The theorems Levinson's type and Dynkin's problems

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

Questions relating to theorems of Levinson-Sjöberg-Wolf type in complex and harmonic analysis are explored. The well-known Dyn'kin problem of effective estimation of the growth majorant of an analytic function in a neighbourhood of its set of singularities is discussed, together with the problem, dual to it in certain sense, on the rate of convergence to zero of the extremal function in a nonquasianalytic Carleman class in a neighbourhood of a point at which all the derivatives of functions in this class vanish.
The first problem was solved by Matsaev and Sodin. Here the second Dyn'kin problem, going back to Bang, is fully solved. As an application, a sharp asymptotic estimate is given for the distance between the imaginary exponentials and the algebraic polynomials in a weighted space of continuous functions on the real line.

About the authors

Ahtyar Magazovich Gaisin

Institute of Mathematics with Computing Centre — Subdivision of the Ufa Federal Research Centre of the Russian Academy of Sciences

Author for correspondence.
Email: gaisinam@mail.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

Rashit Akhtyarovich Gaisin

Institute of Mathematics with Computing Centre — Subdivision of the Ufa Federal Research Centre of the Russian Academy of Sciences

Email: rashit.gajsin@mail.ru
without scientific degree, no status

References

  1. N. Levinson, Gap and density theorems, Amer. Math. Soc. Colloq. Publ., 26, Amer. Math. Soc., New York, 1940, viii+246 pp.
  2. В. П. Гурарий, “К теореме Н. Левинсона о нормальном семействе аналитических функций”, Исследования по линейным операторам и теории функций. I, Зап. науч. сем. ЛОМИ, 19, Изд-во “Наука”, Ленинград. отд., Л., 1970, 215–220
  3. N. Sjöberg, “Sur les minorantes subharmoniques d'une function donee”, Comptes rendus du IX congres des mathematiciens scandinaves (Helsinki, 1938), Helsingfors, 1939, 309–319
  4. T. Carleman, “Extension d'un theorème de Liouville”, Acta Math., 48:3-4 (1926), 363–366
  5. F. Wolf, “On majorants of subharmonic and analytic functions”, Bull. Amer. Math. Soc., 48:12 (1942), 925–932
  6. P. Koosis, The logarithmic integral, v. I, Cambridge Stud. Adv. Math., 12, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1988, xvi+606 pp.
  7. Y. Domar, “On the existence of a largest subharmonic minorant of a given function”, Ark. Mat., 3:5 (1958), 429–440
  8. A. Borichev, H. Hedenmalm, “Completeness of translates in weighted spaces on the half-plane”, Acta Math., 174:1 (1995), 1–84
  9. Y. Domar, “Uniform boundedness in families related to subharmonic functions”, J. London Math. Soc. (2), 38:3 (1988), 485–491
  10. А. М. Гайсин, И. Г. Кинзябулатов, “Теорема типа Левинсона–Шeберга. Применения”, Матем. сб., 199:7 (2008), 41–62
  11. Е. М. Дынькин, “О росте аналитической функции вблизи множества ее особых точек”, Исследования по линейным операторам и теории функций. III, Зап. науч. сем. ЛОМИ, 30, Изд-во “Наука”, Ленинград. отд., Л., 1972, 158–160
  12. E. M. Dyn'kin, “The pseudoanalytic extension”, J. Anal. Math., 60 (1993), 45–70
  13. V. Matsaev, M. Sodin, “Asymptotics of Fourier and Laplace transforms in weighted spaces of analytic functions”, Алгебра и анализ, 14:4 (2002), 107–140
  14. В. Мацаев, Теоремы единственности, полноты и компактности, связанные с классической квазианалитичностью, Дисс. … канд. физ.-матем. наук, Физ.-техн. ин-т низких температур АН УССР, Харьков, 1964
  15. Е. М. Дынькин, “Функции с данной оценкой $partial f/partialoverline z$ и теорема Н. Левинсона”, Матем. сб., 89(131):2(10) (1972), 182–190
  16. N. Nikolski, “Yngve Domar's forty years in harmonic analysis”, Festschrift in honour of Lennart Carleson and Yngve Domar (Uppsala, 1993), Acta Univ. Upsaliensis Skr. Uppsala Univ. C Organ. Hist., 58, Uppsala Univ., Uppsala, 1995, 45–78
  17. T. Bang, “The theory of metric spaces applied to infinitely differentiable functions”, Math. Scand., 1 (1953), 137–152
  18. С. Мандельбройт, Примыкающие ряды. Регуляризация последовательностей. Применения, ИЛ, М., 1955, 268 с.
  19. А. М. Гайсин, “Экстремальные задачи в неквазианалитических классах Карлемана. Приложения”, Матем. сб., 209:7 (2018), 44–70
  20. А. М. Гайсин, “Ряды Дирихле с вещественными коэффициентами, неограниченные на положительном луче”, Матем. сб., 198:6 (2007), 41–64
  21. А. М. Гайсин, “Условие Левинсона в теории целых функций. Эквивалентные утверждения”, Матем. заметки, 83:3 (2008), 350–360
  22. П. Кусис, Введение в теорию пространств $H^{p}$, С приложением доказательства Волффа теоремы о короне, Мир, М., 1984, 366 с.
  23. Г. М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. II, Физматлит, М., 2006, 864 с.
  24. Н. И. Ахиезер, Лекции по теории аппроксимации, 2-е изд., Наука, М., 1965, 407 с.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2023 Gaisin A.M., Gaisin R.A.

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).