Логарифмический характер асимптотики решений нелинейного уравнения типа Соболева с кубической нелинейностью

Обложка

Цитировать

Полный текст

Открытый доступ Открытый доступ
Доступ закрыт Доступ предоставлен
Доступ закрыт Только для подписчиков

Аннотация

Рассмотрена задача Коши для нелинейного уравнения типа Соболева с кубической нелинейностью$$\begin{cases}i \partial_{t}(u-\partial_{x}^{2}u)+\partial_{x}^{2}u-a \partial_{x}^{4}u=u^{3},& t>0, x\in\mathbb{R},u(0,x) =u_{0}(x),& x\in\mathbb{R},\end{cases}$$где $a>1/5$, $a\neq1$. Доказано, что асимптотика решения обладает дополнительным логарифмическим убыванием по сравнению с соответствующим линейным случаем. Для нахождения асимптотики решений задачи Коши для нелинейного уравнения типа Соболева развивается техника факторизации. Также для получения оценок производных операторов дефекта применяются $\mathbf{L}^{2}$-оценки псевдодифференциальных операторов.Библиография: 20 названий.

Об авторах

Павел Иванович Наумкин

National Autonomous University of Mexico, Center of Mathematical Sciences

Автор, ответственный за переписку.
Email: pavelni@matmor.unam.mx

Список литературы

  1. С. Л. Соболев, “Об одной новой задаче математической физики”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 18:1 (1954), 3–50
  2. А. Г. Свешников, А. Б. Альшин, М. О. Корпусов, Ю. Д. Плетнер, Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа, Физматлит, М., 2007, 734 с.
  3. A. B. Al'shin, M. O. Korpusov, A. G. Sveshnikov, Blow-up in nonlinear Sobolev type equations, De Gruyter Ser. Nonlinear Anal. Appl., 15, Walter de Gruyter & Co., Berlin, 2011, xii+648 pp.
  4. M. O. Korpusov, A. V. Ovchinnikov, A. G. Sveshnikov, E. V. Yushkov, Blow-up in nonlinear equations of mathematical physics. Theory and methods, De Gruyter Ser. Nonlinear Anal. Appl., 27, De Gruyter, Berlin, 2018, xviii+326 pp.
  5. Е. И. Кайкина, П. И. Наумкин, И. А. Шишмарев, “Задача Коши для уравнения типа Соболева со степенной нелинейностью”, Изв. РАН. Сер. матем., 69:1 (2005), 61–114
  6. Е. И. Кайкина, П. И. Наумкин, И. А. Шишмарев, “Асимптотика решений при больших временах для нелинейных уравнений типа Соболева”, УМН, 64:3(387) (2009), 3–72
  7. N. Hayashi, P. I. Naumkin, “Nongauge invariant cubic nonlinear Schrödinger equations”, Pac. J. Appl. Math. Yearbook, 1 (2012), 1–16
  8. P. I. Naumkin, I. Sanchez-Suarez, “On the critical nongauge invariant nonlinear Schrödinger equation”, Discrete Contin. Dyn. Syst., 30:3 (2011), 807–834
  9. N. Hayashi, P. I. Naumkin, “Global existence for the cubic nonlinear Schrodinger equation in low order Sobolev spaces”, Differential Integral Equations, 24:9-10 (2011), 801–828
  10. N. Hayashi, T. Ozawa, “Scattering theory in the weighted $L^{2}(mathbb R^{n})$ spaces for some Schrödinger equations”, Ann. Inst. H. Poincare Phys. Theor., 48:1 (1988), 17–37
  11. N. Hayashi, P. I. Naumkin, “The initial value problem for the cubic nonlinear Klein–Gordon equation”, Z. Angew. Math. Phys., 59:6 (2008), 1002–1028
  12. N. Hayashi, P. I. Naumkin, “Factorization technique for the modified Korteweg–de Vries equation”, SUT J. Math., 52:1 (2016), 49–95
  13. П. И. Наумкин, “Асимптотика решений модифицированного уравнения Уизема, учитывающего поверхностное натяжение”, Изв. РАН. Сер. матем., 83:2 (2019), 174–203
  14. П. И. Наумкин, “Оценки убывания решений задачи Коши для модифицированного уравнения Кавахары”, Матем. сб., 210:5 (2019), 72–108
  15. М. В. Федорюк, Асимптотика. Интегралы и ряды, Наука, М., 1987, 544 с.
  16. A. P. Calderon, R. Vaillancourt, “A class of bounded pseudo-differential operators”, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 69:5 (1972), 1185–1187
  17. R. R. Coifman, Y. Meyer, Au delà des operateurs pseudo-differentiels, Asterisque, 57, Soc. Math. France, Paris, 1978, i+185 pp.
  18. H. O. Cordes, “On compactness of commutators of multiplications and convolutions, and boundedness of pseudodifferential operators”, J. Funct. Anal., 18:2 (1975), 115–131
  19. I. L. Hwang, “The $L^{2}$-boundedness of pseudodifferential operators”, Trans. Amer. Math. Soc., 302, no. 1, 1987, 55–76
  20. T. Cazenave, Semilinear Schrödinger equations, Courant Lect. Notes Math., 10, New York Univ., Courant Inst. Math. Sci., New York; Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2003, xiv+323 pp.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать

© Наумкин П.И., 2023

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).