Том 212, № 4 (2021)

Изучается квазилинейное уравнение первого порядка с нечетной функцией потока, имеющей в нуле единственную точку перегиба. Предложен способ построения разрывных знакопеременных энтропийных решений этого уравнения, основанный на преобразовании Лежандра. Библиография: 18 названий.

В настоящей работе изучается задача наиболее эффективной записи на языке первого порядка свойства наличия индуцированного подграфа, изоморфного заданному pattern-графу, тесно связанная с оцениванием временной сложности проверки такого свойства. Мы получили ряд новых оценок наименьшей кванторной глубины формулы, определяющей упомянутое свойство для pattern-графов на пяти вершинах, а также для дизъюнктных объединений изоморфных полных многодольных графов. Кроме того, мы доказали, что для любого $\ell\geq 4$ найдется граф на $\ell$ вершинах и формула первого порядка кванторной глубины не более $\ell-1$, записывающая свойство содержать индуцированный подграф, изоморфный этому графу.Библиография: 12 названий.

В работе дано описание бирациональной геометрии двойных пространств Фано $V\stackrel{\sigma}{\to}{\mathbb P}^{M+1}$ индекса 2 размерности $\geqslant 8$, имеющих не более чем квадратичные особенности ранга $\geqslant 8$ и удовлетворяющих некоторым дополнительным условиям общности положения: доказано, что эти многообразия не имеют структур рационально связного расслоения над базой размерности $\geqslant 2$, что любое бирациональное отображение $\chi\colon V\dashrightarrow V'$ на тотальное пространство расслоения Мори $V'/{\mathbb P}^1$ индуцирует изоморфизм $V^+\cong V'$ раздутия $V^+$ многообразия $V$ вдоль $\sigma^{-1}(P)$, где $P\subset {\mathbb P}^{M+1}$ есть некоторое линейное подпространство коразмерности 2, и что любое бирациональное отображение многообразия $V$ на многообразие Фано $V'$ с ${\mathbb Q}$-факториальными терминальными особенностями и числом Пикара 1 есть изоморфизм. Дана явная нижняя оценка коразмерности множества многообразий $V$, имеющих худшие особенности или не удовлетворяющих условиям общности положения, квадратичная по $M$. Доказательство использует метод максимальных особенностей и усиленное $4n^2$-неравенство для самопересечения подвижной линейной системы. Библиография: 20 названий.

В настоящей статье решена проблема Хуа Ло-Кена с простыми числами, четыре из которых имеют двоичные разложения специального вида, а пятое удовлетворяет неравенству $\{(1/2)p^{1/c}\}<1/2$, где $c\in (1,2]$.Библиография: 13 названий.