Quaternion Solution of the Problem on Optimum Control of the Orientation of a Solid (SPACECRAFT) with a Combined Quality Criteria

Full Text

Введение. Подробно изучена задача переориентации твердого тела, например, космического аппарата (КА) из исходного углового положения в положение заданной ориентации. Главным отличием предложенного решения является использование нового показателя качества в условиях ограниченности управляющих переменных.

Огромное количество работ изучают проблемы управления угловым положением твердого тела в различных формулировках и использующих широкий диапазон методов решения [1–26]. Например, одни авторы предлагают синтез оптимального управлении, основанный на методе аналитического конструирования оптимальных регуляторов [1], другие используют концепцию обратных задач динамики для получения гладких управлений для реализации пространственного вращения КА, когда программная траектория разыскивается в классе полиномов заданной степени, коэффициенты которых определяются известными значениями фазовых переменных в граничных точках траектории [2]. Особое внимание уделяется проблемам оптимального управления [1, 3–24]. Методы оптимизации различны. В частности, решения задачи переориентации твердых тел различной конфигурации, основанные на принципе максимума Л.С. Понтрягина, рассматриваются в [8–24]. Ранее использовались классические критерии качества процесса управления (быстродействие [4–12], минимум расхода топлива [13], минимум энергозатрат [11, 13, 14] и др.); более подробно рассмотрены кинематические задачи разворота [15–18]. Задачи оптимального управления в динамической постановке представляют особый интерес, однако они встречают определенные сложности при решении краевой задачи разворота; в отдельных частных случаях управления за фиксированное время краевая двухточечная задача разворота может быть решена методом разделения переменных [13]. Практически важными остаются аналитические решения задачи оптимального управления разворотом. Однако получить их для тел с произвольным сочетанием моментов инерции крайне затруднительно. Некоторые решения (в том числе аналитические) известны для оптимальных разворотов сферически-симметричных [12, 19] и динамически симметричных тел [9, 11, 16, 20–22].

Ниже решается задача оптимального разворота твердого тела (КА) с использованием нового показателя качества, объединяющего в заданной пропорции вклад управляющих сил на совершение маневра (по энергозатратам) и интеграл энергии вращения (наличие интеграла энергии вращения приводит к ограничению кинетической энергии во время разворота); фазовыми переменными являются кватернион ориентации и кинетический момент твердого тела (КА). Решаемая задача отличается от других задач с комбинированным функционалом видом функционала, а также наличием ограничений на управление [21–23].

1. Постановка оптимизационной задачи управления. Вращательное движение твердого тела (КА) описывает следующее уравнение [12]:

$\dot{\mathbf{L}}+\left(I^{-1}\mathbf{L}\right)\times \mathbf{L}=\mathbf{M}$ (1.1)

и кинематическое уравнение [12]

$2\dot{\Lambda }=\Lambda \circ I^{-1}{\mathbf{L}}_{ }$, (1.2)

где L − кинетический момент КА; М − управляющий момент; I − тензор инерции КА; Λ c нормированный кватернион [12], задающий движение связанного базиса относительно инерциального базиса (||Λ||= 1), “$\circ$” – знак умножения кватернионов [12, с. 11−20]. Управление КА вокруг центра масс производится за счет изменения момента М. Считается, что область допустимых управлений М подобна эллипсоиду инерции КА [11]:

$\frac{M_1^2}{J_1}+\frac{M_2^2}{J_2}+\frac{M_3^2}{J_3}\le u_0^2$, (1.3)

где u₀ > 0 определяет управляющие возможности системы ориентации КА; М_i − проекции управляющего момента М на главные центральные оси эллипсоида инерции КА (эти оси образуют связанный базис); J_i − главные центральные моменты инерции КА (i = _{$\overline{1,3}$}). На практике интересны задачи, когда в начальный и конечный моменты времени кинетический момент L равен нулю. Выпишем граничные условия для управляемой системы (1.1)–(1.3):

$\Lambda {\left(0\right)}_{ }{=}_{ }{\Lambda }_{in}, \mathbf{L}{\left(0\right)}_{ }=0$ (1.4)

$\Lambda {\left(T\right)}_{ }{=}_{ }{\Lambda }_f, \mathbf{L}{\left(T\right)}_{ }{=}_{ }0$, (1.5)

где Т − время завершения маневра. Кватернионы Λ_in и Λ_f удовлетворяют условию ||Λ_in|| =||Λ_f||= 1. Учитывая, что кватернионы Λ и Λ соответствуют одному и тому же угловому положению твердого тела (КА), мы рассматриваем только те задачи, в которых Λ_f ≠ ±Λ_in .

Предполагается, что вращательное движение КА регулируется с помощью системы ориентации, создающей вращающие моменты относительно трех главных центральных осей инерции. Оптимальным считаем управление, при котором достигается минимум следующей величины

$G=k_0\underset{0}{\overset{T}{\int }}\left(M_1^2/J_1+M_2^2/J_2+M_3^2/J_3\right)dt+\underset{0}{\overset{T}{\int }}\left(L_1^2/J_1+L_2^2/J_2+L_3^2/J_3\right)dt$, (1.6)

где k₀ > 0 – постоянный положительный коэффициент (k₀ ≠ 0); L_i − проекции кинетического момента КА L на оси связанного базиса. Задачу оптимального управления сформулируем в следующей постановке: КА требуется перевести из состояния (1.4) в состояние (1.5) согласно уравнениям (1.1), (1.2) с ограничением (1.3) так, чтобы сумма (1.6) была минимальной (время Т задано). Решение М (t) находится в классе кусочно-непрерывных функций времени.

Принятый критерий качества (1.6) отличает предлагаемую оптимизационную задачу от рассмотренных ранее задач видом минимизируемого функционала при наличии ограничения (1.3). Присутствие в показателе (1.6) интеграла энергии ограничивает кинетическую энергию вращения E_k во время разворота, делая ее минимально возможной на заданном интервале управления (коэффициент k₀ ≠ 0). Так как время Т фиксировано, а управление М ограничено, то требуемый маневр может быть исполнен не для всех значений Λ_in, Λ_f и J₁, J₂, J₃, k₀, u₀. Задача оптимального разворота КА с ограниченным управлением, в которой качество процесса управления определяется индексом (1.6), остается актуальной.

Заметим, что оптимизация разворотов с минимальными затратами на основе (1.6) оказывается полезной для КА с системой ориентации, использующей электроракетные двигатели (ЭРД), поскольку при управлении с помощью ЭРД (в частности, ионными двигателями) первый интеграл в показателе (1.6) пропорционален потребляемой электроэнергии (тяга ЭРД прямо-пропорциональна потребляемому электрическому току [27], с высокой степенью достоверности, а вращающий момент пропорционален плечу установки управляющего ЭРД).

2. Применение принципа максимума. Рассматриваемая задача (1.1)–(1.6) есть задача динамического оптимального разворота твердого тела [12], в которой моменты М_i – управляющие функции ($i=\overline{1,3}$). Поставленную задачу (1.1)–(1.6) решаем с помощью процедуры принципа максимума Л.С. Понтрягина [28]. Введем сопряженные переменные φ , которые соответствуют проекциям кинетического момента КА L_i ($i=\overline{1,3}$). Так как в критерий качества (1.6) не входят элементы кватерниона ориентации Λ, мы вместо сопряженных функций ψ_j , соответствующих компонентам λ _j кватерниона Λ, используем следующие переменные r_i ($i=\overline{1,3}, j=\overline{0,3}$) :

$r_1=\left({\lambda }_0{\psi }_1+{\lambda }_3{\psi }_2-{\lambda }_1{\psi }_0-{\lambda }_2{\psi }_3\right)/\mathrm{2,}$ $r_2=\left({\lambda }_0{\psi }_2+{\lambda }_1{\psi }_3-{\lambda }_2{\psi }_0-{\lambda }_3{\psi }_1\right)/\mathrm{2,}$ $r_3=\left({\lambda }_0{\psi }_3+{\lambda }_2{\psi }_1-{\lambda }_3{\psi }_0-{\lambda }_1{\psi }_2\right)/2$.

