Operator estimates for elliptic equations in multidimensional domains with strongly curved boundaries

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

A system of semilinear elliptic equations of the second order is considered in a multidimensional domain. The boundary of this domain is curved arbitrarily within a thin layer along the unperturbed boundary. Dirichlet or Neumann conditions are prescribed on the curved boundary. In the case of Neumann conditions certain additional, rather natural and very weak assumptions are made on the structure of the curved boundary. They make it possible to consider a very wide class of curved boundaries, including, for example, classical rapidly oscillating boundaries. It is shown that when the above thin layer shrinks and the curved boundary approaches the unperturbed one, the homogenization of the problem under consideration leads to the same system of equations with the same boundary conditions but imposed on the limit boundary. The main result consists in relevant operator $W_2^1$- and $L_2$-estimates. Bibliography: 29 titles.

About the authors

Denis Ivanovich Borisov

Institute of Mathematics with Computing Centre, Ufa Federal Research Centre of the Russian Academy of Sciences, Ufa, Russia; Peoples' Friendship University of Russia, Moscow, Russia

Author for correspondence.
Email: borisovdi@yandex.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, no status

Radim Radikovich Suleimanov

Ufa University of Science and Technology, Ufa, Russia

Email: radimsul@mail.ru

References

  1. Э. Санчес-Паленсия, Неоднородные среды и теория колебаний, Мир, М., 1984, 472 с.
  2. О. А. Олейник, Г. А. Иосифьян, А. С. Шамаев, Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред, Изд-во Моск. ун-та, М., 1990, 312 с.
  3. А. Г. Беляев, А. Г. Михеев, А. С. Шамаев, “Дифракция плоской волны на быстроосциллирующей поверхности”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 32:8 (1992), 1258–1272
  4. В. В. Грушин, С. Ю. Доброхотов, “Осреднение в задаче о длинных волнах на воде над участком дна с быстрыми осцилляциями”, Матем. заметки, 95:3 (2014), 359–375
  5. В. А. Козлов, С. А. Назаров, “Асимптотика спектра задачи Дирихле для бигармонического оператора в области с сильно изрезанной границей”, Алгебра и анализ, 22:6 (2010), 127–184
  6. С. А. Назаров, “Асимптотика решения и моделирование задачи Дирихле в угловой области с быстроосциллирующей границей”, Алгебра и анализ, 19:2 (2007), 183–225
  7. С. А. Назаров, “Асимптотика решений и моделирование задач теории упругости в области с быстроосциллирующей границей”, Изв. РАН. Сер. матем., 72:3 (2008), 103–158
  8. С. Е. Пастухова, “Эффект осциллирующей границы при усреднении одной задачи климатизации”, Дифференц. уравнения, 37:9 (2001), 1216–1222
  9. Y. Amirat, O. Bodart, G. A. Chechkin, A. L. Piatnitski, “Boundary homogenization in domains with randomly oscillating boundary”, Stochastic Process. Appl., 121:1 (2011), 1–23
  10. J. M. Arrieta, S. M. Bruschi, “Very rapidly varying boundaries in equations with nonlinear boundary conditions. The case of a non uniformly Lipschitz deformation”, Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. B, 14:2 (2010), 327–351
  11. G. R. Barrenechea, P. Le Tallec, F. Valentin, “New wall laws for the unsteady incompressible Navier–Stokes equations on rough domains”, M2AN Math. Model. Numer. Anal., 36:2 (2002), 177–203
  12. G. A. Chechkin, A. Friedman, A. L. Piatnitski, “The boundary-value problem in domains with very rapidly oscillating boundary”, J. Math. Anal. Appl., 231:1 (1999), 213–234
  13. E. N. Dancer, D. Daners, “Domain perturbation for elliptic equations subject to Robin boundary conditions”, J. Differential Equations, 138:1 (1997), 86–132
  14. M. K. Gobbert, C. A. Ringhofer, “An asymptotic analysis for a model of chemical vapor deposition on a microstructured surface”, SIAM J. Appl. Math., 58:3 (1998), 737–752
  15. W. Jäger, A. Mikelic, “Couette flows over a rough boundary and drag reduction”, Comm. Math. Phys., 232:3 (2003), 429–455
  16. Myong-Hwan Ri, Effective wall-laws for the Stokes equations over curved rough boundaries
  17. N. Neuss, M. Neuss-Radu, A. Mikelic, “Effective laws for the Poisson equation on domains with curved oscillating boundaries”, Appl. Anal., 85:5 (2006), 479–502
  18. D. Borisov, G. Cardone, L. Faella, C. Perugia, “Uniform resolvent convergence for strip with fast oscillating boundary”, J. Differential Equations, 255:12 (2013), 4378–4402
  19. Д. И. Борисов, “Об операторных оценках для плоских областей с нерегулярным искривлением границы: условия Дирихле и Неймана”, Проблемы матем. анализа, 116 (2022), 69–84
  20. Д. И. Борисов, Р. Р. Сулейманов, “Об операторных оценках для эллиптических операторов со смешанными краевыми условиями в двумерных областях с быстро осциллирующей границей”, Матем. заметки, 116:2 (2024), 163–184
  21. В. Г. Мазья, Пространства С. Л. Соболева, Изд-во Ленингр. ун-та, Л., 1985, 416 с.
  22. М. М. Вайнберг, Вариационный метод и метод монотонных операторов в теории нелинейных уравнений, Наука, М., 1972, 416 с.
  23. Ю. А. Дубинский, “Нелинейные эллиптические и параболические уравнения”, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат., 9 (1976), 5–130, ВИНИТИ, М.
  24. Т. Като, Теория возмущений линейных операторов, Мир, М., 1972, 740 с.
  25. С. Е. Пастухова, “Об оценках усреднения для сингулярно возмущенных операторов”, Проблемы матем. анализа, 106 (2020), 149–168
  26. G. Griso, “Interior error estimate for periodic homogenization”, Anal. Appl. (Singap.), 4:1 (2006), 61–79
  27. N. N. Senik, “Homogenization for non-self-adjoint periodic elliptic operators on an infinite cylinder”, SIAM J. Math. Anal., 49:2 (2017), 874–898
  28. T. A. Suslina, “Homogenization of the Dirichlet problem for elliptic systems: $L_2$-operator error estimates”, Mathematika, 59:2 (2013), 463–476
  29. T. A. Suslina, “Homogenization of the Neumann problem for elliptic systems with periodic coefficients”, SIAM J. Math. Anal., 45:6 (2013), 3453–3493

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2025 Borisov D.I., Suleimanov R.R.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».