Том 30, № 2 (2022)
Статьи
Джон Хортон Конвей
Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. 2022;30(2):129-131
129-131
Динамика решений одного нелинейного функционально-дифференциального уравнения параболического типа
Аннотация
Целью работы является исследование начально-краевой задачи для параболического функционально-дифференциального уравнения в кольцевой области, которое описывает динамику фазовой модуляции световой волны, прошедшей тонкий слой нелинейной среды керровского типа в оптической системе с контуром обратной связи, с преобразованием поворота (отвечает оператор инволюции) и условиями Неймана на границе в классе периодических функций. Более подробно исследуются пространственно-неоднородные стационарные решения, бифурцирующие из пространственно-однородного стационарного решения в результате бифуркации типа «вилка» и периодические по времени решения типа «бегущая волна». Методы. Для представления исходного уравнения в виде нелинейных интегральных уравнений используется функция Грина. Применяется метод центральных многообразий для доказательства теоремы о существовании в окрестности бифуркационного параметра решений указанного уравнения и исследования их асимптотической формы. Численное моделирование пространственно-неоднородных решений и бегущих волн проведено с использование метода Галёркина. Результаты. Получены интегральные представления рассматриваемой задачи в зависимости от вида линеаризованного оператора. С использованием метода центральных многообразий доказана теорема о существовании и асимптотической форме решений начально-краевой задачи для функционально-дифференциального уравнения параболического типа с оператором инволюции на кольце. В результате численного моделирования, основанного на галёркинских аппроксимациях, в рассматриваемой задаче построены приближенные пространственно-неоднородные стационарные решения и периодические по времени решения типа бегущей волны. Заключение. Предложенная схема применима не только к инволютивным операторам поворота и условиям Неймана на границе кольца, но и к другим краевым условиям и круговым областям. Представление исходной начально-краевой задачи в виде нелинейных интегральных уравнений второго рода позволяет более просто находить коэффициенты асимптотических разложений, доказывать теоремы существования и единственности, а также использовать различное число коэффициентов разложения нелинейной составляющей в правой части исходного уравнения в окрестности выделенного решения (например, стационарного). Визуализация численного решения подтверждает теоретические выкладки и показывает возможность формирования сложных фазовых структур.
Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. 2022;30(2):132-151
132-151
Охота на химер в полносвязных сетях нелинейных осцилляторов
Аннотация
Целью работы является изучение динамических свойств решений специальных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, называемых полносвязными сетями нелинейных осцилляторов. Методы. Предлагается новый подход к отысканию в этих системах периодических режимов химерного типа, суть которого состоит в следующем. Сначала в случае симметричной сети решается более простой вопрос о существовании и устойчивости квазихимерных решений — периодических режимов двухкластерной синхронизации. Для каждого из таких режимов множество осцилляторов распадается на два непересекающихся класса. В пределах данных классов наблюдается полная синхронизация колебаний, а каждые два осциллятора из разных классов колеблются асинхронно. Результаты. На основе предложенных методов отдельно устанавливается, что при переходе от симметричной системы к сети общего вида периодические режимы двухкластерной синхронизации могут трансформироваться в химеры. Заключение. Основные утверждения работы, касающиеся возникновения химер, получены аналитически на основе асимптотического исследования модельного примера. Для этого примера введено понятие канонической химеры и доказано утверждение о существовании и устойчивости решений химерного типа в случае несимметричности сети. Все приведённые результаты распространены на непрерывный аналог соответствующей системы. Полученные результаты проиллюстрированы численно.
Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. 2022;30(2):152-175
152-175
Опыт оценки вариабельности сердечного ритма по сглаженным кардиоинтервалограммам
Аннотация
Цель настоящего исследования — показать возможность использования метода сглаживания кардиоинтервалограмм, представляющего собой сугубо временной анализ кардиоинтервалограмм, для разделения и отображения влияния различных механизмов регулирования физиологических систем человека на его сердечный ритм; предложить методические принципы определения частотно-временных характеристик вариабельности сердечного ритма по сглаженной кардиоинтервалограмме и псевдофазовым портретам; обнаружить на сглаженных кардиоинтервалограммах паттерны, соответствующие маркерам стресса. Предполагается, что в динамике регулирования физиологических систем имеет место иерархия времен, наследуемая динамикой вариаций сердечного ритма. Методы. В данной работе применен метод сглаживания путем вычисления скользящего среднего с последующей декомпозицией кардиоинтервалограммы на медленную и быструю составляющие. Результаты декомпозиции визуализируются линейными графиками и псевдофазовыми портретами. Настройки визуализации позволяют вычленять уникальные переходные процессы и определять их временные параметры. Метод применен к данным, полученным при разных функциональных состояниях испытуемого и различающимся по уровню адаптационных рисков, наличию или отсутствию стресса. Для анализа выбраны эпизоды стресса, детектированные с помощью информационно-телекоммуникационной технологии событийно-связанной телеметрии сердца (ИТТ ССТС). Результаты. Для числового ряда RR-интервалов получено четкое разделение на быстрые и медленные компоненты. Сформулирован и апробирован алгоритм определения частотного наполнения вариабельности сердечного ритма. Предложен способ визуализации, удобный для сопоставления данных, получаемых для разных пациентов. Найден паттерн псевдофазового портрета, соответствующий моменту наступления стресса. Предложенный метод уменьшил дискретность определения момента начала стресса с 10 секунд до единичных ударов сердца. Заключение. Продемонстрировано соответствие результатов верифицированному методу ИТТ ССТС и концепции адаптационного риска Баевского–Черниковой. Это подтверждает возможность использования метода временного сглаживания кардиоинтервалограмм для анализа вариабельности сердечного ритма.
Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. 2022;30(2):176-188
176-188
Локальная динамика модели цепочки лазеров с оптоэлектронной запаздывающей однонаправленной связью
Аннотация
Цель. Исследуется локальная динамика модели цепочки лазеров с оптоэлектронной запаздывающей однонаправленной связью. Рассматривается система уравнений, описывающая динамику замкнутой цепочки большого числа лазеров с оптоэлектронной запаздывающей связью между элементами. Предложена эквивалентная распределенная интегродифференциальная модель с малым параметром, обратно пропорциональным количеству лазеров в цепочке. Для распределенной модели с периодическими краевыми условиями получено критическое значение коэффициента связи, при котором стационарное состояние в цепочке становится неустойчивым. Показано, что в определенной окрестности точки бифуркации число корней характеристического уравнения с близкой к нулю действительной частью неограниченно возрастает при уменьшении малого параметра. В этом случае в качестве нормальной формы построено двумерное комплексное уравнение Гинзбурга–Ландау с конвекцией. Его нелокальная динамика определяет поведение решений исходной краевой задачи. Методы исследования. Используются методы изучения локальной динамики, основанные на построении нормальных форм на центральных многообразиях, применительно к критическим случаям (асимптотически) бесконечной размерности. Предложен алгоритм сведения исходной краевой задачи к уравнению для медленно меняющихся амплитуд. Результаты. Получены простейшие однородные периодические решения уравнения Гинзбурга–Ландау и соответствующие им неоднородные решения в виде бегущих волн в распределенной модели. Такие решения можно интерпретировать как режимы фазовой синхронизации в цепочке связанных лазеров. Определены частоты и амплитуды колебаний интенсивности излучения каждого лазера и разность фаз между соседними осцилляторами.
Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. 2022;30(2):189-207
189-207
Простая и сложная динамика в модели эволюции двух миграционно связанных популяций с непересекающимися поколениями
Аннотация
Цель работы — исследование механизмов, приводящих к возникновению генетической дивергенции (устойчивых генетических различий между двумя популяциями, связанными миграцией). Рассматривается «классическая» модельная ситуация: панмиктичные популяции с менделевскими правилами наследования, в которых действие естественного отбора (различия по приспособленностям) одинаково и определяется генотипами только одного диаллельного локуса. Предполагается, что смежные поколения не перекрываются и эволюционные преобразования можно отслеживать моделью с дискретным временем. Эта модель описывает изменение концентрации одного из аллелей в каждой популяции, а также отношение численностей популяций к общей численности. Методы. На основе аналога карт седел построены параметрические портреты, показывающие области параметров качественно разных режимов динамики. Исследование дополнено фазовыми портретами, бассейнами притяжения и бифуркационными диаграммами. Результаты. Обнаружено, что режимы динамики рассматриваемой модели качественно совпадают с режимами аналогичной модели с непрерывным временем, но только в случае слабой миграционной связи. В случае сильной связи возможны колебания фазовых переменных. Показано, что дивергенция, возможная лишь при пониженной приспособленности гетерозигот, является результатом ряда бифуркаций: бифуркации вил, удвоения периода или седлоузловой бифуркации. После этих качественных перестроек динамика становится бистабильной или квадростабильной. В первом случае соответствующие дивергенции решения неустойчивы и возможны лишь как часть переходного процесса. Во втором случае они устойчивы, и при сильной связи дивергенция проявляется в виде колебаний с периодом 2. Заключение. В области биологически значимых параметров движение к одной из предельных генетических структур (мономорфизм, полиморфизм или дивергенция) в смежных популяциях может быть строго монотонным, либо в виде затухающих колебаний, либо устойчивых колебаний с периодом 2. Вне этой области возникают сложные режимы динамики, которые состоят из серии расходящихся колебаний вокруг неподвижных точек и квазислучайных переходов между ними.
Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. 2022;30(2):208-232
208-232
Нелинейное усиление сигнала магнитной индукции в магнитомодуляционном датчике с аморфным ферромагнитным сердечником
Аннотация
Цель настоящего исследования — показать возможность использования управляемой магнитным полем нелинейности изменения амплитуды в колебательном LC-контуре, содержащем сердечник из аморфного ферромагнитного сплава с компенсированной продольной магнитострикцией, что позволяет получить высокий коэффициент преобразования датчиков слабого магнитного поля, работающих при комнатной температуре. Методы. Рассмотрен реализованный на практике метод построения магнитомодуляционных датчиков магнитной индукции с фиксированным магнитным полем смещения, которое соответствует максимальной крутизне нелинейной характеристики колебательного LC-контура с аморфным ферромагнитным сердечником в области автопараметрического резонанса. Результаты. Показано, что устойчивый коэффициент преобразования датчика длиной 35 мм на основе LC-контура с автопараметрическим усилением на частоте модуляции 256 кГц может достигать 10 мВ/нТл, что позволяет при имеющейся элементной базе регистрировать сигналы слабого переменного магнитного поля с амплитудой 0.03 пТл/Гц1/2 в частотном диапазоне от 10 до 1000 Гц. Отмечено, что возбуждение датчика слабым гармоническим магнитным полем высокой частоты и постоянное нахождение аморфного ферромагнитного сердечника вблизи состояния технического насыщения значительно снижает уровень собственного магнитного шума магнитомодуляционного датчика. Заключение. Магнитомодуляционные датчики с автопараметрическим усилением сигнала магнитной индукции могут найти применение в геофизике, магнитобиологии и биомедицине.
Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. 2022;30(2):233-238
233-238
Особенности многоэлектродной регистрации эпизодических разрядов слабоэлектрических рыб
Аннотация
Цель данной работы заключалась в разработке многоэлектродной матричной регистрации для построения образов электрических полей эпизодических разрядов слабоэлектрических рыб. Методы. Описаны особенности многоэлектродной регистрации для исследований электрических рыб: конструкция электродной решётки, схемы усилителей, организация общих точек для дифференциальных измерений и восстановление абсолютных значений потенциалов, применение метода главных компонент. Результаты. Методика иллюстрируется примером регистрации электрических разрядов у клариевого сома Clarias gariepinus с помощью решётки 8 x 8 электродов при частоте оцифровки 20 кГц. Приводятся осциллограммы разрядов и картины их пространственного распределения для главных компонент. Показаны преимущества разработанной технологии многоэлектродной матричной регистрации по отношению к традиционной двухэлектродной регистрации эпизодических разрядов электрических рыб: заметное улучшение соотношения сигнал/шум при регистрации слабых электрических сигналов; возможность построения картин поля для единичных электрических событий; разделение источников электрических полей и возможность идентификации их источников; возможность бесконтактной локализации расположения электрогенерирующих структур; получение количественных данных распределений электрических потенциалов для всех точек дна аквариума.
Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. 2022;30(2):239-252
239-252