Improving the Phase Plane Method to Study the Influence of the “Bifurcation Memory” Effect on Ship Dynamics

Full Text

1. Введение. Для качественной оценки динамики нелинейных динамических систем широко применяется метод фазовой скорости. Суть метода заключается в исследовании всех возможных состояний системы на плоскости координат состояния при различных значениях параметров. Принципиальное практическое значение имеет тип устойчивости особых точек, поведение объекта вблизи границы устойчивости, наличие или отсутствие предельных циклов ¹, бифуркации. Если среди значений параметра существует такое, при котором в системе наблюдается седло-узловая бифуркация и стационарная точка исчезает ² (для судов такой параметр угол перекладки руля ³), то, при определенных начальных условиях, проявляется эффект “бифуркационной памяти” ⁴. Суть этого эффекта, по мнению Чирковой М.М. и Фейгина М.И., заключается в том, что на фазовой плоскости в окрестности исчезнувшего при бифуркации стационарного состояния образуется область, проходя через которую скорость изображающей точки ⁵ снижается. При управлении судном такая ситуация характеризуется снижением реакции объекта на управляющее воздействие (перекладку руля) ⁶. Практически важно определить значение угла перекладки руля, при котором фазовая траектория не попадает в область временно сниженных фазовых скоростей. Для рассматриваемой в данной работе динамической системы такая область располагается вблизи исчезнувшей при седло-узловой бифуркации полуустойчивой точки ⁷. Подробный обзор о состоянии исследований бифуркационных феноменов памяти и запаздывания приведен в уже упоминавшейся работе [2], в которой, в частности, отмечается связь феноменов “запаздывания потери устойчивости” при бифуркационной ситуации с нарушением условий теоремы Тихонова А.Н.

Подобное поведение динамической системы, применительно к речным водоизмещающим судам, впервые было обнаружено Чирковой М.М. [3]. Она использовала особый алгоритм перекладки руля, обеспечивающий “сканирование” ⁸ плоскости OωU (рис. 1). Алгоритм идентификации областей, где скорость изображающей точки временно снижается, согласно [3], заключается в следующем: при фиксированном значении управляющего воздействия U_i ∈[U_BIF,U_max] строится фазовая траектория; текущее состояние отображается дискретно, точками через промежуток времени ∆t. При малом ∆t расстоянии между точками фазовая скорость $v=\sqrt{{\dot{\omega }}^2+{\dot{U}}^2}$. Учитывая, что U_i=const, то $v=\left|\dot{\omega }\right|$. При ν < ε, где ε мало (изображающая точка приближается к стационарному состоянию), изменяем управляющее воздействие по закону $U_{i+1}=-\left(U_i+\Delta U\right)$. При определенных начальных условиях и для параметра (угла перекладки руля) U_i ∈[U_BIF,U_max] (один из способов определения U_BIF приведен в [7]) на плоскости OwU наблюдаются “сгущения” изображающих точек (рис. 1: области V). Эти области, в которых происходит временное снижение ν, называют “фазовыми пятнами”. Увеличивая U с шагом ∆U, находим U_M – минимальное значение управляющего параметра, при котором траектория не попадает в “фазовое пятно”. Таким образом находим значение угла перекладки руля U_M, меньше которого штурману не рекомендуется использовать. Если корабль спроектирован так, что U_M  > U_max, то есть при любых допустимых углах перекладки руля траектория изображающей точки будет проходить сквозь “фазовое пятно”, такой объект будет больше подвержен риску навигационного инцидента в силу худшей послушливости рулю, чем корабль, у которого U_M  << U_max. Очевидные минусы метода Чирковой М.М. – это критическая зависимость идентифицируемости “фазового пятна” от ∆t и ∆U, а также использование только плоскости OωU. Вторая координата состояния β_d остается в таком случае без внимания. Логичным развитием метода Чирковой М.М. является использование фазовой плоскости координат состояния Oβ_dω взамен плоскости OωU. Такая методика была предложена в [7].

 

Рис. 1. “Фазовые пятна” (V) на статико-динамической плоскости OωU. Наличие “фазовых пятен” критерий проявления эффекта “бифуркационной памяти”; U_M – минимальное значение параметра, при котором изображающая точка уже не попадает в “фазовое пятно”, U_BIF – бифуркационное значение параметра.

 

Основная идея [7] заключается в следующем: изображающая точка заменяется материальной точкой единичной массы, движущейся в плоскости Oβ_dω под действием условных обобщенных сил. Далее рассматривается движение материальной точки к устойчивому состоянию равновесия m₀ вдоль криволинейной траектории l, совпадающей с траекторией изображающей точки (рис. 2).

