О предельных множествах простейших косых произведений на многомерных клетках

Обложка

Цитировать

Полный текст

Аннотация

Цель работы состоит в описании двух важнейших типов предельных множеств простейших косых произведений отображений интервала, фазовым пространством каждого из которых является компактная n-мерная клетка (n ≥ 2): во-первых, неблуждающего множества и, во-вторых, ω -предельных множеств траекторий. Методы. Предложен метод исследования неблуждающего множества (новый даже для двумерного случая), основанный на использовании понятия C0 - Ω-взрыва в непрерывных отображениях отрезка, и введенного в работе понятия C0- Ω-взрыва в семействе непрерывных отображений в слоях. Для описания ω-предельных множеств использована техника специальных рядов, построенных по траектории и содержащих информацию о ее асимптотическом поведении. Результаты. Дано полное описание неблуждающего множества непрерывного простейшего косого произведения отображений интервала, то есть непрерывного косого произведения на компактной n-мерной клетке, множество (наименьших) периодов периодических точек которого ограничено. Результаты, полученные при описании неблуждающего множества, использованы при изучении ω-предельных множеств. В работе дано описание топологической структуры ω-предельных множеств рассматриваемых отображений. Найдены достаточные условия, при выполнении которых ω-предельным множеством траектории является периодическая орбита, а также необходимые условия существования одномерных ω-предельных множеств. Заключение. Дальнейшее развитие техники C0- Ω-взрыва в семействе отображений в слоях позволит описать структуру неблуждающего множества косых произведений одномерных отображений, в частности, с замкнутым множеством периодических точек, заданных на простейших многообразиях произвольной конечной размерности. Дальнейшее развитие теории специальных, построенных в работе расходящихся рядов позволит перейти к описанию ω-предельных множеств произвольной размерности d, где 2 ≤ d ≤ n - 1, n ≥ 3, в простейших косых произведениях.

Об авторах

Людмила Сергеевна Ефремова

Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет имени Н. И. Лобачевского (ННГУ)

ORCID iD: 0000-0001-5821-6697
SPIN-код: 5317-5407
Scopus Author ID: 7004059595
ResearcherId: AAQ-8061-2021
603950 Нижний Новгород, проспект Гагарина, 23

Матвей Андреевич Шалагин

Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет имени Н. И. Лобачевского (ННГУ)

