Глобальные экстремумы функции Деланжа, оценки цифровых сумм и вогнутые функции

Для всех натуральных $N$ и $q\ge2$ суммы $S_{q}(N)$ задаются равенством $S_{q}(N)=s_q(1)+…+s_q(N-1)$, где $s_q(n)$ есть сумма цифр числа $n$ в записи с основанием $q$. В 1975 г. Ю. Деланж обобщил формулу Троллопа и доказал, что $S_{q}(N)/N-(q-1)/2\cdot\log_q{N}=-1/2\cdot f_q( q^{\{\log_q N\}-1 } )$, где $f_q(x)=(q-1)\log_q x+D_q(x)/x$, а $D_q$ — непрерывная и нигде не дифференцируемая функция Деланжа. Мы нашли глобальные экстремумы функции $f_q$, с помощью чего получили точную оценку разности $S_{q}(N)/N-(q-1)/2\cdot\log_q{N}$. В случае $q=2$ эта оценка превращается в оценку для двоичных сумм, доказанную в 2008 г. М. Круппелем и ранее другими авторами. Нами вычислены также глобальные экстремумы еще нескольких непрерывных, но нигде не дифференцируемых функций. В работе введено понятие естественной вогнутой оболочки функции и доказан критерий, облегчающий ее вычисление. Кроме того, введено понятие крайнего подаргумента функции на выпуклом множестве. Показано, что все точки глобального максимума разности $f-g$, где функция $g$ строго вогнута и выполнены некоторые дополнительные условия, являются крайними подаргументами для $f$. Аналогичный результат получен и для функций вида $v+f/w$. Мы вычислили глобальные экстремумы и нашли крайние подаргументы функции Деланжа на отрезке $[0,1]$. Результаты работы проиллюстрированы графиками и таблицами. Библиография: 16 названий.

формула Троллопа–Деланжа для цифровых сумм, непрерывная нигде не дифференцируемая функция Деланжа, глобальные экстремумы недифференцируемой функции, крайние подаргументы (подабсциссы) функции, естественная вогнутая оболочка функции