Том 61, № 8 (2025)

На римановом многообразии размерности большей или равной трём рассматривается непустое компактное множество, инвариантное для некоторого C[-1]-гладкого потока. Предлагаются достаточные условия, при выполнении которых это множество является гиперболическим множеством данного потока.

Показано, что периодическая 𝐸-функция, у которой все производные в нуле являются целыми алгебраическими числами, удовлетворяет дифференциальному уравнению вида 𝑃(𝑦, 𝑦′) = 0, где 𝑃— многочлен с алгебраическими коэффициентами. Как следствие доказано, что любая такая функция является лорановским многочленом от некоторой экспоненты 𝑒𝛼𝑧.

Доказана ограниченность построенной бигармонической функции в неограниченной трехмерной области при условии её ограниченности вместе со своей нормальной производной на границе этой области.

Рассмотрены пологие упругие оболочки с заданной круговой границей. Найдена осесимметричная форма оболочки, минимизирующая вес при заданной основной частоте её колебаний. С помощью полученной формулы градиентов компонент собственной функции, соответствующей минимальному собственному значению, установлена вторая дифференцируемость по Френве частотного функционала. Доказано, что при выполнении необходимых условий реализуются и достаточные условия такой дифференцируемости.

Рассмотрены нестационарные линейные и нелинейные дескрипторные системы наблюдения с дискретным временем. В линейном случае получены критерии наблюдаемости на конечном горизонте, а также найдены условия робастной наблюдаемости. Доказаны теоремы двойственности, связывающие свойства управляемости и наблюдаемости. Для нелинейных систем с использованием линейного приближения получены условия локальной наблюдаемости на конечном горизонте.

Построены и исследованы компактные и монотонные разностные схемы четвёртого порядка точности, сохраняющие свойство консервативности (дивергентности) для одномерного и двумерного квазилинейных стационарных уравнений реакции–диффузии. Получены априорные оценки разностного решения в нелинейном случае для одномерного квазилинейного уравнения на основе установленных двусторонних оценок сеточного решения. Для линеаризации нелинейной разностной схемы использован итерационный метод типа Ньютона–Зейделя, сохраняющий консервативность и монотонность. Основная идея предложенных разностных схем основана на возможности распараллеливания вычислительного процесса. Возникающие проблемы нахождения дополнительных граничных условий в приграничных узлах как в одномерном, так и в двумерном случаях решены с помощью интерполяционного многочлена Ньютона четвёртого порядка точности. Приведённые результаты вычислительных экспериментов иллюстрируют повышенный порядок предложенных алгоритмов. Указана возможность обобщения данного метода на нестационарные квазилинейные уравнения.

Исследована краевая задача для уравнения Гельмгольца в круге с краевым условием, содержащим наклонную производную с гёльдеровыми коэффициентами. Доказана однозначная разрешимость задачи при определенных ограничениях на параметр уравнения.

Ниже публикуются краткие аннотации докладов, состоявшихся в весеннем семестре 2025 г. (предыдущее сообщение о работе семинара дано в журнале “Дифференциальные уравнения”. 2025. Т. 61. № 2; дополнительная информация по адресу iline@cs.msu.ru