Хрупкое разрушение упругого слоя с дефектом в виде окружности при его двухосном нагружении

Полный текст

Введение. Для плоской задачи о нагружении материального слоя с отверстиями возможно получение аналитических решений [1–3], среди которых выделим задачу о нагружении кругового отверстия в бесконечной среде. Рассматривая одноосное нагружение на бесконечности, приходим к задаче Кирша [4] решение которой приводит к нахождению коэффициента концентрации напряжений равному трем, который не зависит от радиуса отверстия. Принимая максимальное главное напряжение в качестве критерия разрушения приходим к тому, что вне зависимости от радиуса отверстия разрушение образца должно происходить при одной нагрузке. Однако экспериментальные данные свидетельствуют о существенной нелинейной зависимости [5–7], при которой для малых значений радиуса отверстия образец практически не реагирует на дефект, а при увеличении радиуса отверстия имеет место асимптотическая сходимость к постоянному значению. Объяснение данному экспериментальному факту в работах [6–8] дается посредством введения в модель сплошной среды линейного размера (ЛР). В статьях [6, 7] ЛР определяется исходя из решений механики трещин. В статье [8] относительно ЛР рассматривается влияние радиуса кривизны кругового отверстия на эффективный поток энергии растягивающих напряжений. Поток энергии в рамках дуги взаимодействия (ДВ) приводит к разрушению для относительно больших радиусов кривизны при значении внешней нагрузки, найденной по классическому решению задачи Кирша. В данной работе предлагается рассмотреть комбинированное нагружение [9] бесконечного материального слоя с круговым отверстием. На основе экспериментальных данных статьи [7] по критическому значению параметра нагружения для различных круговых вырезов определен ЛР исследуемого материала.

1. Постановка задачи. Рассматривается комбинированное нагружение линейно упругой среды с круговым отверстием согласно схеме рис. 1.

Рис. 1. Схема нагружения кругового отверстия.

Сжимающая распределенная нагрузка $P_2=-k_{2}p$ вдоль оси $x_2$ и растягивающая распределенная нагрузка $P_1=k_{1}p$ вдоль оси $x_1$ линейно связаны с параметром нагружения $p$, принимаемым положительной величиной. Соответствующая схема нагружения была реализована для материала дигидрат сульфата кальция (двухводного гипса) приготовленного из водного раствора высокопрочного гипса марки ГВВС-16 в работе [7] для отверстий диаметра $2a$, равных 1, 2, 5, 10, 15 и 20 мм при $k_1=0.143$, $k_2=0.764$. Методика эксперимента представлена в работе [9]. Предел прочности бездефектного исследуемого материала при сжатии составил C₀=34.11 МПа, а при растяжении – C₁=5.38 МПа [7]. Результаты эксперимента показывают влияние диаметра отверстия на локальную прочность материала. В работе [7] объяснение данного результата строится на основе подхода механики конечных трещин. Рассмотрим полученный результат исходя из анализа потока удельной свободной энергии через ДВ [8], определив при этом соответствующий ЛР – ${\delta }_0$ исследуемого материала.

Напряженное состояние на контуре кругового отверстия $r=a$ при двухосном растяжении запишем в виде [10]:

${\sigma }_{\text{r}r}\text{=}{\sigma }_{\text{r}\theta }\text{=\hspace{0.33em}}{\sigma }_{\theta \theta }{P}_{\text{1}}+P_{\text{2}}-\text{2}\left(P_{\text{1}}-P_{\text{2}}\right)\text{cos\hspace{0.33em}}2\theta$, (1.1)

где $r, \theta$ – полярные координаты, показанные на рис. 1.

Из (1.1) выпишем отличную от нуля компоненту тензора напряжений с учетом рассматриваемых граничных условий:

${\sigma }_{\theta \theta }=p\left(\left(k_1-k_2\right)-2\left(k_1+k_2\right)\cos 2\theta \right)=p\left(b_1+b_2\cos 2\theta \right)$, (1.2)

где $b_1=-0.621; b_2=-1.814$.