Такой прием применяли многие исследователи [10–24], но с другими функционалами качества (чистые быстродействие, минимум энергозатрат и пр.); впервые указанную замену переменных сделали В.Н. Бранец, И.П. Шмыглевский и М.Б. Черток, Ю.В. Казначеев [11, 12]. Оптимальные функции r_i и вектор r, образованный из r_i , удовлетворяют уравнениям

${\dot{r}}_1=L_3{r}_2/J_3-L_2{r}_3/J_2,$ ${\dot{r}}_2=L_1{r}_3/J_1-L_3{r}_1/J_3,$ ${\dot{r}}_3=L_2{r}_1/J_2-L_1{r}_2/J_1,$

$\dot{\mathbf{r}}=\mathbf{r}\times \left(I^{-1}\mathbf{L}\right)$ (2.1)

(символ × означает векторное произведение векторов).

Составим функцию Гамильтона–Понтрягина для оптимизационной задачи (1.1), (1.6)

$\begin{array}{c}H= -k_0\left(M_1^2/J_1+M_2^2/J_2+M_3^2/J_3\right)-\\ -\left(L_1^2/J_1+L_2^2/J_2+L_3^2/J_3\right)+\\ +{\phi }_{1 }\left(M_{1 }+ \left(1/J_3-1/J_2\right)L_2{L}_3\right)+\\ +{\phi }_{2 }\left(M_{2 }+ \left(1/J_1-1/J_3\right)L_1{L}_3\right)+\\ +{\phi }_{3 }\left(M_{3 }+ \left(1/J_2-1/J_1\right)L_1{L}_2\right)+\\ +L_1{r}_1/J_1+L_2{r}_2/J_2+L_3{r}_3/J_3.\end{array}$

Уравнения для φ_i получаются из формул [28]

${\dot{\phi }}_i=-\frac{\partial H}{\partial L_i}\left(i=\overline{\mathrm{1,}3}\right)$.

Поэтому сопряженная система выглядит следующим образом:

$\begin{array}{c}{\dot{\phi }}_1=2L_1/J_1+L_3{\phi }_2\left(1/J_3-1/J_1\right)+\\ +L_2{\phi }_3\left(1/J_1-1/J_2\right)-r_1/J_1\end{array}$

$\begin{array}{c}{\dot{\phi }}_2=2L_2/J_2+L_1{\phi }_3\left(1/J_1-1/J_2\right)+\\ +L_3{\phi }_1\left(1/J_2-1/J_3\right)-r_2/J_2\end{array}$ (2.2)

$\begin{array}{c}{\dot{\phi }}_3=2L_3/J_3+L_2{\phi }_1\left(1/J_2-1/J_3\right)+\\ +L_1{\phi }_2\left(1/J_3-1/J_1\right)-r_3/J_3.\end{array}$

При составлении функции Гамильтона–Понтрягина ограничение || Λ ||= 1 не учитывалось в силу равенства || Λ(0)|| = 1, о чем ранее было сказано. Вектор r неподвижен относительно инерциального базиса и | r | = const > 0 (постоянство модуля | r | следует из свойств уравнений (2.1)). Решение r(t) системы (2.1) определяется начальным Λ_in и конечным Λ_f положениями КА. Оптимальная функция r(t) вычисляется, используя кватернион L(t) [12]:

$\mathbf{r}=\stackrel{\mathbf{~}}{\mathbf{\Lambda }}\circ {\mathbf{c}}_E\circ \mathbf{\Lambda },$ где ${\mathbf{c}}_E=\mathrm{const}={\mathbf{\Lambda }}_{in}\circ \mathbf{r}\left(0\right)\circ {\stackrel{\mathbf{~}}{\mathbf{\Lambda }}}_{in}$,

причем r(0) ≠ 0 (в противном случае r₁ = r₂ = r₃ ≡ 0 и дальше не имеет смысла решать оптимизационную задачу). Здесь $\stackrel{\mathbf{~}}{\mathbf{\Lambda }}$ – сопряженный кватерниону Λ кватернион [12, с. 10–22].

Задача поиска оптимального управления состоит в решении системы дифференциальных уравнений (1.1), (1.2), (2.1), (2.2) с ограничением (1.3) с одновременной максимизацией функции Н в каждый текущий момент времени t и выполнением краевых условий (1.4), (1.5).

2.1. Определение структуры оптимального управления. Найдем условия максимума функции Н. Пусть $u_i=M_i/\sqrt{J_i}$ и $n_i={\phi }_i\sqrt{J_i}$ (i = _{$\overline{1,3}$}), u = {u₁ , u₂ , u₃}, n = {n₁ , n₂ , n₃}; а векторы u и n образуют угол δ. Тогда

$H=\mathbf{u}\cdot \mathbf{n}-k_0{\left|\mathbf{u}\right|}^2+H_{inv}=\left|\mathbf{n}\right|\left|\mathbf{u}\right|\cos \delta -k_0{\left|\mathbf{u}\right|}^2+H_{inv}$,

где H_inv в явном виде не зависит от управляющих моментов M_i (знак умножения “ ⋅ ” означает скалярное произведение векторов). Функция Н максимальна, если δ = 0. Если u≤ u₀ , то максимум функции Н по аргументу u находится внутри отрезка [0 , u₀] и совпадает с локальным максимумом. Гамильтониан Н – квадратичная функция управлений M_i , и локальный максимум определяется необходимыми условиями экстремума $\partial H/\partial M_i=0$, из которых следует

$M_i{=}_{ }{J}_i{\phi }_i/ \left(2k_0\right)$. (2.3)

Управление (2.3) будет оптимальным, если $J_1{\phi }_1^2+J_2{\phi }_2^2+J_3{\phi }_3^2\le 4k_0^2{u}_0^2$.

Если $J_1{\phi }_1^2+J_2{\phi }_2^2+J_3{\phi }_3^2>4k_0^2{u}_0^2$, то точка экстремума функции Н находится за пределами отрезка 0 ≤ u≤ u₀ , и Н достигает максимума на границе указанного отрезка и когда векторы u и имеют одинаковое направление, т.е. в оптимальном решении u = u₀, а значит,

$M_i=\frac{u_0{J}_i{\phi }_i}{\sqrt{J_1{\phi }_1^2+J_2{\phi }_2^2+J_3{\phi }_3^2}},$ $i=\overline{1,3}$.

Объединяя оба случая, получили следующую структуру оптимального управления для M_i

$M_i=\left\{\begin{array}{cc}{J}_i{\phi }_i/ \left(2k_0\right),& J_1{\phi }_1^2+J_2{\phi }_2^2+J_3{\phi }_3^2\le 4k_0^2{u}_0^2\\ \frac{u_0{J}_i{\phi }_i}{\sqrt{J_1{\phi }_1^2+J_2{\phi }_2^2+J_3{\phi }_3^2}},& J_1{\phi }_1^2+J_2{\phi }_2^2+J_3{\phi }_3^2>4k_0^2{u}_0^2\end{array}\right.$. (2.4)

Система уравнений (2.1), (2.2), (2.4) – необходимые условия оптимальности для задачи (1.1)−(1.6). Решение системы уравнений (1.1), (2.1), (2.2), (2.4) существует и оно единственное (при условии L(0) = L(Т) = 0). Вектор r(0) должен быть таким, чтобы после интегрирования системы (1.1), (1.2), (2.1), (2.2), (2.4) с начальным условием Λ(0) = Λ_in удовлетворялось требование Λ(Т) = Λ_f для траектории Λ(t ).

