Полигомоморфизмы локально компактных групп

Обложка
  • Авторы: Неретин Ю.А.1,2,3,4
  • Учреждения:
    1. Faculty of Mathematics, University of Vienna
    2. Институт теоретической и экспериментальной физики им. А. И. Алиханова
    3. Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, механико-математический факультет
    4. Институт проблем передачи информации им. А.А. Харкевича Российской академии наук
  • Выпуск: Том 212, № 2 (2021)
  • Страницы: 53-80
  • Раздел: Статьи
  • URL: https://ogarev-online.ru/0368-8666/article/view/142359
  • DOI: https://doi.org/10.4213/sm9412
  • ID: 142359

Цитировать

Полный текст

Открытый доступ Открытый доступ
Доступ закрыт Доступ предоставлен
Доступ закрыт Только для подписчиков

Аннотация

Пусть $G$ и $H$ – локально компактные группы с фиксированными двусторонне инвариантными мерами Хаара. Полигомоморфизм $G\rightarrowtail H$ – это замкнутая подгруппа $R\subset G\times H$ с фиксированной мерой Хаара $\rho$, причем проекции $\rho$ на $G$ и на $H$ мажорируются мерами Хаара на $G$ и $H$. Полигомоморфизм можно рассматривать как многозначное отображение, переводящее точки в подмножества, снабженные “равномерной” мерой. Для двух полигомоморфизмов $G\rightarrowtail H$, $H\rightarrowtail K$ корректно определено произведение $G\rightarrowtail H$. Множество всех полигомоморфизмов $G\rightarrowtail K$, снабженное топологией Шаботи–Бурбаки, является метризуемым компактным пространством, произведение является раздельно непрерывным. Полигомоморфизмy $G\rightarrowtail H$ канонически соответствует оператор $L^2(H)\to L^2(G)$, являющийся частичной изометрией с точностью до постоянного множителя. В качестве примера мы рассматриваем локально компактные линейные пространства над конечными полями и находим замыкания групп линейных операторов в полугруппах полигомоморфизмов. Библиография: 40 названий.

Об авторах

Юрий Александрович Неретин

Faculty of Mathematics, University of Vienna; Институт теоретической и экспериментальной физики им. А. И. Алиханова; Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, механико-математический факультет; Институт проблем передачи информации им. А.А. Харкевича Российской академии наук

