О РАНГЕ НЕЛИНЕЙНЫХ КВАЗИСОВЕРШЕННЫХ КОДОВ НАД КОНЕЧНЫМИ ПОЛЯМИ

Обложка

Цитировать

Полный текст

Открытый доступ Открытый доступ
Доступ закрыт Доступ предоставлен
Доступ закрыт Только для подписчиков

Аннотация

Рассматриваются нелинейные квазисовершенные коды с радиусом упаковки 1 над конечным полем из q элементов, где q – степень простого числа. Эти коды мы называем нелинейными 1-квазисовершенными q-ичными кодами. Изучаются ранг и размерность ядра нелинейных 1-квазисовершенных q-ичных кодов. Если ранг кода равен его длине, то код называется кодом полного ранга. Пусть m – положительное целое число. Доказывается, что при n = qm и при достаточно больших m и q существуют нелинейные 1-квазисовершенные q-ичные коды полного ранга длины n. Также для некоторых нелинейных 1-квазисовершенных q-ичных кодов вычисляются размерности ядра.

Об авторах

А. М Романов

Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН

Email: rom@math.nsc.ru
Новосибирск

Список литературы

  1. Романов А.М. О совершенных кодах и кодах Рида–Маллера над конечными полями // Пробл. передачи информ. 2021. Т. 57. № 3. С. 3–16. https://doi.org/10.31857/S0555292321030013
  2. Romanov A.M. On the Number of q-ary Quasi-perfect Codes with Covering Radius 2 // Des. Codes Cryptogr. 2022. V. 90. № 8. P. 1713–1719. https://doi.org/10.1007/s10623-022-01070-y
  3. Romanov A.M. Perfect Mixed Codes from Generalized Reed–Muller Codes // Des. Codes Cryptogr. 2024. V. 92. № 6. P. 1747–1759. https://doi.org/10.1007/s10623-024-01364-3
  4. Baicheva T., Bouyukliev I., Dodunekov S., Fack V. Binary and Ternary Linear Quasi-Perfect Codes With Small Dimensions // IEEE Trans. Inform. Theory. 2008. V. 54. № 9. P. 4335–4339. https://doi.org/10.1109/TIT.2008.928277
  5. Etzion T., Mounits B. Quasi-perfect Codes with Small Distance // IEEE Trans. Inf. Theory. 2005. V. 51. № 11. P. 3938–3946. https://doi.org/10.1109/TIT.2005.856944
  6. Etzion T. Perfect Codes and Related Structures. Hackensack, NJ: World Sci., 2022.
  7. Phelps K.T., LeVan M. Kernels of Nonlinear Hamming Codes // Des. Codes Cryptogr. 1995. V. 6. № 3. P. 247–257. https://doi.org/10.1007/BF01388478
  8. Heden O. On Perfect p-ary Codes of Length p + 1 // Des. Codes Cryptogr. 2008. V. 46. № 1. P. 45–56. https://doi.org/10.1007/s10623-007-9133-y
  9. Romanov A.M. Hamiltonicity of Minimum Distance Graphs of 1-Perfect Codes // Electron. J. Combin. 2012. V. 19. № 1. Article P65 (6 pp.). https://doi.org/10.37236/2158
  10. Romanov A.M. Disjoint Hamiltonian Cycles in Minimum Distance Graphs of 1-Perfect Codes // Australas. J. Combin. 2017. V. 69. № 2. Part 2. P. 215–221. Available at https://ajc.maths.uq.edu.au/pdf/69/ajc_v69_p215.pdf
  11. Etzion T., Vardy A. Perfect Binary Codes: Constructions, Properties and Enumeration // IEEE Trans. Inform. Theory. 1994. V.40. № 3. P. 754–763. https://doi.org/10.1109/18.335887
  12. Phelps K.T., Villanueva M. Ranks of q-ary 1-Perfect Codes // Des. Codes Cryptogr. 2002. V. 27. № 1–2. P. 139–144. https://doi.org/10.1023/A:1016510804974
  13. Phelps K.T., Rifa` J., Villanueva M. Rank and Kernel of Binary Hadamard Codes // IEEE Trans. Inform. Theory. 2005. V. 51. № 11. P. 3931–3937. https://doi.org/10.1109/TIT.2005.856940
  14. Li X., Shi M., Wang S., Lu H., Zheng Y. Rank and Pairs of Rank and Dimension of Kernel of ZpZp2-Linear Codes // IEEE Trans. Inform. Theory. 2024. V. 70. № 5. P. 3202–3212. https://doi.org/10.1109/TIT.2023.3317064
  15. Borges J., Phelps K.T., Rifa` J. The Rank and Kernel of Extended 1-Perfect Z4-Linear and Additive Non-Z4-Linear Codes // IEEE Trans. Inform. Theory. 2003. V. 49. № 8. P. 2028–2034. https://doi.org/10.1109/TIT.2003.814490
  16. Васильев Ю.Л. О негрупповых плотно упакованных кодах // Проблемы кибернетики. Т. 8. М.: Физматлит, 1962. С. 337–339.
  17. Romanov A.M. On Nonlinear 1-Quasi-perfect Codes and Their Structural Properties // Probl. Inf. Transm. 2024. V. 60. № 3. P. 141–154. https://doi.org/10.1134/S0032946024030013
  18. Batten L.M. Combinatorics of Finite Geometries, Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1997.
  19. Мак-Вильямс Ф.Дж., Слоэн Н.Дж.А. Теория кодов, исправляющих ошибки. М.: Связь, 1979.
  20. Kasami T., Lin S., Peterson W. New Generalizations of the Reed–Muller Codes. I: Primitive Codes // IEEE Trans. Inform. Theory. 1968. V. 14. № 2. P. 189–199. https://doi.org/10.1109/TIT.1968.1054127
  21. Assmus E.F., Key J.D. Polynomial Codes and Finite Geometries // Handbook of Coding Theory. Amsterdam: Elsevier, 1998. Vol. II. P. 1269–1344.
  22. Delsarte P., Goethals J.-M., MacWilliams F.J. On Generalized Reed–Muller Codes and Their Relatives // Inform. Control. 1970. V. 16. № 5. P. 403–442. https://doi.org/10.1016/S0019-9958(70)90214-7
  23. Августинович С.В., Соловьева Ф.И. О несистематических совершенных двоичных кодах // Пробл. передачи информ. 1996. Т. 32. № 3. С. 47–50. https://www.mathnet.ru/rus/ppi344

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать

© Российская академия наук, 2024

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».