Введем обозначение r₀ = |r (t)|= const ≠ 0 и перейдем к нормированному вектору р = r / |r|, у которого p_i = r_i / r₀ . Для вектора р и его составляющих p_i выполняются уравнения

$\dot{\mathbf{p}}=\mathbf{p}\times \left(I^{-1}\mathbf{L}\right),$ ${\dot{p}}_1=L_3{p}_2/J_3-L_2{p}_3/J_2,$ ${\dot{p}}_2=L_1{p}_3/J_1-L_3{p}_1/J_3$,

${\dot{p}}_3=L_2{p}_1/J_2-L_1{p}_2/J_1$. (2.5)

Замкнутая система уравнений (1.1), (1.2), (2.1), (2.2), (2.4) позволяет найти оптимальное управление. Задача поиска оптимальной программы вращения КА свелась к решению системы уравнений движения (1.1), (1.2), сопряженных уравнений (2.2) и уравнений (2.5) с равенствами r_i = r₀p_i при наличии закона (2.4) для управляющих моментов M_i . Искомое оптимальное решение удовлетворяет следующим соотношениям:

${\phi }_i=a\left(t\right)p_i/J_i$ (2.6)

${L_i}_{ }= b\left(t\right){p_i}_{ }$, (2.7)

где a(t), b (t) – скалярные функции времени (b (t) ≥ 0 на всем отрезке времени t _∈ [0 , T ]).

Из (2.1), (2.2), (2.4) видим, что оптимальные функции a(t), b(t) удовлетворяют зависимости

$\dot{a}\left(t\right)= 2b\left(t\right) - r_0$. (2.8)

Последовательная подстановка (2.6) в (2.2), имея ввиду (2.7) и r_i = r₀ p_i , подтверждает, что решение (2.6), (2.7) действительно справедливо для системы дифференциальных уравнений (1.1), (2.2), (2.4), (2.5) (зависимости (2.7) прямо следуют из системы (1.1), (2.4), (2.5) с учетом (2.6)). После обозначения φ – вектор с компонентами φ _i , $I=\text{diag}(J_1,J_2,J_3)$ − тензор инерции твердого тела, перепишем систему (2.2) в векторном виде:

$\dot{\mathbf{\phi }}=2I^{-1}\mathbf{L}+I^{-1}\left(\mathbf{L}\times \mathbf{\phi }\right)+\mathbf{\phi }\times \left(I^{-1}\mathbf{L}\right)-I^{-1}\mathbf{r}$. (2.9)

Учитывая (2.5), (2.6), (2.7), левая часть уравнения (2.9) будет следующей:

$\dot{\mathbf{\phi }}=I^{-1}\left(a\dot{\mathbf{p}}+\dot{a}\mathbf{p}\right)=a{I}^{-1}\left(\mathbf{p}\times \left(I^{-1}\mathbf{L}\right)\right)+\dot{a}{I}^{-1}\mathbf{p}=ab{I}^{-1}\left(\mathbf{p}\times \left(I^{-1}\mathbf{p}\right)\right)+\dot{a}{I}^{-1}\mathbf{p}$ .

Найдем теперь правую часть уравнения (2.9), учитывая (2.6), (2.7). Она такова

$2I^{-1}b\mathbf{p}+ab{I}^{-1}\left(\mathbf{p}\times \left(I^{-1}\mathbf{p}\right)\right)+ab\left(I^{-1}\mathbf{p}\right)\times \left(I^{-1}\mathbf{p}\right)-r_0{I}^{-1}\mathbf{p}$.

Левая и правая части (2.9) тождественно равны, только если a(t) и b (t) удовлетворяют (2.8).

Управляющие функции M_i пропорциональны компонентам p_i вектора p, т.е.

$M_i{=}_{ }{m}_{ }\left(t\right)p_i$ (2.10)

(a(t) и константа k₀u₀ определяют m (t)). Функция m (t) такова:

$m\left(t\right)=\left\{\begin{array}{cc} a\left(t\right)/ \left(2k_0\right),& a^2\left(t\right)\left(p_1^2/J_1+p_2^2/J_2+p_3^2/J_3\right)\le 4k_0^2{u}_0^2\\ \frac{u_0\text{sign}a\left(t\right)}{\sqrt{p_1^2/J_1+p_2^2/J_2+p_3^2/J_3}},& a^2\left(t\right)\left(p_1^2/J_1+p_2^2/J_2+p_3^2/J_3\right)>4k_0^2{u}_0^2\end{array}\right.$

Оптимальное движение, соответствующее уравнениям (2.5), (2.7), имеет свойство $p_1^2/J_1+p_2^2/J_2+p_3^2/J_3=\text{const}$. Для проверки этого утверждения достаточно продифференцировать по времени левую часть данного равенства с учетом (2.5), (2.7) и убедиться, что полученная производная равна нулю после подстановки по формуле (2.5), а затем L_i по (2.7).

Принимая во внимание (2.4), (2.7) и свойства зависимости а(t), имеем

$m\left(t\right)=\left\{\begin{array}{cc}a\left(t\right)/ \left(2k_0\right),& a\left(t\right)\le 2k_0{m}_{0 }\\ m_{0 }{\text{sign}}_{ }a\left(t\right),& a\left(t\right)>2k_0{m}_{0 }\end{array}\right.$,

где m₀ = u₀ / С ; $C=\sqrt{p_{10}^2/J_1+p_{20}^2/J_2+p_{30}^2/J_3}$, р_{i 0} = р_i (0). Скалярная функция времени m (t) не выходит за пределы диапазона от −m₀ до m₀ , поэтому |M|≤ m₀ .

2.2. Главные свойства и возможные версии оптимального управления. При любом варианте оптимального управления a (0) > 0 , a (T) < 0, а функции b(t) и m(t) связаны так

$b\left(t\right)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}m\left(t\right)dt,b\left(0\right)=\mathrm{0,}b\left(T\right){=}_{ }\mathrm{0,}\dot{b}=m\left(t\right)$

(связь $\dot{b}=m\left(t\right)$ получается из динамических уравнений (1.1) и (2.4), (2.5)). Для оптимальной функции a(t) получаем следующее дифференциальное уравнение: $\ddot{a}=2\dot{b}=2m\left(t\right)$. Если _|a(t)|≤ 2k₀m₀ , то $\ddot{a}=a/k_0$; если |a(t)|> 2k₀m₀, то $\ddot{a}=2m_0\text{sign}a\left(t\right)$. На всем интервале времени t _∈[0 , T ] а(t) – гладкая функция времени. Поведение функций m(t) и b(t) при оптимальном управлении наглядно демонстрирует рис. 1, где t₁ и t₂ – времена наступления равенств a(t) = 2k₀m₀ и a(t) = -2k₀m₀. Оптимальная функция b(t) описывается зависимостью:

$b{\left(t\right)}_{ }=\left\{\begin{array}{c}{m}_{0}t, t_{ }{\le }_{ }{t}_{1 }\\ \left(C_2\exp \left(\left(t-t_1\right)/\sqrt{k_0}\right)/\sqrt{k_0}-C_1\exp \left(\left(t_1-t\right)/\sqrt{k_0}\right)/\sqrt{k_0}+r_0\right)/2,t_1<t<t_2,\\ m_0(T_{ }- t), t{\ge }_{ }{t}_{2 }\end{array}\right.$ (2.11)

где C₁ и C₂ – некоторые константы. Соответственно, функция m(t) выглядит таким образом:

$m{\left(t\right)}_{ }=\left\{\begin{array}{c}{m}_0, t_{ }{\le }_{ }{t}_{1 }\\ \left[C_1\exp \left(\left(t_1-t\right)/\sqrt{k_0}\right)+C_2\exp \left(\left(t-t_1\right)/\sqrt{k_0}\right)\right]/\left(2k_0\right),t_1<t<t_2\\ -m_0, t\ge t_{2 }\end{array}\right.$, (2.12)

поскольку в интервале времени, когда |a(t)|≤ 2k₀m₀ , функция а(t) имеет вид:

$a\left(t\right)=C_1\exp \left(\left(t_1-t\right)/\sqrt{k_0}\right)+C_2\exp \left(\left(t-t_1\right)/\sqrt{k_0}\right)$.

Рис. 1. Вид оптимальных функций m(t) и b(t).