 

Рис. 2. Отсутствие эффекта ‟бифуркационной памяти”: т.F_m – точка пересечения траекторией l области ускоренных движений (A) в сторону области замедленных движений (D).

 

Это движение может быть двух типов: ускоренное или замедленное. Тип движения зависит от угла ξ между вектором фазовой скорости $v=\sqrt{{\dot{\omega }}^2+{\dot{U}}^2}$ и ускорения $\dot{v}=\sqrt{{(d\dot{\omega }/dt)}^2+{(d{\dot{\beta }}_d/dt)}^2}$: если угол ξ тупой – движение замедленное, а если острый – ускоренное. Далее, согласно [7], для каждой пары фазовых координат вычисляется угол ξ и на фазовую плоскость наносятся изолинии ξ < 90° и ξ > 90°. Таким образом выделяются области, соответствующие различным типам движения (рис. 2, 3). В [7] рассматриваются точки пересечения фазовой траекторией границы⁹ A–D то есть, когда фазовая скорость начинает снижаться. Если такой переход осуществляется однократно (т. F_m, рис. 2), то эффект бифуркационной памяти не наблюдается, а снижение фазовой скорости объясняется приближением к стационарному состоянию m₀, в котором v = 0. В том случае, когда траектория изображающей точки дважды пересекает границу A–D (т. F₁ и т. F_m, рис. 3), имеет место временное снижение фазовой скорости на участке F₁–F₂ (рис. 3) траектории l, что свидетельствует о проявлении эффекта “бифуркационной памяти”¹⁰. Управление U_M – управление, при котором эффект “бифуркационной памяти” перестает проявляться.

 

Рис. 3. Эффект “бифуркационной памяти”: т.F₁ и т.F_m –точки пересечения траекторией l границы области ускоренных движений (A) в сторону области замедленных движений (D); U_i∈[U_BIF,U_max]. Область C – область начальных условий, ограничивающих применение метода [٧].

 

Метод [7] имеет ряд преимуществ, по сравнению с методом Чирковой М.М.: отсутствует критическая зависимость идентифицируемости эффекта “бифуркационной памяти” от шага дискретизации ∆t и ∆U, исследуются одновременно обе координаты состояния. Метод [7] существенно выигрывает в точности, по сравнению с методом Чирковой М.М. Однако метод [7] чувствителен к выбору начальных условий. Действительно, если в качестве начальных условий выбрана точка, не принадлежащая некоторой области C¹¹ (например, $\left({{\mathrm{\beta }}^{\text{'}}}_{d0},{{\mathrm{\omega }}^{\text{'}}}_0\right)$ на рис. 3), то пересечение траекторией l^' границы A–D будет однократное, как при отсутствии эффекта “бифуркационной памяти”. Таким образом, применение метода [7] ограничено областью начальных условий C.

 

Рис. 4. Годограф фазовой скорости, построенный для судна “Волгонефть-71” при U = 5°, U∈[U_BIF,U_m]. Стрелками показано направление движения радиус-вектора с течением времени. Начальные условия: точка (β_d0 =-0.4, ω₀ =-0.5)∈C.

 

2. Годограф фазовой скорости. Применение метода [7] демонстрирует “неоднородность” фазового пространства динамических систем, позволяет прогнозировать динамику управляемого объекта, что, в конечном счете, сказывается на повышении безопасности навигации. Однако для задач оптимизации при проектировании корпусов судов или создания алгоритмов управления необходимо знать не только топологию областей A и D, но и иметь критерий, с помощью которого можно найти U_M. Другими словами, критерий, который бы позволил идентифицировать наличие или отсутствие эффекта “бифуркационной памяти” при движении изображающей точки вдоль фазовой траектории при любых начальных условиях.

В данной работе с целью идентификации эффекта “бифуркационной памяти” в динамике корабля предлагается усовершенствовать метод фазовой плоскости путем построения годографа фазовой скорости.

Аналогично [7] будем использовать математическую модель [8]:

$\left\{\begin{array}{c}\frac{d{\beta }_d}{dt}=A{\mathrm{\beta }}_d+B\omega +S_{\beta }U+P\left({\mathrm{\beta }}_d\right)\\ \frac{d\omega }{dt}=C{\mathrm{\beta }}_d+D\omega +S_{\omega }U,\begin{array}{ccc}& & \end{array}\end{array}\right.$ (2.1)

где $P\left({\mathrm{\beta }}_d\right)=H{\mathrm{\beta }}_d\left|{\mathrm{\beta }}_d\right|$, $A,B,C,D,H,S_{\beta },S_{\omega }\in R$ – гидродинамические коэффициенты, ${\mathrm{\beta }}_d,\omega$ – фазовые координаты (β_d – угол дрейфа, ω – угловая скорость),U – угол поворота руля (U ∈ [–U_maxBIF,+U_max]), где U_max = 35°. Гидродинамические коэффициенты, как и в [7], вычислены для судна “Волгонефть-71”: А = 0.048, B = – 0.01 , C = 0.155, D = 0.1, H =–0.118, S_β = 0.0009, S_ω = 0.001.