Email: hepetuh@yandex.ru
доктор физико-математических наук, профессор

Список литературы

  1. Э. Хьюитт, К. Росс, Абстрактный гармонический анализ, т. I, Структура топологических групп. Теория интегрирования. Представления групп, Наука, М., 1975, 654 с.
  2. Н. Бурбаки, Общая топология. Топологические группы. Числа и связанные с ними группы и пространства, Наука, М., 1969
  3. Н. Бурбаки, Интегрирование. Векторное интегрирование. Мера Хаара. Свертка и представления, Наука, М., 1970
  4. А. Вейль, Интегрирование в топологических группах и его применения, ИЛ, М., 1950, 224 с.
  5. Д. П. Желобенко, Основные структуры и методы теории представлений, МЦНМО, М., 2004, 488 с.
  6. Ю. А. Неретин, Топологические группы и инвариантные меры
  7. A. S. Kechris, Classical descriptive set theory, Grad. Texts in Math., 156, Springer-Verlag, New York, 1995, xviii+402 pp.
  8. В. И. Богачев, Основы теории меры, т. 2, НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, Москва–Ижевск, 2003, 576 с.
  9. С. Маклейн, “Алгебра аддитивных отношений”, Математика, 7:6 (1963), 3–12
  10. Yu. A. Neretin, Lectures on Gaussian integral operators and classical groups, EMS Ser. Lect. Math., Eur. Math. Soc. (EMS), Zürich, 2011, xii+559 pp.
  11. H. Schubert, Kategorien, v. I, Heidelberger Taschenbücher, 65, Springer-Verlag, Berlin–New York, 1970, ix+160 pp.
  12. Ю. А. Неретин, Категории симметрий и бесконечномерные группы, Эдиториал УРСС, М., 1998, 431 с.
  13. E. Michael, “Topologies on spaces of subsets”, Trans. Amer. Math. Soc., 71 (1951), 152–182
  14. I. Biringer, “Metrizing the Chabauty topology”, Geom. Dedicata, 195 (2018), 19–22
  15. Ю. А. Неретин, “Категории бистохастических мер и представления некоторых бесконечномерных групп”, Матем. сб., 183:2 (1992), 52–76
  16. Г. Е. Шилов, Б. Л. Гуревич, Интеграл, мера и производная, 2-е изд., Наука, М., 1967, 220 с.
  17. E. Hopf, “The general temporally discrete Markoff process”, J. Rational Mech. Anal., 3 (1954), 13–45
  18. Ж. Невe, Математические основы теории вероятностей, Мир, М., 1969, 309 с.
  19. А. М. Вершик, “Многозначные отображения с инвариантной мерой (полиморфизмы) и марковские операторы”, Проблемы теории вероятностных распределений. IV, Зап. науч. сем. ЛОМИ, 72, Изд-во “Наука”, Ленинград. отд., Л., 1977, 26–61
  20. U. Krengel, Ergodic theorems, De Gruyter Stud. Math., 6, Walter de Gruyter & Co., Berlin, 1985, viii+357 pp.
  21. K. Schmidt, A. Vershik, “Algebraic polymorphisms”, Ergodic Theory Dynam. Systems, 28:2 (2008), 633-642
  22. J. A. Wolf, “Elliptic spaces in Grassmann manifolds”, Illinois J. Math., 7:3 (1963), 447–462
  23. T. Tsankov, “Unitary representations of oligomorphic groups”, Geom. Funct. Anal., 22:2 (2012), 528–555
  24. G. I. Ol'shanskiĭ, “On semigroups related to infinite-dimensional groups”, Topics in representation theory, Adv. Soviet Math., 2, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1991, 67–101
  25. Yu. A. Neretin, “The space $L^2$ on semi-infinite Grassmannian over finite field”, Adv. Math., 250 (2014), 320–350
  26. Yu. A. Neretin, Groups $mathrm{GL}(infty)$ over finite fields and multiplications of double cosets
  27. Yu. A. Neretin, On the Weil representation of infinite-dimensional symplectic group over a finite field
  28. G. I. Olshanskiĭ, “Unitary representations of infinite-dimensional pairs $(G,K)$ and the formalism of R. Howe”, Representations of Lie groups and related topics, Adv. Stud. Contemp. Math., 7, Gordon and Breach, New York, 1990, 269–463
  29. E. Nelson, “The free Markoff field”, J. Funct. Anal., 12:2 (1973), 211–227
  30. Yu. A. Neretin, “Spreading maps (polymorphisms), symmetries of Poisson processes, and matching summation”, Теория представлений, динамические системы, комбинаторные и алгоритмические методы. VII, Зап. науч. сем. ПОМИ, 292, ПОМИ, СПб., 2002, 62–91
  31. Yu. Neretin, “Symmetries of Gaussian measures and operator colligations”, J. Funct. Anal., 263:3 (2012), 782–802
  32. Ю. А. Неретин, “Распределения Уишарта–Пикреля и замыкания групповых действий”, Теория представлений, динамические системы, комбинаторные методы. XXVII, Зап. науч. сем. ПОМИ, 448, ПОМИ, СПб., 2016, 236–245
  33. R. E. Howe, C. C. Moore, “Asymptotic properties of unitary representations”, J. Funct. Anal., 32:1 (1979), 72–96
  34. J. King, “The commutant is the weak closure of the powers, for rank-1 transformations”, Ergodic Theory Dynam. Systems, 6:3 (1986), 363–384
  35. E. Janvresse, T. de la Rue, V. Ryzhikov, “Around King's rank-one theorems: flows and $mathbb{Z}^n$-actions”, Dynamical systems and group actions, Contemp. Math., 567, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2012, 143–161
  36. S. Solecki, “Closed subgroups generated by generic measure automorphisms”, Ergodic Theory Dynam. Systems, 34:3 (2014), 1011–1017
  37. E. Janvresse, A. A. Prikhod'ko, T. de la Rue, V. V. Ryzhikov, “Weak limits of powers of Chacon's automorphism”, Ergodic Theory Dynam. Systems, 35:1 (2015), 128–141
  38. А. Ю. Кушнир, В. В. Рыжиков, “Слабые замыкания эргодических действий”, Матем. заметки, 100:6 (2016), 847–854
  39. В. В. Рыжиков, “Слабое замыкание бесконечных действий ранга $1$, присоединения и спектр”, Матем. заметки, 106:6 (2019), 894–903
  40. G. W. Mackey, “Borel structure in groups and their duals”, Trans. Amer. Math. Soc., 85 (1957), 134–165

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать

© Неретин Ю.А., 2021

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).