О дискретных аттракторах Лоренца различных типов

Обложка

Цитировать

Полный текст

Аннотация

Цель настоящей работы — развитие теории дискретных аттракторов лоренцевского типа в случае трехмерных отображений. При этом особое внимание будет уделено стандартным дискретным аттракторам Лоренца, а также дискретным аттракторам Лоренца с осевой симметрией (то есть с симметрией x → -x, y → -y, z → -z, характерной для потоков с аттракторами Лоренца). Основные результаты работы связаны с построением элементов классификации таких аттракторов. Для различных типов дискретных аттракторов Лоренца мы опишем их основные геометрические свойства и свойства динамики, а также представим основные феноменологические бифуркационные сценарии, в которых они возникают. В работе будут также рассмотрены конкретные примеры дискретных аттракторов Лоренца различных типов в трехмерных квадратичных отображениях, таких как трехмерные отображения Эно и квадратичные отображения с осевой симметрией и постоянным якобианом. Для последних будут построены их нормальные формы — универсальные отображения, к которым сводится любое отображение из данного класса с помощью линейных преобразований координат.

Об авторах

Александр Сергеевич Гонченко

Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет имени Н. И. Лобачевского (ННГУ); Высшая школа экономики

603950 Нижний Новгород, проспект Гагарина, 23

Список литературы

  1. Lorenz E. N. Deterministic nonperiodic flow // Journal of the Atmospheric Sciences. 1963. Vol. 20, no. 2. P. 130–141. doi: 10.1175/1520-0469(1963)0202.0.co;2
  2. Guckenheimer J. A strange, strange attractor // In: The Hopf Bifurcation Theorem and its Applications. Applied Mathematical Sciences, vol. 19. New York: Springer, 1976. P. 368–381. doi: 10.1007/978-1-4612-6374-6_25.
  3. Williams R. F. The structure of Lorenz attractor // Lecture Notes in Math. 1977. Vol. 615. P. 94–112.
  4. Афраймович В. С., Быков В. В., Шильников Л. П. О возникновении и структуре аттрактора Лоренца // Докл. АН СССР. 1977. Vol. 234, no. 2. P. 336–339.
  5. Афраймович В. С., Быков В. В., Шильников Л. П. О притягивающих негрубых предельных множествах типа аттрактора Лоренца // Труды ММО. 1982. Т. 44. P. 150–212.
  6. Kaplan J. L., Yorke J. A. Predturbulence: A regime observed in a fluid flow model of Lorenz // Comm. Math. Phys. 1979. Vol. 67, no. 2. P. 93–108. doi: 10.1007/BF01221359.
  7. Шильников Л. П. Теория бифуркаций и модель Лоренца // В кн.: Марсден Ж., МакКракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.: Мир, 1980. P. 317–336.
  8. Шильников Л. П. Теория бифуркаций и квазигиперболические аттракторы // Успехи Мат. Наук. 1981. Т. 36, № 4. С. 240.
  9. Бунимович Л. А., Синай Я. Г. Стохастичность аттрактора в модели Лоренца // Нелинейные Волны. М.: Наука, 1979. С. 212–260.
  10. Bunimovich L. Statistical properties of Lorenz attractors // In: G.I. Barenblatt (ed.) Nonlinear Dynamics and Turbulence. Boston: Pitman, 1983. P. 1-22.
  11. Rand D. The topological classification of Lorenz attractor // Math. Proc. of Cambridge Phil. Soc. 1978. Vol. 83, no. 3. P. 451–460.
  12. Малкин М. И. О топологической сопряженности разрывных отображений интервала // УМЖ. 1980. Т. 32, № 5. С. 610–616.
  13. Morales C. A., Pacifico M. J., Pujals E. R. On C1 robust singular transitive sets for threedimensional flows // C. R. Acad. Sci. Ser. I Math. 1998. Vol. 326. P. 81–86.
  14. Сатаев Е. А. Некоторые свойства сингулярных гиперболических аттракторов // Мат. сб. 2009. Т. 200, № 1. С. 35–76.
  15. Тураев Д. В., Шильников Л. П. Пример дикого странного аттрактора // Мат. сб. 1998. Т. 189. С. 291–314.
  16. Тураев Д. В., Шильников Л. П. Псевдогиперболичность и задача о периодическом возмущении аттракторов лоренцевского типа // Доклады РАН. 2008. Т. 77б № 1б. С. 17–21.
  17. Gonchenko S., Ovsyannikov I., Simo C., Turaev D. Three-dimensional Henon-like maps and wild Lorenz-like attractors // Int. J. of Bifurcation and Chaos. 2005. Vol. 15, no. 11. P. 3493–3508. doi: 10.1142/S0218127405014180.
  18. Гонченко А. С., Гонченко С. В., Шильников Л. П. К вопросу о сценариях возникновения хаоса в трехмерных отображениях // Нелинейная Динамика. 2012. Т. 8. С. 3-28.
  19. Gonchenko S. V., Gonchenko A. S., Ovsyannikov I. I., Turaev D. V. Examples of Lorenz-like Attractors in Henon-like Maps // Math. Model. Nat. Phenom. 2013. Vol. 8, no. 5. P. 48–70. doi: 10.1051/mmnp/20138504.
  20. Gonchenko A. S., Gonchenko S. V., Kazakov A. O., Turaev D. Simple scenarios of onset of chaos in three-dimensional maps // Int. J. Bif. and Chaos. 2014. Vol. 24, no. 8. P. 25.
