Том 211, № 7 (2020)

Исследуется обобщение модели Покровского–Виноградова для течений растворов и расплавов несжимаемой вязкоупругой полимерной среды на случай неизотермических течений в бесконечном плоском канале при воздействии магнитного поля. Для линеаризованной проблемы (основное решение – аналог течения Пуазейля для вязкой жидкости в модели Навье–Стокса) найдено формальное асимптотическое представление для собственных чисел при возрастании их модуля. Получено необходимое условие асимптотической устойчивости аналога сдвигового течения Пуазейля.Библиография: 22 названия.

Рассматривается случайный граф Эрдёша–Реньи в равномерной модели $G(n,m)$, где $m=m(n)$ – такая последовательность целых неотрицательных чисел, что $m(n)\sim cn^{\alpha}<(2-\varepsilon)n^2$ для некоторых $c>0$, $\alpha\in[0,2]$ и $\varepsilon>0$. Доказано, что $G(n,m)$ подчиняется закону нуля или единицы для языка первого порядка тогда и только тогда, когда либо $\alpha\in\{0,2\}$, либо $\alpha$ иррационально, либо $\alpha\in(0,1)$ и $\alpha$ не принадлежит множеству чисел вида $1-1/\ell$, $\ell\in\mathbb{N}$.Библиография: 15 названий.

Рассматривается абсолютно упругий биллиард в эллипсе $\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}=1$, $a>b>0$, с потенциалом $\frac{k}{2}(x^2+y^2)+\frac{\alpha}{2x^2}+\frac{\beta}{2y^2}$, $a \geq 0$, $\beta \geq 0$. Эта динамическая система является интегрируемой и имеет две степени свободы. В статье получены изоэнергетические инварианты грубой и тонкой лиувиллевой эквивалентности, а также проведен сравнительный анализ других систем, известных из механики твердого тела. Для получения результатов применен метод разделения переменных и построен новый способ, эквивалентный бифуркационной диаграмме, но не требующий ее прямого построения.Библиография: 17 названий.

Рассматривается дискретная динамическая система, порожденная гомеоморфизмом $f$ на компактном многообразии $M$. Пусть $C=\{M(i)\}$ – конечное покрытие многообразия $M$ замкнутыми ячейками. Символический образ динамической системы есть ориентированный граф $G$ с вершинами, соответствующими ячейкам, а вершины $i$ и $j$ связаны дугой $i\to j$, если образ $f(M(i))$ пересекает $M(j)$. Показано, что множество путей символического образа сходится к множеству траекторий системы в тихоновской топологии, когда диаметр покрытия стремится к нулю. Пусть цикл на $G$ проходит через различные вершины, простой поток есть равномерное распределение на дугах этого цикла. Показано, что простые потоки сходятся к эргодическим мерам в слабой топологии, когда диаметр покрытия стремится к нулю. Библиография: 28 названий.