Задача быстродействия на группе движений плоскости с управлением в полукруге

Обложка

Цитировать

Полный текст

Открытый доступ Открытый доступ
Доступ закрыт Доступ предоставлен
Доступ закрыт Только для подписчиков

Аннотация

Исследуется задача быстродействия на группе движений плоскости с управлением в полукруге. Рассматриваемая управляемая система задает модель машины на плоскости, которая может двигаться вперед и вращаться на месте. Оптимальные по заданной внешней стоимости траектории такой системы используются в обработке изображений для поиска выделяющихся кривых. В частности, такие траектории используются в анализе медицинских изображений при поиске сосудов на фото сетчатки глаза человека. Задача представляет интерес в геометрической теории управления как модельный пример, в котором множество значений управляющих параметров содержит нуль на границе. В работе изучен вопрос управляемости и существования оптимальных траекторий. На основе анализа гамильтоновой системы принципа максимума Понтрягина найден явный вид экстремальных управлений и траекторий. Частично исследован вопрос оптимальности экстремалей. Описана структура оптимального синтеза.Библиография: 33 названия.

Об авторах

Алексей Павлович Маштаков

Институт программных систем им. А. К. Айламазяна РАН

Email: alexey.mashtakov@gmail.com
кандидат технических наук, старший научный сотрудник

