Estimates for integrals of derivatives of $n$-valent functions and geometric properties of domains

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

A number of questions concerning the behaviour of double integrals of the moduli of the derivatives of bounded n-valent functions and, in particular, of rational functions of fixed degree n are considered. For domains with rectifiable boundaries the sharp order of growth of such integral means is found in its dependence on n. Upper bounds for domains with fractal boundaries are obtained, which depend on the Minkowski dimension of the boundary of the domain. In certain cases these bounds are shown to be close to sharp ones. Lower bounds in terms of the integral means spectra of conformal mappings are also found. These inequalities refine Dolzhenko's classical results (1966) and some recent results due to the authors.

About the authors

Anton Dmitrievich Baranov

Saint Petersburg State University

Author for correspondence.
Email: anton.d.baranov@gmail.com
Doctor of physico-mathematical sciences, Associate professor

Ilgiz Rifatovich Kayumov

Kazan (Volga Region) Federal University; Saint Petersburg State University

Email: Ilgis.Kayumov@kpfu.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Head Scientist Researcher

References

  1. J. E. Brennan, “The integrability of the derivative in conformal mapping”, J. London Math. Soc. (2), 18:2 (1978), 261–272
  2. Е. П. Долженко, “Рациональные аппроксимации и граничные свойства аналитических функций”, Матем. сб., 69(111):4 (1966), 497–524
  3. Е. П. Долженко, “Некоторые точные интегральные оценки производных рациональных и алгебраических функций. Приложения”, Anal. Math., 4:4 (1978), 247–268
  4. В. В. Пеллер, “Операторы Ганкеля класса $mathfrak S_p$ и их приложения (рациональная аппроксимация, гауссовские процессы, проблема мажорации операторов)”, Матем. сб., 113(155):4(12) (1980), 538–581
  5. S. Semmes, “Trace ideal criteria for Hankel operators, and applications to Besov spaces”, Integral Equations Operator Theory, 7:2 (1984), 241–281
  6. А. А. Пекарский, “Неравенства типа Бернштейна для произвольных рациональных функций и обратные теоремы рациональной аппроксимации”, Матем. сб., 124(166):4(8) (1984), 571–588
  7. A. A. Pekarskii, “Approximation by rational functions with free poles”, East J. Approx., 13:3 (2007), 227–319
  8. В. И. Данченко, “Об одной интегральной оценке производной рациональной функции”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 43:2 (1979), 277–293
  9. В. И. Данченко, “Некоторые интегральные оценки производных рациональных функций на множествах с ограниченной плотностью”, Матем. сб., 187:10 (1996), 33–52
  10. E. Dyn'kin, “Inequalities for rational functions”, J. Approx. Theory, 91:3 (1997), 349–367
  11. E. Dyn'kin, “Rational functions in Bergman spaces”, Complex analysis, operators, and related topics, Oper. Theory Adv. Appl., 113, Birkhäuser Verlag, Basel, 2000, 77–94
  12. A. Baranov, R. Zarouf, “A Bernstein-type inequality for rational functions in weighted Bergman spaces”, Bull. Sci. Math., 137:4 (2013), 541–556
  13. A. Baranov, R. Zarouf, “The differentiation operator from model spaces to Bergman spaces and Peller type inequalities”, J. Anal. Math., 137:1 (2019), 189–209
  14. A. Baranov, R. Zarouf, “$H^infty$ interpolation and embedding theorems for rational functions”, Integral Equations Operator Theory, 91:3 (2019), 18, 19 pp.
  15. А. Д. Баранов, И. Р. Каюмов, “Оценки интегралов от производных рациональных функций в многосвязных областях на плоскости”, Изв. РАН. Сер. матем., 86:5 (2022), 5–17
  16. А. Д. Баранов, И. Р. Каюмов, “Интегральные оценки производных рациональных функций в гельдеровых областях”, Докл. РАН. Матем., информ., проц. упр., 507 (2022), 15–21
  17. Н. Г. Макаров, “Вероятностные методы в теории конформных отображений”, Алгебра и анализ, 1:1 (1989), 3–59
  18. R. Bañuelos, C. N. Moore, “Mean growth of Bloch functions and Makarov's law of the iterated logarithm”, Proc. Amer. Math. Soc., 112:3 (1991), 851–854
  19. А. Д. Баранов, И. Р. Каюмов, “Неравенство Долженко для $n$-листных функций: от гладких границ к фрактальным”, УМН, 77:6(468) (2022), 205–206
  20. Y. M. Chen, M. C. Liu, “On Littlewood's conjectural inequalities”, J. London Math. Soc. (2), 1:1 (1969), 385–397
  21. D. Beliaev, S. Smirnov, “On Littlewood's constants”, Bull. London Math. Soc., 37:5 (2005), 719–726
  22. Г. Федерер, Геометрическая теория меры, Наука, М., 1987, 760 с.
  23. M. Pavlovic, Function classes on the unit disc. An introduction, De Gruyter Stud. Math., 52, 2nd ed., De Gruyter, Berlin, 2019, xv+553 pp.
  24. A. D. Baranov, K. Yu. Fedorovskiy, “On $L^1$-estimates of derivatives of univalent rational functions”, J. Anal. Math., 132 (2017), 63–80
  25. N. G. Makarov, “Fine structure of harmonic measure”, Алгебра и анализ, 10:2 (1998), 1–62
  26. H. Hedenmalm, S. Shimorin, “Weighted Bergman spaces and the integral means spectrum of conformal mappings”, Duke Math. J., 127:2 (2005), 341–393
  27. N. G. Makarov, C. Pommerenke, “On coefficients, boundary size and Hölder domains”, Ann. Acad. Sci. Fenn. Math., 22:2 (1997), 305–312
  28. J. E. Littlewood, “On some conjectural inequalities, with applications to the theory of integral functions”, J. London Math. Soc., 27:4 (1952), 387–393
  29. И. Р. Каюмов, “Об одном неравенстве для универсального спектра интегральных средних”, Матем. заметки, 84:1 (2008), 139–143
  30. Yu. Belov, A. Borichev, K. Fedorovskiy, “Nevanlinna domains with large boundaries”, J. Funct. Anal., 277:8 (2019), 2617–2643
  31. Т. С. Мардвилко, А. А. Пекарский, “Прямая и обратная теоремы рациональной аппроксимации в пространстве Бергмана”, Матем. сб., 202:9 (2011), 77–96
  32. D. Beliaev, S. Smirnov, “Random conformal snowflakes”, Ann. of Math. (2), 172:1 (2010), 597–615

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2023 Баранов А.D., Каюмов И.R.

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).