The distribution of singular points of the sum of a series of exponential monomials on the boundary of its domain of convergence

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

The problem of the distribution of the singular points of the sum of a series of exponential monomials on the boundary of the domain of convergence of the series is considered. Sufficient conditions are found for a singular point to exist on a prescribed arc on the boundary; these are stated in purely geometric terms. The singular point exists due to simple relations between the maximum density of the exponents of the series in an angle and the length of the arc on the boundary of the domain of convergence that corresponds to this angle. Necessary conditions for a singular point to exist on a prescribed arc on the boundary are also obtained. They are stated in terms of the minimum density of the exponents in an angle and the length of the arc. On this basis, for sequences with density, criteria are established for the existence of a singular point on a prescribed arc on the boundary of the domain of convergence. Bibliography: 27 titles.

About the authors

Aleksandr Sergeevich Krivosheev

Institute of Mathematics with Computing Centre — Subdivision of the Ufa Federal Research Centre of the Russian Academy of Sciences

Email: kriolesya2006@yandex.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

Olesya Aleksandrovna Krivosheeva

Bashkir State University

Email: kriolesya2006@yandex.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Associate professor

References

  1. Г. Л. Лунц, “О рядах типа Тейлора–Дирихле”, Изв. АН Арм. ССР, 14:2 (1961), 7–16
  2. О. А. Кривошеева, “Область сходимости рядов экспоненциальных мономов”, Уфимск. матем. журн., 3:2 (2011), 43–56
  3. А. Ф. Леонтьев, Целые функции. Ряды экспонент, Наука, М., 1983, 176 с.
  4. Л. Бибербах, Аналитическое продолжение, Наука, М., 1967, 240 с.
  5. J. Hadamard, “Essai sur l'etude des fonctions donnees par leur developpement de Taylor”, J. Math. Pures Appl. (4), 8 (1892), 101–186
  6. E. Fabry, “Sur les points singuliers d'une fonction donnee par son developpement en serie et l'impossibilite du prolongement analytique dans des cas très generaux”, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. (3), 13 (1896), 367–399
  7. G. Polya, “Untersuchungen über Lücken und Singularitäten von Potenzreihen”, Math. Z., 29:1 (1929), 549–640
  8. W. H. J. Fucks, “On the growth of functions of mean type”, Proc. Edinburgh Math. Soc. (2), 9:2 (1954), 53–70
  9. P. Malliavin, “Sur la croissance radiale d'une fonction meromorphe”, Illinois J. Math., 1:2 (1957), 259–296
  10. P. Koosis, The logarithmic integral, v. II, Cambridge Stud. Adv. Math., 21, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1992, xxvi+574 pp.
  11. G. Polya, “Über die Existenz unendlich vieler singulärer Punkte auf der Konvergenzgeraden gewisser Dirichletscher Reihen”, Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss., 1923 (1923), 45–50
  12. G. Polya, “Eine Verallgemeinerung des Fabryschen Lückensatzes”, Nachr. Ges. Wiss. Göttingen, Math.-naturwiss. Kl., 1927 (1927), 187–195
  13. А. Ф. Леонтьев, Ряды экспонент, Наука, М., 1976, 536 с.
  14. V. Bernstein, Leçons sur les progrès recents de la theorie des series de Dirichlet, Gauthier-Villars, Paris, 1933, xiv+320 pp.
  15. О. А. Кривошеева, А. С. Кривошеев, “Особые точки суммы ряда Дирихле на прямой сходимости”, Функц. анализ и его прил., 49:2 (2015), 54–69
  16. А. С. Кривошеев, “Фундаментальный принцип для инвариантных подпространств в выпуклых областях”, Изв. РАН. Сер. матем., 68:2 (2004), 71–136
  17. A. Ostrowski, “Über die analytische Fortsetzung von Taylorschen und Dirichletschen Reihen”, Math. Ann., 129 (1955), 1–43
  18. О. А. Кривошеева, “Особые точки суммы ряда экспоненциальных мономов на границе области сходимости”, Алгебра и анализ, 23:2 (2011), 162–205
  19. Б. Я. Левин, Распределение корней целых функций, Гостехиздат, М., 1956, 632 с.
  20. А. И. Абдулнагимов, А. С. Кривошеев, “Правильно распределенные подмножества в комплексной плоскости”, Алгебра и анализ, 28:4 (2016), 1–46
  21. А. А. Кондратюк, “Целые функции с конечной максимальной плотностью нулей. I”, Теория функций, функциональный анализ и их приложения, 10, Изд-во Харьк. ун-та, Харьков, 1970, 57–70
  22. О. А. Кривошеева, А. С. Кривошеев, “Критерий выполнения фундаментального принципа для инвариантных подпространств в ограниченных выпуклых областях комплексной плоскости”, Функц. анализ и его прил., 46:4 (2012), 14–30
  23. В. В. Напалков, Уравнения свертки в многомерных пространствах, Наука, М., 1982, 240 с.
  24. И. Ф. Красичков-Терновский, “Инвариантные подпространства аналитических функций. III. О распространении спектрального синтеза”, Матем. сб., 88(130):3(7) (1972), 331–352
  25. А. С. Кривошеев, О. А. Кривошеева, “Фундаментальный принцип и базис в инвариантном подпространстве”, Матем. заметки, 99:5 (2016), 684–697
  26. А. С. Кривошеев, О. А. Кривошеева, “Базис в инвариантном подпространстве целых функций”, Алгебра и анализ, 27:2 (2015), 132–195
  27. А. С. Кривошеев, “Почти экспоненциальная последовательность экспоненциальных многочленов”, Уфимск. матем. журн., 4:1 (2012), 88–106

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2020 Krivosheev A.S., Krivosheeva O.A.

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).