Необходимо отметить, что значения C₁ и C₂ должны удовлетворять равенствам

$C_1+C_2=2k_0{m}_0,$

$C_1\exp \left(\left(2t_1-T\right)/\sqrt{k_0}\right)+C_2\exp \left(\left(T-2t_1\right)/\sqrt{k_0}\right)=-2k_0{m}_0$,

так как в момент времени t₁ функция a(t) равна a(t₁) = 2k₀m₀, а в момент времени t₂ функция a(t) будет a(t₂) = -2k₀m₀ . Отсюда получаем следующие соотношения:

$C_1=-C_2\exp \left(\left(T-2t_1\right)/\sqrt{k_0}\right),$ $C_1=2k_0{m}_0/\left(1-\exp \left(\left(2t_1-T\right)/\sqrt{k_0}\right)\right)$

$C_2=2k_0{m}_0/\left(1-\exp \left(\left(T-2t_1\right)/\sqrt{k_0}\right)\right)$,

так как b(t₂) = b(t₁) = m₀t₁ и t₂ = T –t₁ . Нетрудно видеть, что a (T) = –a (0) и a (T/2) = 0, $\dot{a}(T/2)<0$.

Краевая задача принципа максимума состоит в определении вектора p(0) и величины r₀ > 0, при которых решение системы уравнений (1.1), (1.2), (2.2), (2.4), (2.5) с начальными условиями (1.4) и связью r_i = r₀p_i удовлетворит краевым условиям (1.5).

Существование точек переключения t₁ , t₂ зависит от интеграла

$Q =\underset{0}{\overset{T}{\int }}b\left(t\right)dt$, (2.13)

который не зависит от характера изменения функции b (t) и определяется исключительно кватернионами Λ_in , Λ_f и моментами инерции J₁ , J₂ , J₃ [18] (величина Q рассчитывается одновременно с вектором р₀).

Если m₀T² < 4Q , то решения задачи разворота (1.1)(1.6) не существует, так как $T_{fast}=2\sqrt{Q/m_0}$ – минимально возможное время разворота твердого тела с моментами инерции J₁ , J₂ , J₃ из положения (1.4) в положение (1.5) при ограничении (1.3) [8].

Если m₀T² = 4Q , то |M|= const = m₀ на всем интервале управления t _∈[0 , T ] независимо от значения коэффициента k₀ .

Если $Q\left(\exp \right(T/\sqrt{k_0})-1)\le 2m_0\left[T\right(\exp (T/\sqrt{k_0})+1)\sqrt{k_0}/2-k_0(\exp (T/\sqrt{k_0})-1\left)\right]$, то в любой момент времени M≠ const, поскольку в этом случае a(0) ≤ 2k₀m₀ , и |a(t)|≤ 2k₀m₀ при любом t _∈[0 , T ]. Ограничение (1.3) не существенно при таком сочетании величин Q, k₀ , m₀ и T.

Если $Q\left(\exp \right(T/\sqrt{k_0})-1)>2m_0\left[T\right(\exp (T/\sqrt{k_0})+1)\sqrt{k_0}/2-k_0(\exp (T/\sqrt{k_0})-1\left)\right]$, то m(0) = m₀ и в оптимальном управлении неизбежны интервалы времени, на которых |M| = const. На участке, когда |M| ≠ const, справедливо уравнение , и функции a(t) , b(t) таковы:

$a\left(t\right)=C_1\exp \left(\left(t_1-t\right)/\sqrt{k_0}\right)+C_2\exp \left(\left(t-t_1\right)/\sqrt{k_0}\right);$

$C_2=-C_1\exp \left(\left(2t_1-T\right)/\sqrt{k_0}\right),$

$b\left(t\right)=m_0{t}_1+\left(\begin{array}{c}{C}_2\exp \left(\left(t-t_1\right)/\sqrt{k_0}\right)-\\ -C_1\exp \left(\left(t_1-t\right)/\sqrt{k_0}\right)+C_1-C_2\end{array}\right)/\left(2\sqrt{k_0}\right)$.

Значение интеграла (2.13) равно

$\begin{array}{c}Q=m_0{t}_1\left(T-t_1\right)+\\ +\frac{\sqrt{k_0}}{2}\underset{0}{\overset{T-2t_1}{\int }}\left(\begin{array}{c}{C}_2\exp \left(\tau /\sqrt{k_0}\right)-C_1\times \\ \times \exp \left(-\tau /\sqrt{k_0}\right)+C_1-C_2\end{array}\right)d\tau \end{array}$

Точка переключения t₁ определяется из уравнения

$\frac{\left(Q-m_0{t}_1\left(T-t_1\right)\right)\left(\exp \left(\left(T-2t_1\right)/\sqrt{k_0}\right)-1\right)}{\left(T-2t_1\right)\left(\exp \left(\left(T-2t_1\right)/\sqrt{k_0}\right)+1\right)\sqrt{k_0}/2-k_0\left(\exp \left(\left(T-2t_1\right)/\sqrt{k_0}\right)-1\right)}=2m_0$.

Значение t₂ = T – t₁ . Постоянные С₁ и С₂ , а также r₀ рассчитываются по выражениям:

$C_1=\frac{k_0\left(Q-m_0\left(T-t_1\right)t_1\right)}{0.5\sqrt{k_0}\left(T-2t_1\right)\left(\exp \left(\left(2t_1-T\right)/\sqrt{k_0}\right)+1\right)+k_0\left(\exp \left(\left(2t_1-T\right)/\sqrt{k_0}\right)-1\right)}$ (2.14)

$C_2=\frac{k_0\left(m_0\left(T-t_1\right)t_1-Q\right)}{0.5\sqrt{k_0}\left(T-2t_1\right)\left(\exp \left(\left(T-2t_1\right)/\sqrt{k_0}\right)+1\right)-k_0\left(\exp \left(\left(T-2t_1\right)/\sqrt{k_0}\right)-1\right)}$.

$r_0 = 2m_0{t}_1+\left(C_1-C_2\right)/\sqrt{k_0}$.

Максимальное значение кинетического момента b_max равно

$b_{\max }=m_0{t}_1+\left[\begin{array}{c}{C}_2\exp \left(\left(T/2-t_1\right)/\sqrt{k_0}\right)-\\ -C_1\exp \left(\left(t_1-T/2\right)/\sqrt{k_0}\right)+C_1-C_2\end{array}\right]\sqrt{k_0}/2$.

Важным свойством оптимального управления является постоянство пропорции между кинетической энергией вращения Е_k и квадрата модуля кинетического момента КА.

$E_k=b^2\left(p_1^2/J_1+p_2^2/J_2+p_3^2/J_3\right)/2=\text{const}$

$E_k/{\left|L\right|}^2=(p_1^2/J_1+p_2^2/J_2+p_3^2/J_3)/2=\text{const}$,

так как b² = | L |² (это видно из (2.7)) и $p_1^2/J_1+p_2^2/J_2+p_3^2/J_3=\text{const=}{p}_{10}^2/J_1+p_{20}^2/J_2+p_{30}^2/J_3$, где р₁₀ , р₂₀ , р₃₀ – составляющие вектора p₀ = p(0).

