The statistical properties of 3D Klein polyhedra

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

Let $\Gamma$ be a rank-$s$ lattice in $\mathbb R^s$. The convex hulls of the nonzero lattice points lying in orthants are called the Klein polyhedra of $\Gamma$. This construction was introduced by Klein in 1895, in connection with generalizing the classical continued-fraction algorithm to the multidimensional case. Arnold stated a number of problems on the statistical and geometric properties of Klein polyhedra. In two dimensions the corresponding results follow from the theory of continued fractions. An asymptotic formula for the mean value of the $f$-vectors (the numbers of facets, edges and vertices) of 3D Klein polyhedra is derived. This mean value is taken over the Klein polyhedra of integer 3D lattices with determinants in $[1,R]$, where $R$ is an increasing parameter. Bibliography: 27 titles.

About the authors

Andrei Anatol'evich Illarionov

Pacific National University

Email: illar_a@list.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, no status

References

  1. F. Klein, “Ueber eine geometrische Auffassung der gewöhnlichen Kettenbruchentwickelung”, Nachr. Ges. Wiss. Göttingen Math.-Phys. Kl., 3 (1895), 357–359
  2. V. I. Arnold, “$A$-graded algebras and continued fractions”, Comm. Pure Appl. Math., 42:7 (1989), 993–1000
  3. V. I. Arnold, “Higher dimensional continued fractions”, Regul. Chaotic Dyn., 3:3 (1998), 10–17
  4. V. I. Arnold, “Preface”, Pseudoperiodic topology, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 197, Adv. Math. Sci., 46, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1999, ix–xii
  5. В. И. Арнольд, Задачи Арнольда, Фазис, М., 2000, x+452 с.
  6. H. Tsuchihashi, “Higher dimensional analogues of periodic continued fractions and cusp singularities”, Tohoku Math. J. (2), 35:4 (1983), 607–639
  7. G. Lachaud, “Polyedre d'Arnol'd et voile d'un cône simplicial: analogues du theorème de Lagrange”, C. R. Acad. Sci. Paris Sr. I Math., 317:8 (1993), 711–716
  8. G. Lachaud, “Sails and Klein polyhedra”, Number theory (Tiruchirapalli, 1996), Contemp. Math., 210, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1998, 373–385
  9. E. Korkina, “La periodicite des fractions continues multidimensionnelles”, C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math., 319:8 (1994), 777–780
  10. Е. И. Коркина, “Двумерные цепные дроби. Самые простые примеры”, Особенности гладких отображений с дополнительными структурами, Сборник статей, Тр. МИАН, 209, Наука, Физматлит, М., 1995, 143–166
  11. А. Д. Брюно, В. И. Парусников, “Многогранники Клейна для двух кубических форм Давенпорта”, Матем. заметки, 56:4 (1994), 9–27
  12. M. L. Kontsevich, Yu. M. Suhov, “Statistics of Klein polyhedra and multidimensional continued fractions”, Pseudoperiodic topology, Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, 197, Adv. Math. Sci., 46, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1999, 9–27
  13. Ж.-О. Муссафир, “Паруса и базисы Гильберта”, Функц. анализ и его прил., 34:2 (2000), 43–49
  14. J.-O. Moussafir, Voiles et polyèdres de Klein. Geometrie, algorithmes et statistiques, Doc. Sci. These, Univ. Paris IX–Dauphine, Paris, 2000
  15. О. Н. Герман, “Паруса и норменные минимумы решеток”, Матем. сб., 196:3 (2005), 31–60
  16. О. Н. Карпенков, “Об инвариантной мере Мeбиуса и распределении граней Гаусса–Кузьмина”, Анализ и особенности. Часть 1, Сборник статей. К 70-летию со дня рождения академика Владимира Игоревича Арнольда, Тр. МИАН, 258, Наука, М., 2007, 79–92
  17. О. Н. Герман, Е. Л. Лакштанов, “О многомерном обобщении теоремы Лагранжа для цепных дробей”, Изв. РАН. Сер. матем., 72:1 (2008), 51–66
  18. O. N. Karpenkov, “Constructing multidimensional periodic continued fractions in the sense of Klein”, Math. Comp., 78:267 (2009), 1687–1711
  19. А. В. Быковская, “О многомерном обобщении теоремы Лагранжа о цепных дробях”, Матем. заметки, 92:3 (2012), 343–360
  20. А. А. Илларионов, “О статистических свойствах многогранников Клейна трехмерных целочисленных решеток”, Матем. сб., 204:6 (2013), 23–46
  21. O. Karpenkov, Geometry of continued fractions, Algorithms Comput. Math., 26, Springer, Heidelberg, 2013, xviii+405 pp.
  22. И. А. Макаров, “Внутренние полиэдры Клейна”, Матем. заметки, 95:6 (2014), 854–866
  23. А. А. Илларионов, “Некоторые свойства трехмерных полиэдров Клейна”, Матем. сб., 206:4 (2015), 35–66
  24. А. А. Илларионов, “Распределение гиперграней многомерных полиэдров Клейна”, Матем. сб., 209:1 (2018), 58–73
  25. А. А. Илларионов, “Многомерное обобщение теоремы Хейльбронна о средней длине конечной непрерывной дроби”, Матем. сб., 205:3 (2014), 119–132
  26. A. Illarionov, “On the asymptotic distribution of integer matrices”, Mosc. J. Comb. Number Theory, 1:4 (2011), 13–57
  27. А. А. Илларионов, “Среднее количество относительных минимумов трехмерных целочисленных решеток”, Алгебра и анализ, 23:3 (2011), 189–215

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2020 Illarionov A.A.

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).