‘Far interaction’ of small spectral perturbations of the Neumann boundary conditions for an elliptic system of differential equations in a three-dimensional domain

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

A formally selfadjoint system of second-order differential equations is considered in a three-dimensional domain on small parts of whose boundary an analogue of Steklov spectral conditions is set, while the Neumann boundary conditions are set on the rest of the boundary. Under certain algebraic and geometric conditions an asymptotic expression for the eigenvalues of this problem is presented and a limiting problem is put together, which produces the leading asymptotic terms and involves systems of integro-differential equations in half-spaces, interconnected by means of certain integral characteristics of vector-valued eigenfunctions. One example of a concrete problem in mathematical physics describes surface waves in several ice holes made in the ice cover of a water basin, and the asymptotic formula for eigenfrequencies shows that the local wave processes interact independently of the distance between the holes. Another series of applied problems relates to elastic fixings of bodies along small pieces of their surfaces. Possible generalizations are discussed; a number of related open questions are stated. Bibliography: 41 titles.

About the authors

Sergei Aleksandrovich Nazarov

Institute of Problems of Mechanical Engineering, Russian Academy of Sciences

Email: srgnazarov@yahoo.co.uk
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

References

  1. О. А. Ладыженская, Краевые задачи математической физики, Наука, М., 1973, 407 с.
  2. Ж.-Л. Лионс, Э. Мадженес, Неоднородные граничные задачи и их приложения, Мир, М., 1971, 371 с.
  3. М. Ш. Бирман, М. З. Соломяк, Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, Изд-во Ленингр. ун-та, Л., 1980, 264 с.
  4. J. Nečas, Les methodes directes en theorie des equations elliptiques, Masson et Cie, Paris; Academia, Ed., Prague, 1967, 351 pp.
  5. С. А. Назаров, “Самосопряженные эллиптические краевые задачи. Полиномиальное свойство и формально положительные операторы”, Проблемы матем. анализа, 16, Изд-во СПбГУ, СПб., 1997, 167–192
  6. C. А. Назаров, “Полиномиальное свойство самосопряженных эллиптических краевых задач и алгебраическое описание их атрибутов”, УМН, 54:5(329) (1999), 77–142
  7. Дж. Дж. Стокер, Волны на воде. Математическая теория и приложения, ИЛ, М., 1959, 617 с.
  8. N. Kuznetsov, V. Maz'ya, B. Vainberg, Linear water waves. A mathematical approach, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2002, xviii+513 pp.
  9. С. А. Назаров, Асимптотическая теория тонких пластин и стержней. Понижение размерности и интегральные оценки, Научная книга, Новосибирск, 2002, 408 с.
  10. С. Лангер, С. А. Назаров, М. Шпековиус-Нойгебауер, “Аффинные преобразования трехмерных анизотропных сред и явные формулы для фундаментальных матриц”, Прикладная механика и техническая физика, 47:2 (2006), 95–102
  11. D. Gomez, S. A. Nazarov, E. Perez, “Homogenization of Winkler–Steklov spectral conditions in three-dimensional linear elasticity”, Z. Angew. Math. Phys., 69:2 (2018), 35, 23 pp.
  12. C. А. Назаров, “Неравенства Корна для упругих сочленений массивных тел, тонких пластин и стержней”, УМН, 63:1(379) (2008), 37–110
  13. E. Perez, “On periodic Steklov type eigenvalue problems on half-bands and the spectral homogenization problem”, Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. B, 7:4 (2007), 859–883
  14. С. А. Назаров, “Асимптотика решения спектральной задачи Стеклова в области с затупленным пиком”, Матем. заметки, 86:4 (2009), 571–587
  15. G. Cardone, T. Durante, S. A. Nazarov, “Water-waves modes trapped in a canal by a near-surface rough body”, ZAMM Z. Angew. Math. Mech., 90:12 (2010), 983–1004
  16. С. А. Назаров, “Асимптотика собственных значений задачи Стеклова на сочленении областей различных предельных размерностей”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 52:11 (2012), 2033–2049
  17. С. А. Назаров, “Асимптотические разложения собственных чисел задачи Стеклова в сингулярно возмущенных областях”, Алгебра и анализ, 26:2 (2014), 119–184