Гамильтониан Н не зависит от времени в явной форме, поэтому на оптимальной траектории Н = const на всем интервале управления t _∈[0 , T ] [29]. В начальный момент времени t = 0, $H\left(0\right)=a\left(0\right)m_0{C}^2-k_0{u}_0^2$; в конечный момент времени t = T, $H\left(T\right)=-a\left(T\right)m_0{C}^2-k_0{u}_0^2$. Откуда a(T) = – a(0) и $a\left(0\right)=\left(H\right(0)+k_0{u}_0^2)/\left(u_{0}C\right)$. В момент времени t = T/2 будет a (T/2) = 0 и H(T/2) = b_maxC²(r₀ – b_max). В момент времени t = t₁ имеем _{$H\left(t_1\right)=u_0^2(k_0-t_1^2)+r_0{t}_1{u}_{0}C$}= H(t₂). На участках, когда |M|= const, функции a(t) , b(t) таковы:

$\begin{array}{c}a\left(t\right) = H_{ }/ \left(u_{0}C\right) {+}_{ }{k}_0{m}_0-r_{0}t + m_0{t^{ }}^2,еслиt_{ }{\le }_{ }{t}_{1 } \\ a\left(t\right) = r_0(T_{ }- t)- m_0{{(T_{ }- t)}^{ }}^2- H_{ }/ \left(u_{0}C\right) - k_0{m}_{0 }{,}_{}еслиt{\ge }_{ }{t}_{2 }\\ b\left(t\right) = m_{0}t,еслиt_{ }{<}_{ }{t}_{1 }; и b\left(t\right) = m_0\left(T- t\right),еслиt\ge t_2.\end{array}$

Нетрудно убедиться, что в любой момент времени $H=u_0^2\left(k_0+t_1^2\right)+\left(C_1-C_2\right)u_0{t}_{1}C/\sqrt{k_0}$. Соответственно, a(0) =$m_0(2k_0+t_1^2)+t_1(C_1-C_2)/\sqrt{k_0}$. При любых значениях Q , k₀ и T выполняются условия C₁ > 0, C₂ < 0 и тем самым обеспечивается r₀ > 0 и a (0) > 0 , a (T) < 0. Таким образом:

на участке t < t₁ , когда a(t) > 2k₀m₀ , оптимальная функция a(t) вычисляется по выражению

$a\left(t\right)=m_0\left(2k_0+t_1^2+t^2\right)+\left(t_1-t\right)\left(C_1-C_2\right)/\sqrt{k_0}-2m_0{t}_{1}t$,

на участке t₁ ≤ t ≤ t₂ , когда | a(t) |≤ 2k₀m₀ , оптимальная функция a(t) имеет вид:

$a\left(t\right)=C_1\exp \left(\left(t_1-t\right)/\sqrt{k_0}\right)+C_2\exp \left(\left(t-t_1\right)/\sqrt{k_0}\right),$ $m\left(t\right)=a\left(t\right)/\left(2k_0\right)$,

на участке t > t₂ , когда a(t) < –2k₀m₀ , оптимальная функция a(t) вычисляется по выражению:

$\begin{array}{l}a\left(t\right)=2m_0{t}_1\left(T-t\right)-m_0\left(2k_0+{\left(T-t\right)}^2+t_1^2\right)-\\ -\left(t_1-T+t\right)\left(C_1-C_2\right)/\sqrt{k_0}.\end{array}$

В интервале времени t₁ < t < t₂ , когда | a(t) |< 2k₀m₀ , оптимальная функция b(t) такая

$b\left(t\right)=m_0{t}_1+\left(\begin{array}{c}{C}_2\exp \left(\left(t-t_1\right)/\sqrt{k_0}\right)-\\ -C_1\exp \left(\left(t_1-t\right)/\sqrt{k_0}\right)+C_1-C_2\end{array}\right)/\left(2\sqrt{k_0}\right)$.

Если a(t) ≥ 2k₀m₀ , то b(t) = m₀t ; если a(t) ≤ –2k₀m₀ , то b(t) = m₀(T – t ).

3. Доказательство единственности оптимального решения. Введем орт q, коллинеарный моменту М, причем направления векторов q и M совпадают в начальный момент времени t = 0. Далее определим скалярный множитель f, удовлетворяющий двум условиям: φ = I^–1f q и f (0) > 0. В окрестности точки t = 0 справедливы соотношения МL и L = χ q , где χ – скалярный множитель. Сначала оптимальный управляющий момент М, рассчитанный по выражению (2.4) при условии φ = I^–1f (t) q , подставляем в (1.1) с учетом зависимости L = χ q и получаем

$\mathbf{q}\dot{\chi }+\dot{\mathbf{q}}\chi +\left(I^{-1}\mathbf{q}\right)\times \mathbf{q}{\chi }^2=m\left(t\right)\mathbf{q}$. (3.1)

Векторы $\dot{\mathbf{q}}\chi +\left(I^{-1}\mathbf{q}\right)\times \mathbf{q}{\chi }^2$ и q ортогональны, либо сумма $\dot{\mathbf{q}}\chi +\left(I^{-1}\mathbf{q}\right)\times \mathbf{q}{\chi }^2$ есть нулевой вектор (|q|= 1 , а значит в любом случае q⋅$\dot{\mathbf{q}}$= 0). Уравнение (3.1) удовлетворяется, если только $\dot{\mathbf{q}}=-\left(I^{-1}\mathbf{L}\right)\times \mathbf{q}$ и $\dot{\chi }=m\left(t\right)$. Далее векторы φ = I^–1f (t) q и L = χq подставим в (2.9). С учетом соотношения $\dot{\mathbf{q}}=-\left(I^{-1}\mathbf{L}\right)\times \mathbf{q}$, которое имеет место в силу уравнения (3.1) (оптимальное вращение подчиняется уравнениям (1.1), (2.9) одновременно), левая часть (2.9) станет такой

$I^{-1}{\left(\dot{f}\mathbf{q} + f\dot{q}\right)}_{ } = I^{-1}\left(\dot{f}\mathbf{q} - f{\left(\chi I^{-1}\mathbf{q}\right)}_{ }{\times }_{ }\mathbf{q}\right)$.

Правая часть (2.9) принимает вид

$\begin{array}{l}2\chi I^{-1}\mathbf{q}+I^{-1}\chi \left(\mathbf{q}\times \left(I^{-1}f\mathbf{q}\right)\right)\times \left(I^{-1}f\mathbf{q}\right)\times \left(I^{-1}\chi \mathbf{q}\right)-\\ -I^{-1}r=2\chi I^{-1}q-f{I}^{-1}\left(\left(\chi I^{-1}\mathbf{q}\right)\times \mathbf{q}\right)-r_0{I}^{-1}\mathbf{p}.\end{array}$

Приравнивая правую и левую части (2.9), получаем уравнение $\dot{f}$q = 2χq − r₀p , из которого $\dot{f}$= 2χ -r₀ и q ≡ р (так как $f\left(0\right)>\mathrm{0,}f\left(T\right)<0$ , и $\dot{f}<0$). Пришли к однозначному выводу: если в какой-то момент времени t векторы I φ и L коллинеарны, то они остаются коллинеарными внутри всего интервала времени 0 <t<T. Требования L(0) = 0 и L(T) = 0 гарантируют существование как минимум двух таких моментов времени, когда L и I φ коллинеарны (L = h t I φ при t → 0, и L = -h (Т – t )I φ при t → T ). Можем утверждать, что в процессе оптимального движения закономерность L _$\parallel$ р сохраняется на всем отрезке времени t _∈ [ 0 , T ], и оптимальное вращение обязательно удовлетворяет условиям (2.6), (2.7). Доказано, что зависимости (2.6), (2.7) – единственное решение системы (1.1), (2.2), (2.4), (2.5), поскольку L(0) = 0 и L(T) = 0 (напомним, r_i = r₀ p_i ).

Таким образом, оптимизация свелась к определению такого вектора p₀, чтобы в ходе вращения КА согласно уравнениям (1.2), (2.5), (2.7) удовлетворились условия Λ(Т ) = Λ_f , L(T) = 0. Уравнения (2.5) с учетом (2.7) принимают вид:

${\dot{p}}_1=\frac{J_2-J_3}{J_2{J}_3}b\left(t\right)p_2{p}_3,$ ${\dot{p}}_2=\frac{J_3-J_1}{J_1{J}_3}b\left(t\right)p_1{p}_3,$ ${\dot{p}}_3=\frac{J_1-J_2}{J_1{J}_2}b\left(t\right)p_1{p}_2$. (3.2)

Найти общее решение указанной системы практически не представляется возможным. Сложность заключается в нахождении p(0), p(T), связанных выражением

${\mathbf{\Lambda }}_{in}{\circ }_{ }\mathbf{p}\left(0\right)\circ {\stackrel{\mathbf{~}}{\mathbf{\Lambda }}}_{in}= {\mathbf{\Lambda }}_f\circ \mathbf{p}\left({\mathbf{T}}_{\mathbf{ }}\right)\circ {\stackrel{\mathbf{~}}{\mathbf{\Lambda }}}_f$

($\mathbf{p}\left(T\right)={\stackrel{\mathbf{~}}{\mathbf{\Lambda }}}_t\circ \mathbf{p}\left(0\right)\circ {\mathbf{\Lambda }}_t$, здесь ${\Lambda }_t={\tilde{\Lambda }}_{in}\circ {\Lambda }_f$ − кватернион разворота).