Из (1.2) приходим к двум экстремальным значениям, соответствующим четырем значениям полярного угла ${\sigma }_{\theta \theta }\left(0\right)={\sigma }_{\theta \theta }\left(\pi \right)=-2.435p;$ ${\sigma }_{\theta \theta }\left(\pi /2\right)={\sigma }_{\theta \theta }\left(3\pi /2\right)=cp=1.193p,$ где $c=b_1-b_2$ С учетом заявленных прочностных характеристик материала, при которых предел прочности на сжатие более чем в шесть раз превышает предел прочности на растяжение, получаем, что процесс разрушения на окружном вырезе будет локализоваться в окрестности значений полярного угла $\theta =\mathrm{\pi }/2$ и $\theta =3\mathrm{\pi }/2$ Без ограничения общности рассмотрим ДВ в окрестности значения $\theta =\mathrm{\pi }/2$ определяемую углом раствора $\alpha$, согласно рис. 1.

2. Нахождение потока энергии через дугу взаимодействия. Следуя работе [8], определим угол раствора следующим образом

$\alpha =2\arcsin {\delta }_0/2a$, (2.1)

где ${\delta }_0$ – линейный размер.

Распределение удельной свободной энергии вдоль контура отверстия согласно (1.2) запишем в виде

$\Psi =\frac{p^2}{2\widehat{E}}{\left(b_1+b_2\cos 2\theta \right)}^2$, (2.2)

где $\hat{E}=E$ в случае плоского напряженного состояния; $\hat{E}=E\left(1-v^2\right)$ при плоской деформации; $E$ – модуль Юнга; $v$ – коэффициент Пуассона.

Определим поток удельной свободной энергии через дугу взаимодействия в направлении вектора e₂ в виде:

$2\gamma =-{\int }_{\left(\pi -\alpha \right)/2}^{\left(\pi +\alpha \right)/2}{\mathbf{e}}_2\cdot \mathbf{n\Psi }ad\theta ={\int }_{\left(\pi -\alpha \right)/2}^{\left(\pi +\alpha \right)/2}a\mathbf{\Psi }\sin \theta d\theta$, (2.3)

где n – единичный вектор внешней нормали к дуге взаимодействия; $·$ – скалярное умножение.

В результате интегрирования (2.3) получаем

$2\gamma =\frac{p^2{\delta }_0{c}^2}{2\widehat{E}}\left(1+\frac{b_2}{3c}{\left(\frac{{\delta }_0}{a}\right)}^2+\frac{1}{20}{\left(\frac{b_2}{c}\right)}^2{\left(\frac{{\delta }_0}{a}\right)}^4\right)$. (2.4)

Из (2.4) при ${\delta }_0=2a$ получаем $2\gamma =0.8222\frac{p^2{\delta }_0{c}^2}{2\hat{E}}$, в случае ${\delta }_0\ll a-2\gamma =\frac{p^2{\delta }_0{c}^2}{2\hat{E}}$ – .

Таким образом при одинаковом значении параметра нагружения поток удельной свободной энергии в случае ${\delta }_0=2a$ практически на 20% меньше потока в случае ${\delta }_0\ll a$.

Положим, что разрушение охватывает ДВ, когда поток удельной свободной энергии через нее достигает критического значения [8]

$2\gamma =2{\gamma }_c$. (2.5)

Из (2.4) и (2.5) приходим к выражению для критического значения параметра нагружения

$p_c=\frac{2}{c}\sqrt{\frac{{\gamma }_c\widehat{E}}{{\delta }_0}}{\left(1+\frac{b_2}{3c}{\left(\frac{{\delta }_0}{a}\right)}^2+\frac{1}{20}{\left(\frac{b_2}{c}\right)}^2{\left(\frac{{\delta }_0}{a}\right)}^4\right)}^{-1/2}$. (2.6)