  21. Gonchenko A. S., Gonchenko S. V. Variety of strange pseudohyperbolic attractors in threedimensional generalized Henon maps // Physica D. 2016. Vol. 337(4). P. 43–57. doi: 10.1016/j.physd.2016.07.006.
  22. Henon M. A two-dimensional mapping with a strange attractor // In: Hunt BR, Li TY, Kennedy JA, Nusse HE. (eds) The Theory of Chaotic Attractors. New York: Springer, 1976. P. 94–102. doi: 10.1007/978-0-387-21830-4_8.
  23. Gonchenko S., Gonchenko A. On discrete Lorenz-like attractors in three-dimensional maps with axial symmetry // Chaos. 2023. Vol. 33, no. 12. P. 123104. doi: 10.1063/5.0172243
  24. Gonchenko S., Gonchenko A., Kazakov A., and Samylina E. On discrete Lorenz-like attractors // Chaos. 2021. Vol. 31, no. 2. P. 023117. doi: 10.1063/5.0037621.
  25. Gonchenko S., Karatetskaia E., Kazakov A., Kruglov V. Conjoined Lorenz twins — a new pseudohyperbolic attractor in three-dimensional maps and flows // Chaos. 2022. Vol. 32, iss. 12. P. 121107. doi: 10.1063/5.0123426.
  26. Aframovich V.S., Shilnikov L. P. Strange attractors and quasiattractors // In: G. I. Barenblatt, G. Iooss, D. D. Joseph (eds) Nonlinear Dynamics and Turbulence. Boston: Pitmen, 1983. P. 1–34.
  27. Гонченко С. В., Тураев Д. В., Шильников Л. П. Динамические явления в многомерных системах с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре // Докл. Рос. Акад. Наук. 1993. Т. 330, № 2. С. 144-147.
  28. Gonchenko S., Shilnikov L., Turaev D. Dynamical phenomena in systems with structurally unstable Poincare homoclinic orbits // Chaos. 1996. Vol. 6, no. 1. P. 15-31.
  29. Gonchenko S. V., Shilnikov L. P., Turaev D. V. On dynamical properties of multidimensional diffeomorphisms from Newhouse regions // Nonlinearity. 2008. Vol. 21, no. 5. P. 923–972. doi: 10.1088/0951-7715/21/5/003.
  30. Gonchenko A. S., Gonchenko S. V., Kazakov A. O., Kozlov A. D. Elements of contemporary theory of dynamical chaos: A tutorial. Part I. Pseudohyperbolic attractors // Int. J. Bifurcation and Chaos. 2018. Vol. 28, no. 11. P. 1830036. DOI: https://doi.org/10.1142/S0218127418300367.
  31. Gonchenko S. V., Kazakov A. O., Turaev D. Wild pseudohyperbolic attractors in a four-dimensional Lorenz system // Nonlinearity. 2021. Vol. 34, no. 4. P. 2018–2047. doi: 10.18500/0869-6632-00314010.48550/arXiv.1809.07250.
  32. Шильников Л. П. Теория бифуркаций и турбулентность // В кн.: Методы качественной теории дифференциальных уравнений. Горький, 1986. C. 150-163.
  33. Gonchenko S. V., Gonchenko A. S., Kazakov A. O. Richness of chaotic dynamics in nonholonomic models of a Celtic stone // Regular and Chaotic Dynamics. 2013. Vol. 15, no. 5. P. 521-538. doi: 10.1134/S1560354713050055.
  34. Gonchenko A. S., Gonchenko S. V., Turaev D. Doubling of invariant curves and chaos in threedimensional diffeomorphisms // Chaos. 2021. Vol. 31, no 11. P. 113130. doi: 10.1063/5.0068692.
  35. Гонченко А. С., Самылина Е. А. Об области существования дискретного аттрактора Лоренца в неголономной модели кельтского камня // Изв. вузов. Радиофизика. 2019. Т. 62, № 5. C. 412–428.
  36. Newhouse S. E. The abundance of wild hyperbolic sets and non-smooth stable sets for diffeomorphisms // Publ. Math. Inst. Hautes Etudes Sci. 1979. Vol. 50. P. 101–151. doi: 10.1007/BF02684771.
  37. Гонченко С. В., Тураев Д. В., Шильников Л. П. О существовании областей Ньюхауса в окрестности систем с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре (многомерный случай) // Докл. Рос. Акад. Наук. 1993. Т. 329. C. 404-407.
  38. Гонченко С. В., Шильников Л. П. Об инвариантах Ω-сопряженности диффеоморфизмов с негрубой гомоклинической траекторией // Укр. мат. журнал. 1990. Т. 42, № 2. С. 153-159.
  39. Гонченко С. В., Тураев Д. В., Шильников Л. П. Гомоклинические касания произвольного порядка в областях Ньюхауса // Итоги науки и техники, сер. Современная математика и ее приложения; тематические обзоры. Т. 67. 1999. P. 69-128.
  40. Gonchenko S. V., Shil’nikov L. P., Turaev D. V. On models with non-rough Poincare homoclinic curves // Physica D. 1993. Vol. 62, no. 1–4. P. 1–14. doi: 10.1016/0167-2789(93)90268-6.
  41. Shimizu T., Morioka N. On the bifurcation of a symmetric limit cycle to an asymmetric one in a simple model // Phys. Lett. A. 1980. Vol. 76. P. 201–204. doi: 10.1016/0375-9601(80)90466-1.
  42. Shilnikov A. L., Shilnikov L. P., Turaev D. V. Normal forms and Lorenz attractors // Int. J. of Bifurcation and chaos. 1993. Vol. 3. P. 1123–1139.
  43. Shilnikov A. L. On bifurcations of the Lorenz attractor in the Shimuizu-Morioka model // Physica D. 1993. Vol. 62. P. 338–346. doi: 10.1016/0167-2789(93)90292-9.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».