4. Проектирование программы оптимального вращения. Решение задачи оптимального разворота описывается уравнениями (2.6), (2.7), (3.2); управляющие функции М_i и компоненты кинетического момента L_i изменяются в соответствии с (2.7), (2.10). Вектор р₀ и характеристика Q находятся из решения двухточечной краевой задачи разворота. Программу вращения КА полностью определяют Q, m₀. Программное значение М связано с кватернионом Λ по выражению

$M=m\left(t\right)\tilde{\Lambda }\circ {\Lambda }_{in}\circ p0\circ {\Lambda }_{in}\circ \Lambda$,

в котором m(t) изменяется в соответствии с (2.12).

При оптимальном вращении имеет свойство симметрии (прежде всего, для функций m(t) и b (t)) и характеризуется следующими закономерностями:

$m\left(0\right)=-m\left(T\right)>\mathrm{0,}$ $b\left(t\right)\ge 0$, $m\left(T-t\right)=-m\left(t\right),$ $b_{ }\left(T_{ }- t\right){=}_{ }{b}_{ }\left(t\right)$

$\underset{0}{\overset{T/2}{\int }}\left|m\left(t\right)\right|dt=\underset{T/2}{\overset{T}{\int }}\left|m\left(t\right)\right|dt,$ $\underset{0}{\overset{T/2}{\int }}b\left(t\right)dt=\underset{T/2}{\overset{T}{\int }}b\left(t\right)dt$

$\Lambda \circ \mathbf{M}\left(T-t\right)\circ \stackrel{\mathbf{~}}{\mathbf{\Lambda }}=-\Lambda \circ \mathbf{M}\left(t\right)\circ \stackrel{\mathbf{~}}{\mathbf{\Lambda }},$ $\Lambda \circ \mathbf{L}\left(T-t\right)\circ \tilde{\Lambda }=\Lambda \circ \mathbf{L}\left(t\right)\circ \tilde{\Lambda }$

$\underset{t<T/2}{\max }m\left(t\right)=\underset{t>T/2}{-\min }m\left(t\right)=m\left(0\right),$ $L_{\max }=\underset{0<t<T}{\max }\sqrt{J_1^2{\omega }_1^2+J_2^2{\omega }_2^2+J_3^2{\omega }_3^2}=\left|\mathbf{L}\left(T/2\right)\right|$.

Из (2.7) следует, что р – это орт кинетического момента L. Оптимальные функции L_i(t ), φ_i (t ), р_i (t) соответствуют требованиям (2.6), (2.7), где р_i (t) – решение системы (2.5). Оптимальное управление определяется выражением (2.10), направление кинетического момента L остается постоянным относительно инерциального базиса, векторы М и L коллинеарны в любое время t _∈ [0 , T ]. Управление (2.10) является действительно оптимальным, поскольку оно – единственное решение системы уравнений (1.1), (2.2), (2.4), (2.5).

Для неограниченного управления оптимальное решение заметно проще:

 $a\left(t\right)=C_1\exp \left(-t/\sqrt{k_0}\right)+C_2\exp \left(t/\sqrt{k_0}\right),$ $\mathbf{M}=a\left(t\right)\mathbf{p}/\left(2k_0\right),$

$C_1=-C_2\exp \left(T/\sqrt{k_0}\right)$

$b\left(t\right)=\sqrt{k_0}\left[\begin{array}{c}{C}_2\exp \left(t/\sqrt{k_0}\right)-\\ -C_1\exp \left(-t/\sqrt{k_0}\right)+C_1-C_2\end{array}\right]/2,$

$r_{0 }=\left(C_1-C_2\right)/\sqrt{k_0}$

$C_1=k_{0}Q/\left[\begin{array}{c}{k}_0\left(\exp \left(-T/\sqrt{k_0}\right)-1\right)+\\ +T\sqrt{k_0}\left(\exp \left(-T/\sqrt{k_0}\right)+1\right)/2\end{array}\right]$

$C_2=k_{0}Q/\left[\begin{array}{c}{k}_0\left(\exp \left(T/\sqrt{k_0}\right)-1\right)-\\ -T\sqrt{k_0}\left(\exp (T/\sqrt{k_0})+1\right)/2\end{array}\right]$.

Для управления, ограниченного требованием (1.3), оптимальное решение М = m(t) р , где m(t) = u₀ / С , если a(t) > 2k₀m₀ ; m(t) = a(t) / (2k₀), если |a(t)|≤ 2k₀m₀ ; m(t) = –u₀ / С , если a(t) < –2k₀m₀ .

Значения Q, m₀ и р₀ определяются исключительно значениями u₀ , Λ_in , Λ_f и J₁ , J₂ , J₃ , а времена t₁ , t₂ зависят от k₀ . В момент времени t = T / 2 момент М меняет свое направление на противоположное, модуль | L | максимален (| L (T / 2)| = L_max ).

Искомое значение t₁ находится внутри отрезка t_1∈[0, t₀], где $t_0=(T-\sqrt{T^2-4Q/m_0})/2$. Если предположить t₁ = t₀ , то это означает С₁ = С₂ = 0 (как следует из (2.14)) и b = const, а a(t) = 0, чего не может быть в оптимальном управлении, поскольку в интервале t_∈[t₁ , t₂ ] оптимальный момент M ≠ 0 и оптимальная функция a(t) должна меняться от 2k₀m₀ до уровня –2k₀m₀ . Следовательно, для оптимального движения t₁ < t₀ .

4.1. Некоторые частные случаи оптимального управления разворотом. Управляющие функции формируются согласно (2.10), (2.12), для чего надо в каждый момент времени t знать р₁ , р₂ , р₃ (их изменение описывает (3.2)). Аналитическое решение системы (1.2), (2.7), (3.2) существует применительно динамически симметричных и сферически-симметричных тел.

В случае сферически-симметричного КА ($J_1=J_2=J_3$) зависимости известны [19]:

р_i (t ) = const = р_{i 0} =${\nu }_i/\sqrt{{\nu }_1^2+{\nu }_2^2+{\nu }_3^2}$, М_i (t ) = m (t) р_{i 0} , ω_i (t ) = b(t) р_{i 0} / J_i где временные функции b(t) и m (t) определяются параметрами m₀ =$u_0\sqrt{J_1}$, Q = 2 J₁ arccos ν₀ и k₀ (о чем было сказано в разделе 2); ${\nu }_0,{\nu }_1,{\nu }_2,{\nu }_3$ – элементы кватерниона ${\Lambda }_t={\tilde{\Lambda }}_{in}\circ {\Lambda }_f$. Траекторию вращения Λ(t ) представим в аналитической форме

$\Lambda \left(t\right)={\Lambda }_{in}\circ e^{p_{0}s\left(t\right)/\left(2J_1\right)},$ $s\left(t\right)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}b\left(t\right)dt$.

