 мкм, в табл. 2. Значения в скобках соответствуют величинам G_IC и G_IIC, полученным в работе [24].

Таблица 1. Погрешности выполнения критериев разрушения при ${\delta }_0$ = 200 мкм

Таблица 2. Погрешности выполнения критериев разрушения при ${\delta }_0$ = 2 мкм

И результатов табл. 1 и табл. 2 видим, что двухпараметрические критерии наиболее более близки к экспериментальным данным по сравнению с однопараметрическим критерием. При этом квазилинейный относительно энергии деформации объема двухпараметрический критерий (3.1) имеет меньшую погрешность по сравнению с критерием (3.2), которая при определенных данных критических значений J-интегралов не превосходит 1%. Уменьшение значения линейного параметра стабилизирует расчетные значения и уменьшает погрешность, что оказалось более существенным для однопараметрического критерия.

5. Заключение. Рассмотрены двухпараметрические критерии, учитывающие влияние инвариантных составляющих плотности упругой энергии и гидростатическое давление на разрушение тонких адгезионных слоев. На основе аналитического решения и критических значений J-интегралов для моды I и II адгезива Araldite AV138 найдены коэффициенты для предложенных критериев. По известным данным разрушения SLJ соединений проведено тестирование предложенных критериев для смешанной моды нагружения I+II. Показано их хорошее соответствие экспериментальным результатам, при этом квазилинейный относительно плотности энергии деформации объема критерий наиболее близко описывает критическое состояние.

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда $№$ 23-21-00017, https://rscf.ru/project/23-21-00017/, в Тульском государственном университете.