Vol 215, No 10 (2024)

В статье исследуются пространства модулей полустабильных когерентных пучков ранга $2$ на проективном пространстве $\mathbb{P}^3$ и следующих за ним рациональных многообразиях Фано основной серии – трехмерной квадрике $X_2$, пересечении двух четырехмерных квадрик $X_4$ и многообразии Фано $X_5$ степени $5$. Для квадрики $X_2$ доказана ограниченность третьего класса Черна $c_3$ полустабильных объектов ранга $2$, в том числе пучков, из $\mathrm{D}^b(X_2)$. Дано явное описание всех пространств модулей полустабильных пучков ранга $2$ на $X_2$, в том числе рефлексивных, с максимальным третьим классом Черна $c_3\ge0$. Эти пространства оказываются неприводимыми гладкими рациональными многообразиями во всех случаях, за исключением следующих двух: $(c_1,c_2,c_3)=(0,2,2)$ либо $(0,4,8)$. Найден первый пример несвязного пространства модулей полустабильных пучков ранга $2$ с фиксированными классами Черна на гладком проективном многообразии – это второй из указанных исключительных случаев $(c_1,c_2,c_3)= (0,4,8)$ на квадрике $X_2$. Построен ряд новых бесконечных серий рациональных компонент пространств модулей полустабильных пучков ранга $2$ на $\mathbb{P}^3$, $X_2$, $X_4$ и $X_5$, а также новая бесконечная серия нерациональных компонент на $X_4$. Доказана ограниченность класса $c_3$ при $c_1=0$ и любом $c_2>0$ для стабильных рефлексивных пучков основного типа на многообразиях $X_4$ и $X_5$.Библиография: 30 названий.

Найден критерий связности группы автоморфизмов аффинного торического многообразия в комбинаторных терминах и в терминах группы классов дивизоров многообразия. Описана группа компонент группы автоморфизмов невырожденного аффинного торического многообразия. В частности, доказано, что для таких многообразий число компонент связности группы автоморфизмов конечно.Библиография: 12 названий.

Эта работа является прямым продолжением недавних работ автора. В этой работе мы продолжаем анализировать свойства аппроксимации и восстановления по системам, удовлетворяющим условию универсальной дискретизации по значениям в точках и специальному условию безусловности. Кроме того, мы предполагаем, что подпространство, натянутое на нашу систему, удовлетворяет некоторым неравенствам Никольского. В основном мы изучаем восстановление с ошибкой, измеренной в норме $L_p$ для $2\le p<\infty$. Мы применяем мощный нелинейный метод приближения – алгоритм слабого ортогонального преследования (АСОП) (Weak Orthogonal Matching Pursuit (WOMP)), который также известен под названием слабый ортогональный жадный алгоритм (СОЖА) (Weak Orthogonal Greedy Algorithm (WOGA)). Мы устанавливаем, что АСОП, основанный на точках, которые дают хорошую универсальную дискретизацию в $L_2$, обеспечивает хорошее восстановление в норме $L_p$ для $2\le p<\infty$. Для наших алгоритмов восстановления мы получаем как неравенства Лебега для индивидуальных функций, так и оценки ошибок для специальных функциональных классов функций многих переменных. В этой работе для того, чтобы получить новые результаты о восстановлении по выборке (по значениям в точках), мы одновременно используем два глубоких и мощных метода: неравенства типа Лебега для АСОП и теорию универсальной дискретизации по значениям в точках. Библиография: 19 названий.