При динамической симметрии твердого тела (J₂ = J₃ ) задача оптимального управления (1.1)–(1.6) может быть доведена до аналитического решения (для конкретности дальнейшего изложения осью симметрии считается ось ОХ). При таком распределении масс оптимальное движение есть одновременное вращение тела (КА) вокруг направления, задаваемого вектором р, неподвижным относительно инерциальной системы координат, и вокруг оси ОХ, которая образует с р постоянный угол ϑ . Угловые скорости вокруг р и оси ОХ изменяются пропорционально с постоянным коэффициентом пропорциональности, в силу чего имеем [8, 11]

${\mathbf{\Lambda }}_f={\mathbf{\Lambda }}_{in}\circ e^{{\mathbf{p}}_o\beta /2}\circ e^{e_1\alpha /2}$,

где е₁ − орт оси симметрии; α , β − углы поворота твердого тела вокруг оси ОХ и вокруг р (|α|≤ π , $0\le \beta \le \pi$). Запишем p(t) в аналитической форме [8, 11]:

$p_{1 }={p_{10}}_{ }{=}_{ }cos\vartheta ,$ $p_2=p_{20}\cos \kappa +p_{30}\sin \kappa ,$ $p_3=-p_{20}\sin \kappa +p_{30}\cos \kappa ,$

$\kappa =\frac{J-J_1}{J}\underset{0}{\overset{t}{\int }}{\omega }_1\left(t\right)dt$, (4.1)

где p_{i 0} = р_i (0) ; J = J₂ = J₃ ; продольная скорость w₁ (t) определяется из (2.7) при том, что р₁ = const = р₁₀ . Значения α , β и p_{i 0} находятся по кватернионам Λ_in и Λ_f из системы [8, 11]:

$\alpha =\frac{J-J_1}{J_1}{p}_{10}\beta ,$ $\cos \frac{\beta }{2}\cos \frac{\alpha }{2}-p_{10}\sin \frac{\beta }{2}\sin \frac{\alpha }{2}={\nu }_0,$ $\cos \frac{\beta }{2}\sin \frac{\alpha }{2}+p_{10}\sin \frac{\beta }{2}\cos \frac{\alpha }{2}={\nu }_1$

$p_{20}\sin \frac{\beta }{2}\cos \frac{\alpha }{2}+p_{30}\sin \frac{\beta }{2}\sin \frac{\alpha }{2}={\nu }_2,$ $-p_{20}\sin \frac{\beta }{2}\cos \frac{\alpha }{\text{2}}+p_{30}\sin \frac{\beta }{2}\cos \frac{\alpha }{2}=v_3$, (4.2)

причем −π ≤ α ≤ π , 0 ≤ β ≤ π (здесь _{${\nu }_0,{\nu }_1,{\nu }_2,{\nu }_3$} – элементы кватерниона _{${\Lambda }_t={\tilde{\Lambda }}_{in}\circ {\Lambda }_f$}).

В случае осевой симметрии КА описанное решение отличается от [11], так как все управляющие переменные М_i (t) – непрерывные функции времени. Компоненты кинетического момента L_i рассчитываются по уравнениям (2.7) и (4.1). Оптимальные функции b(t) и m(t) определены программами (2.11), (2.12) и зависят от параметров T, m₀ , Q, которые рассчитываются однозначно по заданным Λ_in , Λ_f , u₀ , k₀ и J₁ , J₂ , J₃. Искомые оптимальные управления M_i (t) запишем в следующем аналитическом виде:

$M_1 = m\left(t\right)p_{10 }, M_2 = m\left(t\right)\sqrt{1-p_{10}^2}\sin \left(\kappa +\gamma \right),$ $M_3 = m\left(t\right)\sqrt{1-p_{10}^2}\cos \left(\kappa +\gamma \right)$,

где $\gamma =\arcsin (p_{20}/\sqrt{1-p_{10}^2}),$если $p_{30}\ge \mathrm{0,}$ или $\gamma =\pi -\arcsin (p_{20}/\sqrt{1-p_{10}^2}),$ если $p_{30}<0$($\left|p_{10}\right|\ne 1$); вариант | р_{10 |} = 1 означает плоское вращение вокруг оси ОХ, поэтому мы его не рассматриваем.

Оптимальную траекторию Λ(t ) представим в следующей аналитической форме

$\Lambda \left(t\right)={\Lambda }_{in}\circ e^{{\mathbf{p}}_0\sigma /2}\circ e^{\mu e_1/2}$,

где $\sigma =J_2^{-1}\underset{0}{\overset{t}{\int }}b\left(t\right)dt;$ $\mu =p_{10}\sigma \left(J_2-J_1\right)/J_1.$

Параметры р₀ , m₀ , Т для динамически симметричного тела находятся намного проще (также упрощается определение величины (2.13)); Q = J₂β, так как $\left|\mathbf{L}\right|=J_2\dot{\beta }$, где $\dot{\beta }$ – скорость вращения вокруг L (уточним, β ≥ 0 , ≥ 0). Величины b_max , G зависят от β. Чтобы (1.6) было минимальным необходимо, чтобы угол β был минимально возможным, для чего потребуем β ≤ π (именно поэтому (4.2) включает условие 0 ≤ β ≤ π). Заметим, что в более ранних работах [11, 14] также выписаны предварительные выражения общего решения задачи оптимального разворота, но для других функционалов качества, и доведено до конца решение для частного случая динамической симметрии твердого тела. При этом авторами статьи [11] было доказано, что решение системы (4.2) существует при любых Λ_t и любых J₁ , J₂ = J₃ .

Для несимметричного тела (J₁ ≠ J₂ ≠ J₃ ) решение системы (1.2), (2.5), (2.7) находится исключительно численными методами (например, методом последовательных приближений [30], или как описано в предыдущей работе [8]). Расчет искомого орта p₀ осуществляется решением краевой задачи р(0) = р₀ , $\mathrm{р}(\mathrm{Т} )={\tilde{\mathrm{\Lambda }}}_{\mathrm{t}}\circ {\mathrm{р}}_0 \circ {\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{t}}$для системы дифференциальных уравнений (3.2). Ранее она решалась методом итераций (см. способ [31] и систему [32]). Известно [18], что р₀ не зависит от поведения b(t), которая входит в (3.2), и мы находим р₀ в предположении, что b(t)= const; это обстоятельство значительно упрощает алгоритм поиска требуемого р₀. Когда b(t)= const, решение р(t) уравнений (3.2) соответствует вращению по инерции, поскольку уравнения (3.2) выполняются совместно с (1.1), (2.7), из которых следует $\mathbf{M}=0$.

Необходимо заметить, что чем больше коэффициент k₀ , тем больше максимальная энергия вращения E_max = E_k(T/2) и максимальный кинетический момент L_max = |L(T/2)|. При неограниченно большом k₀ → ∞ в интервале времени, когда |М|≠ const , функции m(t) и a (t) изменяются практически по линейному закону (соответственно, в этом интервале времени b (t) близка к квадратичной функции времени). С уменьшением коэффициента k₀ максимальная энергия вращения E_max и максимальный кинетический момент L_max уменьшаются. Если k₀ → 0, то максимальный кинетический момент L_max достигает минимально возможного уровня $L_0=m_0(T-\sqrt{T^2-4Q/m_0})/2$ (для заданного времени T и ограничения u₀ в (1.3)), при этом оптимальное управление становится практически двухимпульсным, когда управляющий момент между участками с |М|= const = m₀. отсутствует и КА вращается по инерции [32].

5. Данные математического моделирования. Для примера рассмотрим разворот на 150° в положение, соответствующее кватерниону Λ_f с элементами l₀ = 0.258819; l₁ = 0.683013; l₂ = 0.258819; l₃ = 0.591505. В исходном положении направления одноименных осей связанного и инерциального базисов совпадают, и L(0) = L(Т) = 0. Определим оптимальную программу управления для перевода КА из состояния (1.4) в состояние (1.5) за время Т = 300 с. Численное решение задачи управляемого разворота в постановке (1.1)–(1.6) приведем для случая, когда u₀ = 0.044 H $/\sqrt{кг}$ и k₀ = 10 с^2, а инерционные характеристики КА приняты следующими: J₁ = 4710 кг м², J₂ = 17160 кг м², J₃ = 18125 кг м².