Список литературы

  1. L. E. Dubins, “On curves of minimal length with a constraint on average curvature, and with prescribed initial and terminal positions and tangents”, Amer. J. Math., 79:3 (1957), 497–516
  2. J. A. Reeds, L. A. Shepp, “Optimal paths for a car that goes both forwards and backwards”, Pacific J. Math., 145:2 (1990), 367–393
  3. Y. L. Sachkov, “Cut locus and optimal synthesis in the sub-Riemannian problem on the group of motions of a plane”, ESAIM Control Optim. Calc. Var., 17:2 (2011), 293–321
  4. R. Duits, S. P. L. Meesters, J.-M. Mirebeau, J. M. Portegies, “Optimal paths for variants of the $2D$ and $3D$ Reeds–Shepp car with applications in image analysis”, J. Math. Imaging Vision, 60:6 (2018), 816–848
  5. J.-P. Laumond, “Feasible trajectories for mobile robots with kinematic and environment constraints”, Intelligent autonomous systems (Amsterdam, 1986), North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1987, 346–354
  6. R. Montgomery, A tour of subriemannian geometries, their geodesics and applications, Math. Surveys Monogr., 91, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2002, xx+259 pp.
  7. H. J. Sussmann, Guoqing Tang, Shortest paths for the Reeds–Shepp car: a worked out example of the use of geometric techniques in nonlinear optimal control, Report SYCON1-10, Rutgers Univ., 1991, 72 pp.
  8. В. Н. Берестовский, “Геодезические левоинвариантной неголономной римановой метрики на группе движений евклидовой плоскости”, Сиб. матем. журн., 35:6 (1994), 1223–1229
  9. G. Sanguinetti, E. Bekkers, R. Duits, M. H. J. Janssen, A. Mashtakov, J. M. Mirebeau, “Sub-Riemannian fast marching in $operatorname{SE}(2)$”, Progress in pattern recognition, image analysis, computer vision, and applications, Lecture Notes in Comput. Sci., 9423, Springer, Cham, 2015, 366–374
  10. E. J. Bekkers, R. Duits, A. Mashtakov, Y. Sachkov, “Vessel tracking via sub-Riemannian geodesics on the projective line bundle”, Geometric science of information, Lecture Notes in Comput. Sci., 10589, Springer, Cham, 2017, 773–781
  11. А. А. Аграчев, Ю. Л. Сачков, Геометрическая теория управления, Физматлит, М., 2005, 392 с.
  12. А. А. Ардентов, Л. В. Локуциевский, Ю. Л. Сачков, “Решение серии задач оптимального управления с 2-мерным управлением на основе выпуклой тригонометрии”, Докл. РАН. Мат. информ. проц. упр., 494:1 (2020), 86–92
  13. J. Petitot, “The neurogeometry of pinwheels as a sub-Riemannian contact structure”, J. Physiol. Paris, 97:2-3 (2003), 265–309
  14. G. Citti, A. Sarti, “A cortical based model of perceptual completion in the roto-translation space”, J. Math. Imaging Vision, 24:3 (2006), 307–326
  15. U. Boscain, R. A. Chertovskih, J. P. Gauthier, A. O. Remizov, “Hypoelliptic diffusion and human vision: a semidiscrete new twist”, SIAM J. Imaging Sci., 7:2 (2014), 669–695
  16. U. Boscain, J.-P. Gauthier, D. Prandi, A. Remizov, “Image reconstruction via non-isotropic diffusion in Dubins/Reed–Shepp-like control systems”, 53rd IEEE conference on decision and control (Los Angeles, CA, 2014), IEEE, 2014, 4278–4283
  17. A. P. Mashtakov, A. A. Ardentov, Yu. L. Sachkov, “Parallel algorithm and software for image inpainting via sub-Riemannian minimizers on the group of rototranslations”, Numer. Math. Theory Methods Appl., 6:1 (2013), 95–115
  18. B. Franceschiello, A. Mashtakov, G. Citti, A. Sarti, “Geometrical optical illusion via sub-Riemannian geodesics in the roto-translation group”, Differential Geom. Appl., 65 (2019), 55–77
  19. R. Duits, U. Boscain, F. Rossi, Y. Sachkov, “Association fields via cuspless sub-Riemannian geodesics in $operatorname{SE}(2)$”, J. Math. Imaging Vision, 49:2 (2014), 384–417
  20. U. Boscain, R. Duits, F. Rossi, Yu. Sachkov, “Curve cuspless reconstruction via sub-Riemannian geometry”, ESAIM Control Optim. Calc. Var., 20:3 (2014), 748–770
  21. D. J. Field, A. Hayes, R. F. Hess, “Contour integration by the human visual system: evidence for a local “association field””, Vision Res., 33:2 (1993), 173–193
  22. R. Duits, M. Felsberg, G. Granlund, B. Romeny, “Image analysis and reconstruction using a wavelet transform constructed from a reducible representation of the Euclidean motion group”, Int. J. Comput. Vis., 72:1 (2007), 79–102
  23. E. J. Bekkers, R. Duits, A. Mashtakov, G. R. Sanguinetti, “A PDE approach to data-driven sub-Riemannian geodesics in $operatorname{SE}(2)$”, SIAM J. Imaging Sci., 8:4 (2015), 2740–2770
  24. A. Mashtakov, R. Duits, Yu. Sachkov, E. J. Bekkers, I. Beschastnyi, “Tracking of lines in spherical images via sub-Riemannian geodesics in $operatorname{SO}(3)$”, J. Math. Imaging Vision, 58:2 (2017), 239–264
  25. R. Duits, A. Ghosh, T. C. J. Dela Haije, A. Mashtakov, “On sub-Riemannian geodesics in $operatorname{SE}(3)$ whose spatial projections do not have cusps”, J. Dyn. Control Syst., 22:4 (2016), 771–805
  26. W. L. J. Scharpach, Optimal paths for the Reeds–Shepp car with monotone spatial control and vessel tracking in medical image analysis, MSc. Thesis, Univ. of Technology, Eindhoven, 2018, 60 pp.
  27. М. И. Зеликин, Оптимальное управление и вариационное исчисление, 2-е изд., Едиториал УРСС, М., 2004, 160 с.
  28. A. Agrachev, D. Barilari, U. Boscain, A comprehensive introduction to sub-Riemannian geometry. From the Hamiltonian viewpoint, Cambridge Stud. Adv. Math., 181, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2020, xviii+745 pp.
  29. C. Laurent-Gengoux, A. Pichereau, P. Vanhaecke, Poisson structures, Grundlehren Math. Wiss., 347, Springer, Heidelberg, 2013, xxiv+461 pp.
  30. M. Lakshmanan, S. Rajasekar, Nonlinear dynamics. Integrability, chaos and patterns, Adv. Texts Phys., Springer-Verlag, Berlin, 2003, xx+619 pp.
  31. P. M. Mathews, M. Lakshmanan, “Dynamics of a nonlinear field”, Ann. Physics, 79:1 (1973), 171–185
  32. В. И. Арнольд, Обыкновенные дифференциальные уравнения, 4-е изд., РХД, Ижевск, 2000, 368 с.
  33. P. F. Byrd, M. D. Friedman, “Table of integrals of Jacobian elliptic functions”, Handbook of elliptic integrals for engineers and scientists, Grundlehren Math. Wiss., 67, Springer, Berlin–Heidelberg, 1971, 191–222

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать

© Маштаков А.П., 2022

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).