Перейдем к полярным координатам на плоскости $O{\dot{\mathrm{\beta }}}_d\dot{\mathrm{\omega }}$ ^[12]:

$\begin{array}{c}\mathrm{\rho }=\sqrt{{\dot{\mathrm{\beta }}}_d^2+{\dot{\omega }}^2}\\ tg\left(\varphi \right)=\frac{\dot{\mathrm{\omega }}}{{\dot{\mathrm{\beta }}}_d}\\ {\dot{\mathrm{\beta }}}_d=v\sin \left(\varphi \right)\\ \dot{\mathrm{\omega }}=v\cos \left(\varphi \right).\end{array}$ (2.2)

Кривая G, вычерченная на плоскости $O{\dot{\mathrm{\beta }}}_d\dot{\mathrm{\omega }}$ концом радиус-вектора ν–годограф фазовой скорости (рис. 4). Годограф G отражает изменение фазовой скорости при движении изображающей точки вдоль фазовой траектории. В точке O модуль радиус-вектора (фазовая скорость ν) равен нулю – стационарное состояние динамической системы. Будем строить окружность с центром в т.O, постепенно увеличивая радиус. Отметим точки касания окружности и годографа и затем проведем к этим точкам радиус-векторы. Радиус-вектор проведен к внешней точке касания окружности и годографа ¹³ – начало временного снижения фазовой скорости. Радиус-вектор ν₂, проведенный к внутренней точке касания окружности и годографа, определяет минимальную (ненулевую) фазовую скорость при ее временном снижении. После преодоления минимума фазовая скорость вновь начинает расти. Рост продолжается до значения ν₃, после которого наблюдается снижение до ν₂ = 0, вызванное приближение к стационарному состоянию. Временное снижение отчетливо прослеживается: фазовая скорость сначала растет до значения ν₁, затем снижается до значения ν₂, затем опять растет до ν₁ и дальше до ν₃. Эффект “бифуркационной памяти” присутствует. При увеличении угла перекладки руля до U = U_M эффект “бифуркационной памяти” исчезает: скорость растет до и потом снижается до ν = 0 (рис. 5). Очевидный критерий идентификации эффекта “бифуркационной памяти”– наличие радиус вектора ν₂.

 

Рис. 5. Годограф фазовой скорости, построенный для судна “Волгонефть-71” при U = U_M (U_M = 22°). Стрелками показано направление движения радиус-вектора с течением времени. Начальные условия соответствуют точке (β_d0 =-0.4, ω₀ =-0.5)∈C.

 

Выберем начальные условия в точке $\left({{\mathrm{\beta }}^{\text{'}}}_{d0}=-{\mathrm{0.8,}}_{}{{\mathrm{\omega }}^{\text{'}}}_0=-0.8\right)\notin C$,(рис. 3). Для этих начальных условий годограф будет иметь вид, представленный на рис. 6. Характерно, что фазовая скорость сразу начинает снижаться, то есть вектор ν₁ построить невозможно. Однако, как было указано выше, критерием наличия эффекта “бифуркационной памяти” является существование радиус-вектора ν₂. На годографе фазовой скорости (рис. 6) этот критерий диагностируется. Постепенно увеличивая U, добиваемся исчезновения радиус-вектора и фиксируем U_M.

 

Рис. 6. Годограф фазовой скорости, построенный для судна “Волгонефть-71” при U = 5°, U∈[U_BIF,U_m]. Стрелками показано направление движения радиус-вектора с течением времени. Начальные условия: точка (β'_d0 =-0.8, ω'₀ =-0.8)∉C.

 

3. Заключение. Для идентификации эффекта “бифуркационной памяти” в динамике судов, с целью определения U_M разработаны различные методы: метод статико-динамической плоскости (автор Чиркова М.М.), метод [7] и предлагаемый в этой статье метод годографа фазовой скорости. Отличительной чертой предлагаемого метода является не только то, что он превосходит разработанные ранее методы в точности, но и охватывает обе фазовые координаты, а также дает адекватный результат при любых начальных условиях. Метод вполне универсален и может использоваться для исследования эффекта “бифуркационной памяти” в различных динамических системах. Отметим, что для начальных условий из области C (рис. 3) можно использовать или метод годографа фазовой скорости, или метод [7]. На рис. 7 представлена фазовая плоскость с нанесенными на нее по методу [7] областями замедленных (D) и ускоренных (A) движений изображающей точки. На эту же плоскость (рис. ٧) нанесены изолинии, соответствующие ν₁, ν₂, ν₃, которые были определены на годографе фазовой скорости (рис. 4). Точки F₁ и F_m — точки пересечения фазовой траекторией l границы A–D и, одновременно, внешние точки касания l и изолиний ν₁ и ν₃. Точка F₂ –точка касания l и области (A) и, одновременно, внутренняя точка касания l и изолинии ν₂.

