A criterion for uniform approximability of individual functions by solutions of second-order homogeneous elliptic equations with constant complex coefficients

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

A natural counterpart of Vitushkin's criterion is obtained in the problem of uniform approximation of functions by solutions of second-order homogeneous elliptic equations with constant complex coefficient on compact subsets of $\mathbb R^d$, $d\ge3$. It is stated in terms of a single (scalar) capacity connected with the leading coefficient of the Laurent series. The scheme of approximation uses methods in the theory of singular integrals and, in particular, constructions of certain special Lipschitz surfaces and Carleson measures. Bibliography: 23 titles.

About the authors

Maksim Yakovlevich Mazalov

National Research University "Moscow Power Engineering Institute" in Smolensk; Saint Petersburg State University

Email: maksimmazalov@yandex.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Associate professor

References

  1. Л. Хермандер, Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными, т. 1, Теория распределений и анализ Фурье, Мир, М., 1986, 464 с.
  2. А. Г. Витушкин, “Аналитическая емкость множеств в задачах теории приближений”, УМН, 22:6(138) (1967), 141–199
  3. R. Harvey, J. C. Polking, “A notion of capacity which characterizes removable singularities”, Trans. Amer. Math. Soc., 169 (1972), 183–195
  4. М. В. Келдыш, “О разрешимости и устойчивости задачи Дирихле”, УМН, 1941, № 8, 171–231
  5. М. Я. Мазалов, П. В. Парамонов, К. Ю. Федоровский, “Условия $C^m$-приближаемости функций решениями эллиптических уравнений”, УМН, 67:6(408) (2012), 53–100
  6. J. Mateu, Yu. Netrusov, J. Orobitg, J. Verdera, “BMO and Lipschitz approximation by solutions of elliptic equations”, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 46:4 (1996), 1057–1081
  7. М. Я. Мазалов, “Критерий равномерной приближаемости на произвольных компактах для решений эллиптических уравнений”, Матем. сб., 199:1 (2008), 15–46
  8. П. В. Парамонов, “Новые критерии равномерной приближаемости гармоническими функциями на компактах в $mathbb R^2$”, Комплексный анализ и его приложения, Сборник статей. К 100-летию со дня рождения Бориса Владимировича Шабата, 85-летию со дня рождения Анатолия Георгиевича Витушкина и 85-летию со дня рождения Андрея Александровича Гончара, Тр. МИАН, 298, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2017, 216–226
  9. И. Стейн, Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций, Мир, М., 1973, 342 с.
  10. М. Я. Мазалов, “Критерий равномерной приближаемости гармоническими функциями на компактах в $mathbb R^3$”, Аналитические и геометрические вопросы комплексного анализа, Сборник статей, Тр. МИАН, 279, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2012, 120–165
  11. A. G. O'Farrell, “Uniform approximation by harmonic functions. Problem 12.15”, Linear and complex analysis. Problem book 3, v. II, Lecture Notes in Math., 1574, Springer-Verlag, 1994, 121
  12. П. В. Парамонов, “Некоторые новые критерии равномерной приближаемости функций рациональными дробями”, Матем. сб., 186:9 (1995), 97–112
  13. П. В. Парамонов, “Критерий индивидуальной $C^m$-приближаемости функций решениями однородных эллиптических уравнений второго порядка на компактах в $mathbb R^N$”, Матем. сб., 209:6 (2018), 83–97
  14. Дж. Вердера, М. С. Мельников, П. В. Парамонов, “$C^1$-аппроксимация и продолжение субгармонических функций”, Матем. сб., 192:4 (2001), 37–58
  15. М. Я. Мазалов, “О задаче равномерного приближения гармонических функций”, Алгебра и анализ, 23:4 (2011), 136–178
  16. R. Harvey, J. Polking, “Removable singularities of solutions of linear partial differential equations”, Acta Math., 125 (1970), 39–56
  17. Н. Н. Тарханов, Ряд Лорана для решений эллиптических систем, Наука, Новосибирск, 1991, 317 с.
  18. J. Verdera, “$C^m$-approximation by solutions of elliptic equations, and Calderon–Zygmund operators”, Duke Math. J., 55:1 (1987), 157–187
  19. М. Я. Мазалов, “О равномерных приближениях бианалитическими функциями на произвольных компактах в $mathbb C$”, Матем. сб., 195:5 (2004), 79–102
  20. J. Verdera, “Removability, capacity and approximation”, Complex potential theory (Montreal, PQ, 1993), NATO Adv. Sci. Inst. Ser. C Math. Phys. Sci., 439, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1994, 419–473
  21. F. John, L. Nirenberg, “On functions of bounded mean oscillation”, Comm. Pure Appl. Math., 14:3 (1961), 415–426
  22. J. Mateu, P. Mattila, A. Nicolau, J. Orobitg, “BMO for nondoubling measures”, Duke Math. J., 102:3 (2000), 533–565
  23. G. David, Wavelets and singular integrals on curves and surfaces, Lecture Notes in Math., 1465, Springer-Verlag, Berlin, 1991, x+107 pp.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2020 Mazalov M.Y.

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).