Том 214, № 7 (2023)

Согласно теореме Якоби–Шаля для любой геодезической на $n$-осном эллипсоиде в евклидовом $n$-мерном пространстве найдутся помимо этого эллипсоида еще $n-2$ софокусных с ним квадрик, которых одновременно касаются все касательные прямые, проведенные к этой геодезической. В работе показано, что если рассмотреть геодезический поток на пересечении нескольких невырожденных софокусных квадрик, результат останется верным. Как и в случае теоремы Якоби–Шаля, этот факт обеспечивает интегрируемость соответствующего геодезического потока. Для каждого компактного пересечения нескольких невырожденных софокусных квадрик был определен его класс гомеоморфности. Как оказалось, любое такое пересечение гомеоморфно прямому произведению нескольких сфер. Также в работе описано достаточное условие на потенциал, добавление которого сохранит интегрируемость соответствующей динамической системы на пересечении произвольного числа софокусных квадрик.Библиография: 16 названий.

Весовой системой называют функцию на хордовых диаграммах, удовлетворяющую 4-членному соотношению Васильева. По алгебре Ли $\mathfrak{sl}_2$ можно построить простейшую нетривиальную весовую систему. Полученная $\mathfrak{sl}_2$-весовая система принимает значения в пространстве многочленов от одной переменной и полностью определяется рекуррентными соотношениями Чмутова–Варченко. Хотя определение $\mathfrak{sl}_2$-весовой системы довольно просто, ее вычисления очень трудоемки, поэтому конкретные значения известны лишь для небольшого числа хордовых диаграмм. Для явного вида значений на хордовых диаграммах с полным графом пересечений С. К. Ландо выдвинул гипотезу, которую поначалу удалось доказать лишь для коэффициентов при линейных членах значений весовой системы. Мы полностью доказываем эту гипотезу, пользуясь рекуррентными соотношениями Чмутова–Варченко и введенными нами линейными операторами добавления хорды к доле – подмножеству хорд диаграммы с концами на двух выделенных дугах. Также, опираясь на производящую функцию значений $\mathfrak{sl}_2$-весовой системы на хордовых диаграммах с полным графом пересечений, мы доказываем изоморфность факторпространства долей по модулю рекуррентных соотношений пространству многочленов от двух переменных. Библиография: 10 названий.

Рассматривается спектральная задача Дирихле для оператора Лапласа в бесконечном тонкостенном прямоугольном коробе с периодическим семейством перегородок, толщина которых пропорциональна толщине стенок. При помощи асимптотического анализа доказано раскрытие лакун в спектре при “тонких” или “достаточно толстых” перегородках, для которых относительная толщина ограничена сверху или снизу некоторыми характеристиками модельных задач Дирихле в $\mathsf L$- и $\mathsf T$-образных областях на плоскости и объединении взаимно перпендикулярных двух половин и одной четверти пространственных слоев. Сформулированы многочисленные открытые вопросы, в частности, из-за отсутствия информации о пороговых резонансах в трехмерной модельной задаче осталась неизученной структура спектра в случае перегородок всех промежуточных толщин. Библиография: 35 названий.