При решении двухточечной краевой задачи разворота в (2.7) полагаем $b\left(t\right)=\text{const}$ (и $\left|\mathbf{L}\right|=\mathrm{const}$), так как характер поведения функции b(t) не влияет на искомое значение p₀ [18]. Поиск p₀ начнем с решения той же задачи для динамически симметричного тела с моментами инерции J₁ и J, где J – момент инерции относительно поперечной оси, равный среднему значению между J₂ и J₃ (исследователи нередко применяют принцип осреднения [33]). Допустимым является значение $J=(J_2+J_3)/2$, хотя чаще используют следующую величину [8]

$J=\frac{J_2{J}_3}{J_2+J_3-J_1}\left(\sqrt{\left(1-J_1/J_2\right)\left(1-J_1/J_3\right)}+1\right)$.

Предположив, что КА – динамически симметричное тело, решаем систему (4.2). Найденные из нее значения p₀ и β принимаем за начальное приближение к истинным значениям, соответствующим оптимальному решению. Они уточняются до тех пор, пока не будут удовлетворять системе (1.2), (2.7), (3.2) с учетом $b\left(t\right)=\text{const}$ (что соответствует M = 0) при условиях Λ(0) = Λ_in, Λ(t_pr) = Λ_f , предъявляемых к вращению КА. Полагаем $b\left(t\right)=J\beta /T$. Зная p₀ и угол β, компоненты начального кинетического момента L_st вычисляем по выражениям:

$L_{1\text{st}}=\frac{J\beta }{T}{p}_{10},$ $L_{2\text{st}}=\frac{J\beta }{T}{p}_{20},$ $L_{3\text{st}}=\frac{J\beta }{T}{p}_{30}$. (5.1)

Прогноз “свободного” движения осуществляем путем интегрирования системы уравнений (1.2), (2.7), (3.2) и с начальными условиями Λ(0) = Λ_in , L(0) = L_st , р(0) = р₀ . Степень отличия р₀ и β от истинного решения отражает оценка ε = sqal (${\tilde{\Lambda }}_{pr}\circ {\Lambda }_f$), где Λ_pr − максимально близкое к Λ_f положение, полученное в ходе моделирования движения КА относительно центра масс, соответствующего вращению по инерции (M_i = 0). Значение р₀ уточняем до тех пор, пока ε < ε_th (ε_th – заданная пороговая величина чуть меньше единицы, которая отражает точность рассчитанного решения). Как только условие ε ≥ ε_th будет достигнуто (прогнозируемая ошибка удовлетворит заданной точности), искомые значения p₀ и β (для удовлетворения краевым условиям Λ(0) = Λ_in , Λ(t_pr) = Λ_f ) считаются найденными, а краевая задача решенной. Вектор p₀ уточнялся в соответствии с рекуррентным правилом:

${\Lambda }_t^{(k+1)}={\Lambda }_t^{\left(k\right)}\circ {\tilde{\Lambda }}_f\circ {\Lambda }_{pr}$,

где Λ_t^(k) – кватернион разворота для расчета p₀ и L_st на k-м приближении. Правые части системы (4.2) (элементы кватерниона разворота Λ_t^(k)) обновляются на каждом k-м шаге итераций, из (4.2) мы находим p₀ , β, а также кинетический момент L_st (согласно (5.1)) для интегрирования уравнений (1.2), (2.7), (3.2), и вычисляем прогноз Λ_pr . Если ε < ε_th , то рассчитывается новый кватернион разворота Λ_t^{(k + 1)} для следующего (k + 1)-го приближения – процесс уточнения p₀ возобновляется. В правых частях системы (4.2) для начального приближения берем элементы кватерниона _{${\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{t}}^{\left(0\right)}={\tilde{\mathrm{\Lambda }}}_{\mathrm{in}}\circ {\mathrm{\Lambda }}_{\mathrm{f}}$}. Итерационный процесс останавливается, когда ε ≥ ε_th .

Описанная схема итераций напоминает метод решения уравнения вида x = g(x) для скалярной функции g(x) скалярного (одномерного) аргумента x . В описанной схеме аргумент – кватернион Λ_t , а функция – кватернионное произведение ${\Lambda }_t\circ {\tilde{\Lambda }}_f\circ {\Lambda }_{pr}$ (Λ_f – постоянный кватернион, а Λ_pr зависит от аргумента Λ_t через систему (4.2), (5.1) и модель движения, описываемую уравнениями (1.2), (2.7), (3.2) и b(t) = const = Jβ / Т). Изменяя Λ_t , получим новый вектор p₀ (как решение системы (4.2) с новыми правыми частями), и новые начальные значения L_ist и прогнозируемое положение Λ_pr , что приведет к изменению функции ${\Lambda }_t\circ {\tilde{\Lambda }}_f\circ {\Lambda }_{pr}$. Как только sqal (${\tilde{\Lambda }}_{pr}\circ {\Lambda }_f$) ≥ ε_th , поиск новых приближений прекращается, считается, что вектор p₀ найден. Поскольку |vect(${\tilde{\Lambda }}_f\circ {\Lambda }_{pr}^{\left(k\right)}$)| <|vect${\Lambda }_t^{\left(k\right)}$| для всех k, то можно констатировать, что процесс приближений к искомому значению p₀ сходится. Похожий способ расчета р₀ применялся в решении двухточечной краевой задачи разворота для максимального быстродействия [8].

После решения краевой задачи разворота из положения Λ(0) = Λ_in в положение Λ(Т) = Λ_f были получены p₀ = {0.381804; 0.1941395; 0.9036236} и (2.13), Q = 28907.5 Н⋅м⋅с². Соответственно, m₀ = 5 Н⋅м. Поскольку m₀T² > 4Q , то заданный разворот реализуем. Кроме того, k₀ и m₀ соответствуют условию $Q\left(\exp \right(T/\sqrt{k_0})-1)>2m_0\left[T\right(\exp (T/\sqrt{k_0})+1)\sqrt{k_0}/2-k_0(\exp (T/\sqrt{k_0})-1\left)\right]$. Поэтому в начальный и конечный моменты времени |М|= m₀ , оптимальное вращение включает два участка, внутри которых |М| = const. Реализующееся управление имеет три интервала изменения момента М – вначале интенсивная раскрутка КА (когда m(t) = const = m₀ ), участок с экспоненциальным изменением m(t) (функция m(t) уменьшается с m(t) = m₀ до m(t) = –m₀), и интенсивное торможение в конце (когда m(t) = const = –m₀ ). Точкам переключения соответствуют t₁ = 17.576 с и t₂ = 282.424 с, постоянная r₀ = 178.92 Н⋅м⋅с. В момент времени t = 150 с кинетический момент достигает максимальной величины Λ_max = 103.69 Н⋅м⋅с. Энергия вращения во время разворота не превышает E_max = 0.42 Дж.

Наглядная иллюстрация движения КА во время оптимального разворота приведена на рис. 2–6 (по результатам математического моделирования). На рис. 2 даны графики изменения проекций кинетического момента на оси связанной системы координат L₁(t), L₂(t), L₃(t) во времени (проекции L_i даны в Н⋅м⋅с). Рис. 3 иллюстрирует изменение элементов кватерниона Λ(t) в процессе совершаемого маневра (λ₀(t),λ₁(t), λ₂(t), λ₃(t) отражают текущую ориентацию КА). Характер поведения составляющих р₁(t), р₂(t), р₃(t) показан на рис. 4 (значения р_i , как и λ_j, – безразмерные величины), причем проекция р₁ изменяется незначительно. Оптимальная функция m(t) для рассматриваемого разворота показана на рис. 5 (m(t) дается в Н⋅м). Изменение модуля кинетического момента КА и кинетической энергии вращения во время оптимального разворота иллюстрируют рис. 6 и рис. 7 (энергия Е_k дана в Дж). Свидетельством того, что ОХ − продольная ось КА, является то обстоятельство, что L₁ знакопостоянна, и характер ее изменения повторяет поведение модуля кинетического момента (в отличие от L₂ и L₃). Для оптимального управления переменные р_i и λ_j – гладкие функции времени; L_i – гладкие функции времени (за исключением t = 0 и t = Т ).