603950 Нижний Новгород, проспект Гагарина, 23

Список литературы

  1. Efremova L. S. Remarks on the nonwandering set of skew products with a closed set of periodic points of the quotient map // In: Nonlinear maps and their applications. Springer Proc. Math. Statist., vol. 57. New York: Springer, 2014. P. 39–58. doi: 10.1007/978-1-4614-9161-3_6.
  2. Ефремова Л. С. Динамика косых произведений отображений интервала // Успехи матем. наук. 2017. Т. 72, № 1 С. 107–192. doi: 10.4213/rm9745.
  3. Ефремова Л. С. Дифференциальные свойства и притягивающие множества простейших косых произведений отображений интервала // Матем. сб. 2010. Т. 201, № 6. С. 93–130. doi: 10.4213/sm7551.
  4. Шарковский А. Н. О притягивающих и притягивающихся множествах // Докл. АН СССР 1965. Т. 160, № 5. С. 1036–1038.
  5. Шарковский А. Н. Аттракторы траекторий и их бассейны. Киев: Наукова Думка, 2013. 320 с.
  6. Blokh A., Bruckner A. M., Humke P. D., Smital J. The space of ω-limit sets of a continuous map of the interval // Transac. Amer. Math. Soc. 1996. Vol. 348, no 4. P. 1357–1372.
  7. Efremova L. S. Simplest skew products on n-dimensional (n ≥ 2) cells, cylinders and tori // Lobachevskii J. Math. 2022. Vol. 43. P. 1598-1618. doi: 10.1134/S1995080222100080.
  8. Нитецки З. Введение в дифференциальную динамику. М.: Мир, 1975. 304 c.
  9. Kolyada S. F. On dynamics of triangular maps of the square // Ergodic Theory Dynam. Systems, 1992. Vol. 12, no 4. P. 749–768. doi: 10.1017/S0143385700007082.
  10. Kloeden P. E. On Sharkovsky’s cycle coexistence ordering // Bull. Austral. Math. Soc. 1979. Vol. 20, no. 2. P. 171–177. doi: 10.1017/S0004972700010819.
  11. Ефремова Л. С. О неблуждающем множестве и центре треугольных отображений с замкнутым множеством периодических точек в базе // В кн.: Динамические системы и нелинейные явления. Киев: Ин-т матем. АН УССР, 1990. С. 15–25.
  12. Бронштейн И. У. Неавтономные динамические системы. Кишинев: Штиинца, 1984. 291 с.
  13. Шарковский А. Н., Майстренко Ю. Л., Романенко Е. Ю. Разностные уравнения и их приложения. Киев: Наукова думка, 1986. 278 с.
  14. Smale S. Differentiable dynamical systems // Bull. Amer. Math. Soc. 1967. Vol. 73, no. 6. P. 747–817. doi: 10.1090/S0002-9904-1967-11798-1.
  15. Palis J. Ω-explosions // Proc. Amer. Math. Soc. 1971. Vol. 27, no. 1. P. 85–90. doi: 10.1090/S0002-9939-1971-0270400-3.
  16. Hirsch M. W., Pugh C. C. Stable manifolds and hyperbolic sets // Global analysis (Berkeley, CA, 1968), Proc. Sympos. Pure Math., vol. 14, Amer. Math. Soc. Providence, RI, 1970. P. 133–163.
  17. Стенькин О. В., Шильников Л. П. Гомоклинический Ω-взрыв и области гиперболичности // Матем. сб. 1998. Т. 189, № 4. С. 125–144.
  18. Гонченко С. В., Стенькин О. В. Гомоклинический Ω-взрыв: интервалы гиперболичности и их границы // Нелинейная динам. 2011. Т. 7, № 1. С. 3–24.
  19. Ефремова Л. С., Махрова Е. Н. Одномерные динамические системы // Успехи матем. наук. 2021. Т. 76, № 5. С. 81-146. doi: 10.4213/rm9998.
  20. Ефремова Л. С. О C0- Ω-взрывах в гладких косых произведениях отображений интервала с замкнутым множеством периодических точек // Вестн. Нижегородского гос. ун-та им. Н. И. Лобачевского. 2012. № 3(1). C. 130–136.
  21. Шарковський О. М. Неблукаючi точки та центр неперервного вiдображення прямоi в себе // Допов. АН УРСР. 1964. Т. 7. С. 865–868.
  22. Nitecky Z. Maps of the interval with closed periodic set // Proc. Amer. Math. Soc. 1982. Vol. 85, no. 3. P. 451–456.
  23. Block L. S., Coppel W. A. Dynamics in One Dimension. Lecture Notes in Math., vol. 1513. Berlin: Springer-Verlag, 1992. 252 p. doi: 10.1007/BFb0084762.
  24. Шарковский А. Н. О циклах и структуре непрерывного отображения // Укр. матем. журнал. 1965. Т. 17, № 3. С. 104–111.
  25. Федоренко В. В., Шарковский А. Н. Непрерывные отображения интервала с замкнутым множеством периодических точек // В кн.: Исследование дифференциальных и дифференциальноразностных уравнений / Под ред. А. Н. Шарковского. Киев: Институт матем. АН УССР, 1980. С. 137–145.
  26. Efremova L. S. C1-Smooth Ω-Stable Skew Products and Completely Geometrically Integrable Self-Maps of 3D-Tori, I: Ω-Stability // Regular and Chaotic Dynamics. 2024. Vol. 29, no. 3. P. 491–514.
  27. Efremova L. S. Skew products and geometrically integrable maps: Results, problems and prospects // New Developments in Discrete Dynamical Systems, Difference Equations and Applications. Springer Proc. Math. Statist. New York: Springer, 2024 (to appear).
  28. Куратовский К. Топология. Т. 1. М.: Мир, 1966. 594 с.
  29. Аносов Д. В. Динамические системы в 60-е годы: гиперболическая революция. Математические события XX века. М.: Фазис, 2003. С. 1–18.
  30. Balibrea F., Guirao J. L. G., Casado J. I. M. A triangular map on I2 whose ω-limit sets are all compact interval of {0} * I // Discrete Contin. Dyn. Syst. 2002. Vol. 8, no. 4. P. 983–994. doi: 10.3934/dcds.2002.8.983.
  31. Balibrea F., Guirao J. L. G., Casado J. I. M. On ω-limit sets of triangular maps on the unit cube // J. Difference Equ. Appl. 2003. Vol. 9, no. 3–4. P. 289–304. doi: 10.1080/1023619021000047734.
  32. Райков Д. А. Одномерный математический анализ. М.: Высшая школа, 1982. 416 с.
  33. Зорич В. А. Математический анализ. Т. 1. M.: Наука, 1981. 543 с.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).