Realization of permutations of even degree by products of three fixed-point-free involutions

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

We consider representations of a permutation $\pi$ of degree $2n$, $n\geqslant3$, by a product of three so-called pairwise-cycle permutations, all of whose cycles have length $2$. This is a valid question for even permutations if $n$ is even and for odd permutations if $n$ is odd. We prove constructively that for $n\geqslant4$, $n\neq8$, such a representation holds for all permutations $\pi$ of the same parity as $n$, apart from four exceptional conjugacy classes. For $n=8$ there are five exceptional conjugacy classes, and for $n=3$ there is one such class. Bibliography: 32 titles.

About the authors

Fedor Mikhailovich Malyshev

Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences, Moscow, Russia

Email: malyshevfm@mi-ras.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Head Scientist Researcher

References

  1. Н. Бурбаки, Группы и алгебры Ли, Гл. IV–VI. Группы Кокстера и системы Титса. Группы, порожденные отражениями. Системы корней, Элементы математики, Мир, М., 1972, 334 с.
  2. Э. Артин, Геометрическая алгебра, Наука, M., 1969, 283 с.
  3. P. R. Halmos, S. Kakutani, “Products of symmetries”, Bull. Amer. Math. Soc., 64 (1958), 77–78
  4. H. Radjavi, “Products of Hermitian matrices and symmetries”, Proc. Amer. Math. Soc., 21 (1969), 369–372
  5. A. R. Sampson, “A note on a new matrix decomposition”, Linear Algebra Appl., 8:5 (1974), 459–463
  6. W. C. Waterhouse, “Factoring unimodular matrices”, in “Solutions of advanced problems: 5876”, Amer. Math. Monthly, 81:9 (1974), 1035
  7. W. H. Gustafson, P. R. Halmos, H. Radjavi, “Products of involutions”, Linear Algebra Appl., 13:1-2 (1976), 157–162
  8. G. Moran, “Permutations as products of $k$ conjugate involutions”, J. Combin. Theory Ser. A, 19:2 (1975), 240–242
  9. Р. Картер, “Простые группы и простые алгебры Ли”, Математика, 10:5 (1966), 3–47
  10. Семинар по алгебраическим группам, Сборник статей, Мир, М., 1973, 315 с.
  11. Н. Т. Петров, “О длине простых групп”, Докл. АН СССР, 208:3 (1973), 537–540
  12. J. Denes, “The representation of a permutation as the product of a minimal number of transpositions, and its connection with the theory of graphs”, Magyar Tud. Akad. Mat. Kutato Int. Közl., 4 (1959), 63–71
  13. С. Пикар, “О базисах симметрической группы”, пер. с фр., Кибернетический сб. Нов. сер., 1, Мир, М., 1965, 7–34
  14. В. Г. Бардаков, “Разложение четных подстановок на два множителя заданного циклового строения”, Дискрет. матем., 5:1 (1993), 70–90
  15. В. Г. Бардаков, “Четные подстановки, не представимые в виде произведения двух подстановок заданного порядка”, Матем. заметки, 62:2 (1997), 169–177
  16. В. Л. Компельмахер, В. А. Лисовец, “Последовательное порождение подстановок с помощью базиса транспозиций”, Кибернетика, 1975, № 3, 17–21
  17. В. И. Сущанский, Р. А. Восканян, “О системах порождающих симметрических и знакопеременных групп, состоящих из циклов одинаковой длины”, Вопросы теории групп и гомологической алгебры, Ярославский гос. ун-т, Ярославль, 1985, 43–49
  18. А. Ю. Зубов, “О представлении подстановок в виде произведений транспозиции и полного цикла”, Фундамент. и прикл. матем., 15:1 (2009), 31–51
  19. M. T. Lugo, Profiles of large combinatorial structures, PhD Thesis, Univ. Pensylvania, 2010, 263 pp.
  20. А. Ю. Зубов, “Круговые инверсии перестановок и их использование в задачах сортировки”, ПДМ, 2016, № 1(31), 13–31
  21. В. Г. Михайлов, “Число разложений случайной подстановки в композицию двух инволюций с заданным циклом в одном из сомножителей”, Матем. вопр. криптогр., 8:1 (2017), 80–94
  22. L. Bugay, “Some involutions which generate the finite symmetric group”, Math. Sci. Appl. E-Notes, 8:1 (2020), 25–28
  23. J. L. Brenner, “Covering theorems for FINANSIGS VIII – almost all conjugacy classes in $A_n$ have exponent $leqslant4$”, J. Austral. Math. Soc. Ser. A, 25:2 (1978), 210–214
  24. Ф. М. Малышев, “Реализация четных подстановок четной степени произведениями четырех инволюций без неподвижных точек”, Дискрет. матем., 35:2 (2023), 18–33
  25. R. Ree, “A theorem on permutations”, J. Combin. Theory Ser. A, 10:2 (1971), 174–175
  26. W. Feit, R. Lyndon, L. Scott, “A remark about permutations”, J. Combin. Theory Ser. A, 18:2 (1975), 234–235
  27. Y. Dvir, “Covering properties of permutation groups”, Products of conjugacy classes in groups, Lecture Notes in Math., 1112, Springer-Verlag, Berlin, 1985, 197–221
  28. G. Moran, “Products of involution classes in infinite symmetric groups”, Trans. Amer. Math. Soc., 307:2 (1988), 745–762
  29. М. Э. Тужилин, “О скорости порождения знакопеременной группы полурегулярными инволюциями”, ПДМ, 2010, прил. к № 3, 14–15
  30. C. P. Bonnington, C. H. C. Little, The foundations of topological graph theory, Springer-Verlag, New York, 1995, x+178 pp.
  31. Г. Рингель, Теорема о раскраске карт, Мир, М., 1977, 256 с.
  32. Л. С. Понтрягин, Основы комбинаторной топологии, 2-е изд., Наука, М., 1976, 136 с.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2024 Malyshev F.M.

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).