  18. S. Gryshchuk, M. Lanza de Cristoforis, “Simple eigenvalues for the Steklov problem in a domain with a small hole. A functional analytic approach”, Math. Methods Appl. Sci., 37:12 (2014), 1755–1771
  19. C. А. Назаров, “Моделирование сингулярно возмущенной спектральной задачи при помощи самосопряженных расширений операторов предельных задач”, Функц. анализ и его прил., 49:1 (2015), 31–48
  20. Y. Amirat, O. Bodart, G. A. Chechkin, A. L. Piatnitski, “Asymptotics of a spectral-sieve problem”, J. Math. Anal. Appl., 435:2 (2016), 1652–1671
  21. А. Г. Чечкина, “Усреднение спектральных задач с сингулярным возмущением условия Стеклова”, Изв. РАН. Сер. матем., 81:1 (2017), 203–240
  22. Р. Р. Гадыльшин, А. Л. Пятницкий, Г. А. Чечкин, “Об асимптотиках собственных значений краевой задачи в плоской области типа сита Стеклова”, Изв. РАН. Сер. матем., 82:6 (2018), 37–64
  23. S. A. Nazarov, J. Taskinen, ““Blinking eigenvalues” of the Steklov problem generate the continuous spectrum in a cuspidal domain”, J. Differential Equations, 269:4 (2020), 2774–2797
  24. M. Lanza de Cristoforis, “Multiple eigenvalues for the Steklov problem in a domain with a small hole. A functional analytic approach”, Asymptot. Anal., 121:3-4 (2021), 335–365
  25. V. Chiadò Piat, S. A. Nazarov, “Steklov spectral problems in a set with a thin toroidal hole”, Partial Differential Equations in Applied Mathematics, 1 (2020), 100007, 13 pp.
  26. В. Киадо Пиат, С. А. Назаров, “Смешанные краевые задачи в сингулярно возмущенных двумерных областях со спектральным условием Стеклова”, Проблемы матем. анализа, 106, Тамара Рожковская, Новосибирск, 2020, 91–124
  27. А. Г. Чечкина, “О поведении спектра возмущенной краевой задачи Стеклова со слабой сингулярностью”, Дифференц. уравнения, 57:10 (2021), 1407–1420
  28. D. Gomez, S. A. Nazarov, M.-E. Perez-Martinez, “Asymptotics for spectral problems with rapidly alternating boundary conditions on a strainer Winkler foundation”, J. Elasticity, 142:1 (2020), 89–120
  29. S. A. Nazarov, “Interaction of concentrated masses in a harmonically oscillating spatial body with Neumann boundary conditions”, RAIRO Model. Math. Anal. Numer., 27:6 (1993), 777–799
  30. C. А. Назаров, “Об одной задаче Санчес-Паленсия с краевыми условиями Неймана”, Изв. вузов. Матем., 1989, № 11, 60–66
  31. J. Cainzos, E. Perez, M. Vilasanchez, “Asymptotics for the eigenelements of the Neumann spectral problem with concentrated masses”, Indiana Univ. Math. J., 56:4 (2007), 1939–1987
  32. Д. Гомес, С. А. Назаров, М. Е. Перес, “Формальная асимптотика собственных частот колебаний упругого трехмерного тела с концентрированными массами”, Математические вопросы теории распространения волн. 36, Зап. науч. сем. ПОМИ, 342, ПОМИ, СПб., 2007, 31–76
  33. В. А. Кондратьев, “Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками”, Тр. ММО, 16, Изд-во Моск. ун-та, М., 1967, 209–292
  34. С. А. Назаров, Б. А. Пламеневский, Эллиптические задачи в областях с кусочно гладкой границей, Наука, М., 1991, 336 с.
  35. В. Г. Мазья, Б. А. Пламеневский, “О коэффициентах в асимптотике решений эллиптических краевых задач в области с коническими точками”, Math. Nachr., 76 (1977), 29–60
  36. В. Г. Мазья, Б. А. Пламеневский, “Оценки в $L_p$ и в классах Гельдера и принцип максимума Миранда–Агмона для решений эллиптических краевых задач в областях с особыми точками на границе”, Math. Nachr., 81:1 (1978), 25–82
  37. М. И. Вишик, Л. А. Люстерник, “Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром”, УМН, 12:5(77) (1957), 3–122
  38. V. Maz'ya, S. Nazarov, B. Plamenevskij, Asymptotic theory of elliptic boundary value problems in singularly perturbed domains, v. 1, Oper. Theory Adv. Appl., 111, Birkhäuser Verlag, Basel, 2000, xxiv+435 pp.
  39. Ю. Н. Работнов, Механика деформируемого твердого тела, 2-е изд., Наука, М., 1988, 712 с.
  40. Я. С. Уфлянд, Интегральные преобразования в задачах теории упругости, 2-е изд., доп., Наука, Л., 1967, 420 с.
  41. С. Г. Михлин, Вариационные методы в математической физике, 2-е изд., испр. и доп., Наука, М., 1970, 512 с.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2023 Nazarov S.A.

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).