 

Рис. 7. Объект: “Волгонефть-71”. Фазовая плоскость с областями (A) и (D) (метод [7]), изолиниями фазовых скоростей ν₁ = 0.0086 , ν₂ = 0.0033, ν₃ = 0.012 (метод годографа фазовой скорости); l — фазовая траектория. Начальные условия: точка (β_d0 =-0.4, ω₀ =-0.5); U = 5°, U∈[U_BIF,U_m].

 

Исследуя динамику судов методом годографа фазовой скорости, мы убедились, что существует граница в пространстве значений параметра, при пересечении которой в динамике возникает (или исчезает) эффект “бифуркационной памяти”. Предложенный критерий – существование радиус-вектора ν₂ – нам кажется необходимым и достаточным. Вполне вероятно, что существование радиус-вектора можно доказать аналитически, однако в объем данной статьи решение данной задачи не входит. В заключение отметим, что эффект “бифуркационной памяти” может присутствовать в динамике не только механических систем. Например, в [9] указывается на существование подобного режима в динамике свертывания крови.

 

¹ Наличие предельных циклов на фазовом портрете говорит о возникновении автоколебаний. Такой режим при управлении подвижным объектом крайне нежелателен и часто опасен.

² При седло-узловой бифуркации две стационарные точки с разным типом устойчивости, соответствующие грубым состояниям равновесия, сливаются в одну точку, которая потом исчезает [1].

³ Бифуркационное значение параметра, при котором происходит седло-узловая бифуркация, называется критическим углом перекладки руля.

⁴ Авторы не ставят целью заниматься анализом терминологии, тем более что такой анализ проведен в [2]. С точки зрения [2] наиболее удачным является термин “запаздывание”. Термин “бифуркационная память”, используемый для описания происходящих процессов, авторы [2] считают наиболее удобным по причине его краткости в сравнении с аналогичными. Авторство термина “бифуркационная память” принадлежит Фейгину М.И., который в соавторстве и индивидуально опубликовал ряд работ, связанных с изучением этого эффекта в динамике нелинейных систем [3–6].

⁵ Изображающая точка точка, принадлежащая фазовой плоскости, перемещение которой определяет изменение состояния динамической системы.

⁶ Это может приводить к возникновению аварийных ситуаций, например при расхождении судов в узком канале. Опытные судоводители, особенно на мелководных участках рек, управляют судном, выполняя кладки руля на углы, близкие к максимально возможным, с последующим одерживанием перекладкой на противоположный борт. Таким образом, судоводитель обеспечивает достаточную скорость реакции судна на изменение управления. Величина угла перекладки и время одерживания подбирается судоводителем на основании опыта и индивидуально для каждого судна и условий плавания: глубины и ширины фарватера, течений, ветра.

⁷ Здесь: полуустойчивая точка – сложное состояние равновесия, которое имеет характер седла.

⁸ Плоскость OωU с нанесенными фазовыми траекториями, полученными при “сканировании”, была названа “Статико-динамической плоскостью”. Фазовые траектории могут быть получены как в ходе математического моделирования, так и при натурном эксперименте.

⁹ Область A (от англ. accelerated) – область ускоренных движений, область D (от англ. decelerated) – область замедленных движений.

¹⁰ Очевидно, что для данной динамической системы термин “фазовое пятно” не в полной мере отражает топологические особенности области замедленных движений на плоскости Ob_dw. Несмотря на это, авторы считают этот термин удачным и интуитивно понятным.

¹¹ Расположение и размер области C в конечном счете зависят от математической модели динамической системы.

¹² Очевидно, модуль радиус-вектора ρ есть фазовая скорость v. Поэтому далее вместо ρ будем использовать v.

¹³ Внешняя точка касания общая точка окружности, годографа и внешней общей касательной. Аналогично, внутренняя точка касания общая точка окружности, годографа и внутренней общей касательной.

About the authors

A. V. Chernyshov

Nizhny Novgorod State Technical University n. a. R.E. Alekseev

Author for correspondence.
Email: andrey.chernyshov5@gmail.com
Russian Federation, Nizhny Novgorod, 603155

S. A. Chernyshova

Nizhny Novgorod State Technical University n. a. R.E. Alekseev

Email: sofya.chernyshova99@gmail.com
Russian Federation, Nizhny Novgorod, 603155

References

Supplementary files