Том 216, № 1 (2025)

Для непрерывного отображения $F$, действующего из одного вещественного конечномерного пространства в другое, исследован вопрос разрешимости нелинейного уравнения вида $F(x)=y$ при $y$, близких к заданному значению $F(\overline x)$. Для этого приведено и исследовано понятие $\lambda$-укорочения отображения $F$ в окрестности заданной точки $\overline x$. Доказана теорема о единственности $\lambda$-укорочения. Введено условие регулярности $\lambda$-укорочения и показано, что оно является достаточным для разрешимости рассматриваемого уравнения. Получены априорные оценки решения. Библиография: 16 названий.

Мы рассматриваем задачу о равномерном распределении нулей для последовательности $Z$-асимптотически чебышёвских многочленов в $\mathbb{C}^{m}$. Используя некоторые результаты из недавней работы Байрактара, Блума и Левенберга, мы получаем результат о равномерном распределении для более общей вероятностной постановки, чем рассмотренная Байрактаром, Блумом и Левенбергом, притом, что у них использованы базисные многочлены более общего вида, чем $Z$-асимптотически чебышёвские. Полученный нами результат о равномерном распределении основан на оценке ожидаемого распределения и дисперсии для случайных потоков, ассоциированных с множествами нулей многочленов. Наш общий результат о равномерном распределении показывает, что равномерное распределение имеет место и без предположения, что случайные коэффициенты разложения по базису являются независимыми одинаково распределенными величинами, что также означает, что нет необходимости рассматривать какую-то конкретную функцию распределения этих случайных коэффициентов. В § 3, в отличие от случая коразмерности 1, мы исследуем базис из полиномов, ортогональных относительно $ L^{2}$-скалярного произведения, задаваемого асимптотически взвешенными бернштейново-марковскими мерами на заданном локально регулярном компакте, и для распределения вероятности из класса, глубоко изученного Байрактаром и включающего в себя как частные случаи (стандартное) гауссовское распределение и вероятностное распределение Фубини–Штуди, получаем результат о равномерном распределении в коразмерности $>1$.Библиография: 35 названий.

Пусть $N$ – достаточно большое число. В работе показано, что не более чем с $O(N^{3/32+\varepsilon})$ исключениями все натуральные числа, не превосходящие $N$, представляются в виде $p_1^2+p_2^2+p_3^3+p_4^3+p_5^4+p_6^4$, где $p_1, p_2, …, p_6$ простые. Это улучшает оценку $O(N^{7/18+\varepsilon})$, установленную Чжангом и Ли.Библиография: 13 названий.

Получены некоторые необходимые и достаточные условия сильной непрерывности представлений топологических групп в рефлексивных пространствах Фреше. В частности, показано, что представление $\pi$ топологической группы $G$ в рефлексивном пространстве Фреше непрерывно в сильной операторной топологии в том и только том случае, если для некоторого числа $q$, $0\le q<1$, для любой окрестности $U$ нулевого элемента в $E$, ее поляры $\mathring{U}$ в сопряженном пространстве $E^*$ и для любого вектора $\xi$ в $U$ и любого элемента $f\in\mathring{U}$ выполняется неравенство $|f(\pi(g)\xi-\xi)|\le q$.Библиография: 26 названий.