Том 212, № 7 (2021)

Доказывается следующий результат. Рассмотрим множество $\mathfrak{D}_{\mathbf{A}}$ несократимых знаменателей рациональных чисел, представимых конечными цепными дробями, все неполные частные которых принадлежат некоторому конечному алфавиту $\mathbf{A}$. Пусть множество бесконечных цепных дробей с неполными частными из этого алфавита имеет хаусдорфову размерность $\Delta_{\mathbf{A}}$, удовлетворяющую неравенству $\Delta_{\mathbf{A}} \ge0.7748…$ . Тогда $\mathfrak{D}_{\mathbf{A}}$ содержит положительную долю натуральных чисел. Аналогичный предыдущий результат автора 2017 г. относился к неравенству $\Delta_{\mathbf{A}} >0.7807…$; в оригинальной статье Бургейна–Конторовича 2011 г. $\Delta_{\mathbf{A}} >0.9839…$ . Библиография: 28 названий.

Пусть заданы линейный замкнутый, но не обязательно плотно определенный оператор $A$ в банаховом пространстве $E$ с непустым резольвентным множествоми многозначное отображение $F\colon I\times E\multimap E$ со слабо секвенциально замкнутым графиком.Рассматривается интегро-дифференциальное включение$$\dot{u}\in Au+F(t,\int u)\quadна I,\qquadu(0)=x_0.$$Основное внимание уделяется случаю, когда $A$ порождает интегрированную полугруппу:доказывается существование так называемых интегрированных решений,если пространство $E$ слабо компактно порождено и $F$ удовлетворяет условию$$\beta(F(t,\Omega))\le \eta(t)\beta(\Omega)\quadдля всех ограниченных множеств \Omega\subset E,$$где $\eta\in L^1(I)$, а $\beta$ обозначает меру некомпактности Де Блази.В случае, когда $E$ сепарабельно, показано, чтомножество всех интегрированных решений является компактным $R_\delta$-подмножеством пространства $C(I,E)$ со слабой топологией.Этот результат используется для исследования нелокальной задачи Коши,задаваемой с помощью граничного оператора с невыпуклыми значениями.Приводятся также некоторые приложения к уравнениям в частных производных с многозначными членами.Библиография: 26 названий.