Критическое значение параметра нагружения найдем из решения (1.2) положив достижение окружного напряжения при $\theta =\mathrm{\pi }/2$ равным пределу прочности на растяжение $p_c=C_1/c$. Приравняв последнее выражение к значению (2.6) в случае ${\delta }_0\ll a$ приходим к выражению критического потока через энергетическое произведение [11]

$2{\gamma }_c=\frac{C_1^2}{2\widehat{E}}{\delta }_0$. (2.7)

Из (2.6), (2.7) получаем

${\widehat{p}}_c=\frac{1}{c}{\left(1+\frac{b_2}{3c}{\left(\frac{{\delta }_0}{a}\right)}^2+\frac{1}{20}{\left(\frac{b_2}{c}\right)}^2{\left(\frac{{\delta }_0}{a}\right)}^4\right)}^{-1/2}$, (2.8)

где ${\hat{p}}_c=p_c/C_1$.

В случае ${\delta }_{\text{0}}=\text{2}a$ ${\widehat{p}}_c\approx \mathrm{0.92,}$ а в случае ${\delta }_0\ll a$ ${\widehat{p}}_c\approx \mathrm{0.83.}$Экстремальное максимальное значение функции (10) ${\widehat{p}}_c\approx 1.26$ находится в точке ${\delta }_0/a=\sqrt{-10A/3b_2}\approx \mathrm{1.48.}$ Используем точку экстремума функции (10) для определения ЛР.

3. Нахождение линейного размера. На рис. 2 приведем экспериментальные данные работы [7], отнеся их к пределу прочности при растяжении образца. На рис. 2 непрерывной линией приведена аппроксимирующая кривая, построенная на основе экспоненциальной функции $n_1{e}^{n_2{x}_1}+n_3$, где $n_1, n_2, n_3$ – постоянные, определяемые методом наименьших квадратов. Экспериментальные данные работы [7] на рис. 2 выделены кругами. Точечной линией построена прямая ${\hat{p}}_c=0.83$.

Рис. 2. Данные эксперимента и их интерпретация. Размерность оси абсцисс в мм.

Для нахождения ЛР проведем прямую ${\hat{p}}_c=1.26$ пересечения с аппроксимирующей кривой. Из точки пересечения М опустим перпендикуляр до пересечения с осью абсцисс. Данное значение диаметра $2a\text{'}$ отверстия после нормирования будет определять ЛР материала ${\delta }_0=\sqrt{(-10c/(3b_2\left)\right)}\left(2a^{\text{'}}\right)/2$.

По представленной на рис. 2 зависимости находим $2a\text{'}\approx 4$ мм. Таким образом получаем ${\delta }_0=3$ мм. На рис. 2 пунктирной линией построена кривая (2.8) с найденным ЛР. В этом случае допустимый радиус отверстия, для которого возможно проводить расчет предельной нагрузки в рамках предложенного критерия разрушения будет определяться диапазоном $0\ge a\text{'}$.

Заключение. Показано, что формулировка условия прочности в виде достижения потоком удельной свободной энергии через ДВ критического значения позволяет получить зависимость критического состояния от радиуса отверстия и ЛР в упругом слое при комбинированном нагружении на бесконечности. При этом ЛР является характеристикой материала, связывающей предложенный критерий прочности с классическими критериями.

На основе известных экспериментальных данных о критическом состоянии слоев с круговыми отверстиями различных радиусов предложена процедура нахождения ЛР. Проведена оценка ЛР высокопрочного гипса марки ГВВС-16.

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 23-21-00017, https://rscf.ru/project/23-21-00017/, в Тульском государственном университете.

Об авторах

В. В. Глаголев

Автор, ответственный за переписку.
Email: vadim@tsu.tula.ru
Россия, Тула

А. А. Маркин

Email: markin-nikram@yandex.ru
Россия, Тула

Список литературы

Дополнительные файлы

Доп. файлы

Действие

1. JATS XML

Скачать

2. Рис. 1. Схема нагружения кругового отверстия.

Скачать (86KB)

Метаданные

3. Рис. 2. Данные эксперимента и их интерпретация. Размерность оси абсцисс в мм.

Скачать (71KB)

Метаданные